圆锥曲线解题基本思想

专题：简化圆锥曲线运算的几种数学思想

重、难点： 1. 重点：

圆锥曲线的综合问题。 2. 难点：

灵活运用介绍的几种数学思想简化圆锥曲线的运算。

【典型例题】

（一）极端思想

通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。这是简化运算量的一条重要途径。

e =

[例1] 求已知离心率轴的椭圆方程。

2

25-,

5，过点（1，0）且与直线l ：2x -y +3=0相切于点（33），长轴平行于y

225215e =-, (x +) 2+(y -) 2=05的椭圆353解：把点（33）看作离心率（“点椭圆”），则与直线l ：2x -y +3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l 与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程为：

215

(x +) 2+(y -) 2+λ(2x -y +3) =0

353

又由于所求的椭圆过点（1，0），代入上式得，

λ=-

2

3

y 2

x +=1

5因此，所求椭圆方程为：

2

（二）补集思想

有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。

[例2] k 为何值时，直线l ：y -1=k (x -1) 不能垂直平分抛物线y =x 的某弦。

2

I ={k |k ∈R }A ={k |y =x 的某弦}。若直线l 垂直平分抛物线的弦l 解：设，直线垂直平分抛物线

2

AB ，且A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则y 1=x 1，y 2=x 2

上述两式相减得：(y 1-y 2)(y 1+y 2) =x 1-x 2

22

1y 1-y 21==x 1-x 2y 1+y 2 即k -

又设M 是弦AB 的中点，且M (x 0, y 0) ，则

y 0=

y 1+y 2k

=-22

因为点M 在直线l 上，所以

x 0=

11-2k

k 211k 3-2k +4(-)

y

⇒

k

故原命题中k 的取值范围是k ≤-2或k ≥0

（三）整体思想

对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。

x 2y 2

+=12[例3] 从椭圆3外一点P （2，4）作椭圆的切线，求两切线的夹角。

2222

y =kx ±a k +b y =kx ±3k +2 解：由椭圆的切线方程知两切线的方程为：2

又切线过点P （2，4），所以4=2k ±3k +2，整理得，k -16k +14=0

2

所以k 1+k 2=16，k 1⋅k 2=14

k -k 2

tan θ=1=

1+k k 12所以

(k 1+k 2) 2-4k 1k 2

+k 1k 2

2-4⨯1422==

1+143

所以两切线的夹角

θ=22

3

（四）方程思想

把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用。

22222

[例4] 已知双曲线C ：(1-a ) x +a y =a (a >1) ，设该双曲线上支的顶点为A ，且上支与直线y =-x 相

11

≤k ≤

3，交于P 点，一条以A 为焦点，M （0, m ）为顶点，开口向下的抛物线通过点P ，设PM 的斜率为k ，且4

求实数a 的取值范围。

解：由双曲线方程知A （0，1），则抛物线方程为x =-4(m -1)(y -m ) ，由双曲线与直线相交，解得点P 的坐标为(-a , a ) ，又因为点P 在抛物线上，所以

2

a 2=-4(m -1)(a -m ) ①

而MP 的斜率为

k =

m -a

a ，所以m =ak +a

2

2

将m =ak +a 代入①，得a =-4(ak +a -1)(-ak ) ，即4ak +4(a -1) k -a =0②

11[, ]

根据题意，方程②在区间43上有实根

k =

1-a

令f (k ) =4ak +4(a -1) k -a ，其对称轴方程为

2

⎧1

f () ≤0⎪12⎪4

⇒≤a ≤4⎨

712⎪f (1) ≥0[, 4]⎪3⎩7a 所以 所以实数的取值范围为

（五）函数思想

对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。

[例5] 直线m ：y =kx +1和双曲线x -y =1的左支交于A 、B 两点，直线l 过P （-2, 0）和AB 线段的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围。

2

2

⎧y =kx +1

(x ≤-1) ⎨2222

x -y =1解：由⎩消去y 得(k -1) x +2kx +2=0，由题意，有：

⎧

⎪∆=4k 2+8(1-k 2) >0⎪

2k ⎪

x +x =

1-k ⎪

-2⎪

x x =>012⎪2

1-k ⎩⇒1

x ==⎪⎪021-k 2⎨

⎪y =kx +1=1

0⎪01-k 2 设M （x 0, y 0），则⎩

k 12, b =22

-2k 2+k +2 由P （-2, 0）、M （1-k 1-k ）、Q （0, b ）三点共线，可求得1217

=-2(k -) +2

f (k ) =-2k +k +248，则f (k ) 在(1, 2) 上为减函数。 设

所以f (2)

