[周长固定三角形面积的最大值]

《周长固定三角形面积的最大值》 ——数学建模一例 谈到，周长固定围成面积的问题，许多人会想到正方形和二次函数。好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？ 首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。 好了，现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。而且我们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。可知它的周长公式：L=2*(a + b)。 有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。现在，把b=L/2-a 代入s=a*b就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-10），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。 所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形) 也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab，所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去―=‖，s有最大值 因为： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。 现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？ 好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。还有个推论：三角形两边之差小于第三边。 不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x 。根据三边关系定理有：x2c。可以，以2c=x的中点建立坐标系，则：a^2= (L-x/2)^2 ，b^2= (L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/ 。

三角形与椭圆

所以椭圆方程为：X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1

函数图像的直观反映

，三角形的面积为：s=(1/2)*( 2c)*Y ，因为，x=2c是固定的，所以s取决于Y，当Y取max时，即Y=b

时，s有最大值。 即：S=s(x)max （且此时，该三角形为等要三角形） =c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2 =(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0

s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，其中p=(a+b+c)/2 。用不等式来解决！或者用二元函数的偏导及拉格朗日乘法，来解解决也行。 不要以为，海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 比微积分简单一些，前提是你必须知道这个公式，而且能够证明！我就给大家一个证明，这是我在分解因式中，

遇到较麻烦的一次！ 要证明海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，首先，要知道余弦定理： 勾股定理的扩展——余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bccosA， 则有：cosA=（ b^2+c^2- a^2）/2bc 所以，sinA={1-[（ b^2+c^2- a^2）/2bc]^2}^1/2 ={[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2 又因为，三角形面积公式： s=(1/2)*bcsinA =(1/2)*bc*{[( a^2+b^2+c^2)^2 –

2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2 =(1/4)* [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)] ^1/2 (与角度A并无直接关系) 又 ∵ [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)

=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2- a^4-b^4-c^4 =b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+ a^2c^2+ b^2c^2- c^4 = b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+ a^2c^2+ b^2c^2+2abc^2- c^4 (配方) =c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+ c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4 = c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+ c^2(b+a)^2-c^4 = c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+ c^2(b+a)^2 （分解因式） =

c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2] = [(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2] （提公因式）

=-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2] =[(b+a)^2-c^2]*(-1)* [(b-a)^2-c^2]

=[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c) =[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b)

=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) ∴ s=(1/4)[ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2 =[(a+b+c)/2 *(a+b-c)/2 * (b+c-a)/2* (a+c-b)/2]^1/2 ={[(a+b+c)/2 ]*[(a+b+c)/2- c]*[ (b+c+a)/2 –b]*[ (a+c+b)/2-a] }^1/2 在令： p=(a+b+c)/2 就得到海伦公式：s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 有了此公式，在利用不等式，问题就可以解决了。 需要知道的一个不等式：(a+b+c)^3 /27≥abc (a，b，c均为正数，当a=b=c时，取―=‖) ∵

(p-a)*(p-b)*(p-c)≤[3p-(a+b+c)]^3 /27，又∵2p=a+b+c； ∴ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤p3 /27 则有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2 所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2 即：s≤(3^1/2 /36) p2，当p-a=p-b=p-c,即，a=b=c时，取―=‖s有最大值(3^1/2 /36) L^2 （2006全国卷l理科第11题）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：㎝）的5根细棒围成一个三角形（允许连接，但不许折断），能够得到的三角形的最大面积是…… （ B ） A 8*5^1/2

B 6*10^1/2 C 3*55^1/2 D 20 分析：首先，这几个整数成等差数列，公差为1，它们的和为20。现在，要把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形，最后找出这些三角形中面积最大的一个。 如果，真的去分组，在统计比较，时间上显然不够！这个时候就需要你会建立，数学模型了，并且能够转化数学。把离散组合，转化为连续的数学。 数学家在研究问题时，往往关注一些变中不变的东西，那往往是大规律、大道理，不以人的意志为之转移，带有根本性的。把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形。无论怎么变化，有一条是不变的：它们的和为20；于是要解决的问题就是：当三角形周长固定时：什么样的三角形面积才是最大的？ 上面研究过，正三角形的面积最大，并且由 S=s(x)max （且此时，该三角形为等腰三角形） =(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0