第二节 简谐振动的特征量
§ 8.2 简谐振动的特征量
一、振幅(amplitude)
作简谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值A ，称为振幅。振幅恒为正。
x =A cos(ωt +ϕ
)
全振动：
在SI 中，振幅的单位是米，符号为m 。 二、周期 频率 角频率
利用周期、频率、角频率反映振动的快慢 1. 周期
物体作一次完全振动所需的时间称为周期，用T 表示。 x =A cos(ωt +ϕ) =A cos[ω(t +T
) +ϕ]
T =
2π
ω
=2周期仅与振动系统本身的物理性质有关 在SI 中，周期的单位是秒，符号为s 。 2. 频率
单位时间内物体所作完全振动的次数，称为频率，用ν表示。 ν=
1
T =ω2
π
在SI 中，频率的单位是赫兹，符号为Hz 。 3. 角频率
在2π秒内物体作完全振动的次数，称为角频率。
ω=
角频率的单位是弧度每秒，符号为rad·s-1。
1
三、相位和初相
当振幅A 和角频率一定时，振动物体在任一时刻相对于平衡位置的位移x 和速度v 决定于量值(ω t+ϕ) 。把量值ω t+ϕ称为相位。
称(ωt +ϕ )为t 时刻的相位(phase)，反映了t 时刻的物体的振动状态。 x =A cos(ωt +ϕ)
v =-A ωsin(ωt +ϕ)
a =-A ω2cos(ωt +ϕ)
在SI 中，相位的单位是弧度，符号为rad 。 相位与x 、v 、a 的关系
初相位(initial phase)：常量ϕ 是t = 0时的相位，称为初相位，简称初相。 t =0称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻。 初相位反映t = 0时刻的振动状态(x 0，υ0 ) 。 x 0 = Acos ϕ， υ0 = -ωA sin ϕ
例8-1 试比较简谐振动的位移、速度和加速度之间的相位关系。 解：
设简谐振动的运动学方程为 x =A cos(ωt +ϕ) 振动物体的速度则为 υ=
d x
d t
=-A ω sin (ωt +ϕ)
υ=A ω cos ⎛ωt +π⎫
振动物体的加速度为 ⎝
2
⎪
⎭
a =d 2x
d t
2=-A ω 2cos (ωt +ϕ)
a =A ω 2cos (ωt +ϕ+π)
四、常量A 和ϕ 的确定 初始条件
t =0x =x 0v =v 0
2
x 0=A cos ϕ
v 0=-
ωA sin ϕ
A =tan ϕ=
-v 0ωx 0
注意：对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定。 五、简谐振动曲线 取 ϕ=0
x =A cos(ωt +ϕ) v =-A ωsin(ωt +ϕ) =A ωcos(ωt +ϕ+
π
2
) a =-A ω2cos(ωt +ϕ)
=A ω2cos(ωt +ϕ+π)
x 、υ、a
简谐振动的位移、速度和加速度曲线
3
例8-2 一放置在水平桌面上的弹簧振子，周期为0.50s 。当t = 0时，物体的位
-2-1m =0 移 x 0 = - 1 . 0 ⨯ 10 , 速度 v 0.218m ⋅ s 。求振动方程。
x
已知：T=0.5s 求：振动方程 解：
A =
x 0=-1. 0⨯10-2m v 0=0.218m ⋅s -1
ω =
=
2π2π-1
=s =4π s-1T 0.5
=2.0×10-2m
4
x =2.0⨯10-2cos(4πt +π)m
3
π
- v 0.218
3 （舍）
tan ϕ ===1.73-2
ω x 0 4 ⨯ 3.14 ⨯ 10 则：
ϕ =
ϕ =
4π
3
例8-3 如图所示，一竖直放置的弹簧振子，其劲度系数为k ，物体的质量为m 。试证物体的振动是简谐振动，并求其振动周期。 取弹簧上未放物体时的自由端位置点O 为坐标原点，x 轴竖向下。
当物体放在弹簧上达到平衡时，弹簧缩短量为b
当物体在任一位置x 时
其动力学方程为
m
d x
=mg -kx 2d t
2
直
mg =kb
F x =mg -kx
令 x - b = ，这相当于把坐标原点改放在平衡位置
x '则动力学方程为
d 2x '
m =-kx '2
d t
d 2x '
m d t =-ω 2x '
k = ω 2 令 m
x
此式表明竖直放置的弹簧振子，仍然作简谐振动。
4
2π
ω=
T =
ω=2六、简谐振动的描述方法
要熟记典型 ϕ 值所相应的振动情况和振动曲线(如图) 。
(a
/2 (b )
x t
0 = 0
- (c )
x
(d )
t
x 0 = 0
-弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线
5