所以-(2-2) 2

（六）参数思想

处理圆锥曲线问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的。

(x -a ) 21

y 2=x +y 2=1

2有公共点？ 2[例6] 当a 为何实数时，椭圆与曲线C ：

(

解：椭圆方程变形为：

x -a 2

) 2+y 2=1

x -a

设

2=cos θ, y =sin θ，即x =a +2cos θ, y =sin θ代入曲线C 得：

1

(a +2cos θ) 22，即a =2sin θ-cos θ（1）

sin 2θ=

2

y =2sin θ-cos θ的值域 椭圆与曲线C 有交点，等价于方程（1）有解，即等价于函数

所以

a =2sin 2θ-2cos θ=

922

-2(cosθ+) 44

因为

-2≤

99229

[-2, ]-2(cosθ+) ≤

4 444，所以a 的取值范围是

（七）转化思想

数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程。它主要体现在条件由“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”，即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程。

[例7] 设圆满足：① 截y 轴所得弦长为2；② 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l ：x -2y =0的距离最小的圆的方程。

22

解：设圆的圆心为P （a , b ），半径为r ，由①知r =a +1；由②知，圆P 截x 轴所得劣弧对应的圆

2222

心角为90︒，即圆P 截x 轴所得的弦长为2r ，故有r =2b ，消去r 得圆心的轨迹为：2b -a =1

如何求圆心P （a , b ）到直线l ：x -2y =0的距离件最值问题。

转化1：变量替换求最值

22

∵ 2b -a =1 ∴ (2b +a )(b -a ) =1

d =

a -2b 5

的最小值，这样转化为从不同角度求条

设2b +a =t (t ≠0) ，则有

2b -a =

111

2a =t -22b =t +

t ，解得t ，t ，所以有

111(t -) -(t +) (2-1) t +(2+1)

a -2b t t t

=d =

2525=

(2-1) t +=

1(2-1) t

≥5

25

(2-1) t =

当且仅当

1

(2-1) t ，即t =2+1时，d 达到最小值。此时可求得a =b =1或a =b =-1

22

由于r =2b ，故r =2。于是所求圆的方程是：

(x -1) 2+(y -1) 2=2或(x +1) 2+(y +1) 2=2

转化2：三角代换求最值

令2b =sec θ, a =tan θ, 0≤θ≤2π，

d =

则

a -2b 5

2

=

2-sin θ5cos θ

⇒sin θ±d cos θ

=2，

2

所以+5d sin(θ±ϕ)

由

sin(θ±ϕ) =

2≤1d ≥

1+5d 25 ，得

ππ3π5

ϕ=±θ=

4，并由此解得θ=4或4 当d 达到最小值5时，sin(θ±ϕ) =1，从而

即a =b =1或a =b =-1，以下同解法1 转化3：判别式法求最值

d =

由

a -2b 5

得a -2b =±d ，即a =4b ±4bd +5d ①

2

2

2

2

2

22

将a =2b -1代入①式，整理得2b ±4bd +5d +1=0 ②

把它看作b 的一元二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

∆=8(5d 2-1) ≥0，得5d 2≥1，所以

d =

d ≥

5

将

5代入②，得2b 2±4b +2=0

解得b =±1

22a -2b =1，知a 与b 同号 从而r =2b =2, a =±1，由

于是，所求圆的方程为：(x -1) +(y -1) =2或(x +1) +(y +1) =2

2222

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

x 2y 2

+=131. 已知椭圆4，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到

两焦点F 1、F 2距离的等比中项？

2. 求证：椭圆b x +a y =a b (a >b >0) 的弦中点与椭圆中心连线的斜率（两斜率均存在时）与此弦

2

2

2

2

2

2

b 2

-2

的斜率之积为a 。

3. 一椭圆长短轴平行于坐标轴，与直线2x +y =11相切于点P （4，3），它还经过点Q （0, -1），R （1, +1），求椭圆方程。

4. 两个不同的点P 、Q 在曲线y =x 上移动，不管如何选择其位置，它们总不能关于直线y =m (x -3) 对称，求m 的范围。

2y =4x 的焦点F 的直线l 与该抛物线交于A 、5. 过抛物线B 两点，若AB 的中点为M ，直线l 的斜率为k 。

2

（1）试用k 表示点M 的坐标；

1

（2）若直线l 的斜率k >2，且点M 到直线l '：3x +4y +m =0的距离为5，试确定实数m 的取值范

围。

x 2y 2

+2=12

b 6. 已知椭圆a （a >b >0），A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P （x 0, 0），a 2-b 2a 2-b 2

