浙江大学05-06夏微积分三期末试卷[有答案]

浙江大学2005–2006学年夏季学期 《 微积分Ⅲ》课程期末考试试卷

开课学院： 理学院 考试形式：闭卷

考试时间：2007年7月1日 所需时间：120 分钟

考生姓名： _____学号： 专业： ________

一、填空题（每小题5分，将答案填在横线上）

(1) 设l为椭圆4x2y21的一周，其全长为a，则平面第一型（即对弧长的）曲线积分

)2

(2xydsc

.

y

(2) 已知yee



x

dxxe

.

y

exdy为某二元函数u(x,y)的全微分，且u(0,0)1.则



u(x,y)

（3）设uu(x,y,z)具有二阶连续偏导数，且满足

2u2u2u222

xyz, 222xyz

S为球面x2y2z2a2(a0)的外侧，则第二类曲面积分

uuu

dydzdzdxdxdyxyzS

.

2

（4）设(y)具有连续的一阶导数，(1)1, l为自点(0, 0)沿曲线y3x2x到点(1, 1)的有向弧，则平面第二型曲线积分(2x(y)y)dx(x(y)y)dy

l



2

.

二、选择题（每小题5分, 每小题所给4个选项中只有1个是符合要求的, 请将所选代码填入【 】中）. (5) 设 D{(x,y)|x2y20} ，l是D内的任意一条逐段光滑的封闭曲线，则必有 (A)

(xy)dx(xy)dy(xy)dx(xy)dy

(B) 00 2222xyxyll

xy(xdyydx)xy(xdyydx). (D) 00. 【 】 4444xyxyll

(C)

(6) 设S为上半球面x2y2z2a2,z0,(a0),下列第一型曲面积分或第二型曲面积分不为0的是 (A)

S上侧

xdydz. (B)

S

S上侧

2

ydydz.

(C)

ydS. (D) xydS. 【 】

S

(7) 设P(x,y)与Q(x,y)在平面区域D上连续且有连续的一阶偏导数，则“

QP

当 xy

(x,y)D”是“对于D内的任意一条逐段光滑的闭曲线l, P(x,y)dxQ(x,y)dy0”的

l

(A) 充分条件而非必要条件. (B) 必要条件而非充分条件.

(C) 充分必要条件. (D)既非充分有非必要条件. 【 】

222

(8) 设空间区域{(x,y,z)|xyz9,x0,y0,z0}，函数f(x)为正值的

连续函数，则





f(x)2f(y)3f(z)f(x)

f(y)

f(z).

(A) . (B) 9. (C) . (D) 27. 【 】

三、解答题（以下各小题每题10分，解题时应写出必要的解题过程）.

22

(9) 设Ω是由曲面z(xy)与z8所围成的空间有界闭区域，求

22(xy)dV. 

(10) 设S是锥面z

22zxy

(11) 设L为空间曲线，自z轴正向往负向看，L是逆时针的，求

22xy2x

222ydxxdyzdz. x2y2(0z1)的上侧，求

xdydz2ydzdx3zdxdy.

S

L

(12) 设l为自点A(1,0)沿圆周(x1)2y24的上半个到点B(3,0)的有向弧段，求

xdyydx

. 224xyl

22

（13）设S为曲面z(xy),(0z1), 求第一型曲面积分

(2z1)dS.

S

（14）设f(u)具有连续的一阶导数，点A(1,1)，点B(3,3)，l为以AB为直径的左上半个

1x1x

圆弧，自A到B，求(f()y)dx(f()x)dy.

xyyyl

参考解答：

一．（1） a ； （2）yexxey1； （3）二． C A B B. 三．

（9） 解1：原式

41a5； （4）. 52



20

dr3dr2dz

8

48

解2：原式＝



dz

20

d

1024 31024r3dr

3

2

2

2

2

（10）解1：高斯公式.

S1:z1,x2y21，下侧，V：xyz1,Dxy:xy1 原式

SS1

6dV3d6

S1

20



Dxy

drdrdz3

r

11

解2：化第一类曲面积分.

S:z2x2y20,Dxy:x2y21，n 原式

0

{x,y,z} 2z

(xcos2ycos3zcos)dS

S

2

(x22y23z2)dS2S

2x2y2x2y2



1

(2x2y2)dS

S

Dxy

d42dr2(1cos2)dr

（11）解1：Stokes公式 S:z

x2y2,(x,y)Dxy:x2y22x上侧

原式



S

dydzdzdxdxdy



(2x2y)dxdy(2x2y)dxdy

xyzSDxy

222yxz

2cos0

2xdxdy4d

Dxy

r2cosdr2

解2：直接法.L:x1cost,ysint,z2cos,t:02

原式



20

(2cos2tcos3t)dt2

Qy24x2P

（12）解：, (x,y)(0,0)， 积分与路径无关. 222

x(4xy)y

设LAC:4x2y24(y0), A(1,0)C(1,0)

xcost,y2sint,t:0

2

原式xdyydx＋0(2cost2sin2t)dt

4L2

LAC

AC

（13）解：dSx2y2d，S:z(x2y2),Dxy:x2y22

1

(2z1)dS[2(x2y2)1]x2y2d

2SDxy

2

512

(1r2)|02(91)

25

（14）解：

Q2, AB:yx(x:13), |AB|22 LABBA

原式



AB

－2dxdy02

D