-

a a 。

求证：

【试题答案】

1. 解：由椭圆方程可知a =2, b =，并求得c =1，离心率

e =

1

2，准线x =±4

设椭圆上y 轴左侧部分存在点M （x 0, y 0）（-2≤x 0

MN 满足

2

=MF 1⋅MF 2 ① |MN |为点M 到左准线的距离

1MF 21=, =

2 则由椭圆第二定义，得x 0+424-x 0

MF 1=a +ex 0=2+

1

x 02

MF 1

因而由椭圆的焦半径公式知

MF 2=a -ex 0=2-MN =MF 1⋅

1x 02

又

1

=2MF 1=4+x 0e

(4+x 0) 2=(2+

11

x 0)(2-x 0) 22

12

5或x 0=-4，这与-2≤x 0≤0相矛盾，故不存在满足

将以上各式代入①中得：

整理得：5x +32x 0+48=0，所以条件的点M

20

x 0=-

2. 证明：设弦两端点为A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），中点为P ，则

k OP =

y 1+y 2x 1+x 2

k AB =

y 2-y 1x 2-x 1

222222⎧⎪b x 1+a y 1=a b ⎨222222⎪b x +a y =a b ⇒b 2(x 2+x 1)(x 2-x 1) +a 2(y 2+y 1)(y 2-y 1) =0 22⎩由

2y 1+y 2y 2-y 1b 2b ⇒⋅=-2k ⋅k =-2x 1+x 2x 2-x 1a 即OP AB a

3. 解：视点P （4，3）为退化椭圆，其方程为(x -4) +n (y -3) =0（n >0, n ≠1） 由此所求椭圆长、短轴与坐标轴平行且与直线2x +y =11相切于点P 的椭圆方程可设为：

22

(x -4) 2+n (y -3) 2+λ(2x +y -11) =0（1）

n =

1

, λ=22，代入椭圆方程（1）

将Q 、R 点坐标代入（1）式得：

(x -2) 2(y -1) 2

+=122

2(x -2) +(y -1) =12612得 即所求椭圆方程为

4.

解析：从不能的角度考虑，需分别讨论各种情况，比较麻烦，用补集思想从问题的反面考虑就可以达到避繁就简的目的。

解：设I ={m |m ∈R },A ={m |P 、Q 关于直线y =m (x -3) 对称}

2

y =x m =0若，显然曲线上没有关于直线y =0对称的点

当m ≠0时，设抛物线上的两点（x 1, x 1）、B （x 2, x 2）关于直线y =m (x -3) 对称， 1⎧122

⎪2(x 1+x 2) =m [2(x 1+x 2) -3]⎪⎨22x -x 112⎪=-

m ⎩x 1-x 2则⎪

2

⎧x 12+x 2=m (x 1+x 2-6) ⎪⇒⎨1

x +x =-2⎪1

m ⎩

22

消去x 2得由

∆=(

2x 12+

2x 11

+2+6m +1=0m m

2212) -8(2+6m +1) >0

m m ，得(2m +1)(6m

1

2

-2m +1) 0恒成立

11m ≥-2故当2

2

2

2

∴ 2m +1

∴

A ={m |m

2

时满足题设条件

2

5. 解：（1）设直线方程y =k (x -1) ，代入y =4x ，得k x -(2k +4) x +k =0，k ≠0

2(k 2+2) 422y +y =M (1+, ) 1222x , y x , y x +x =k ∴ k k k 2设A （11），B （22），则1

（2）∵ M 到l '的距离

d =

168686868

|3+2++m ||3+2++m |=1m =-2--2m =-2--45k k k k k k k k ∴ ，从而或 11, k >20

m =f (t ) =-6t -8t -2 k 2，则，这时

-

1519

令

t =

2

m =f (t ) =-6t -8t -4 ∴ 或

因此m 的取值范围是（

2

2

-

19

, -22）

PA =PB 可得：

6. 证明：设A （a cos θ1, b sin θ2），B （a cos θ2, b sin θ2），由

(x 0-a cos θ1) 2+b 2sin 2θ1=(x 0-a cos θ2) 2+b 2sin 2θ2

∴ (a -b )(cos

2

2

2

θ1-cos 2θ2) =2ax 0(cosθ1-cos θ2)

∵ AB 的垂直平分线与x 轴相交，故AB 与y 轴不平行，即cos θ1≠cos θ2

22(a -b )(cosθ1+cos θ2) =2ax 0 -2

a 2-b 2a 2-b 2-

-2(a -b )