随机变量可加性及在概率论与数理统计教学中的应用
科技信息
○本刊重稿○
SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2010年第23期
随机变量可加性及在概率论与数理统计
教学中的应用
屈聪张水利
(平顶山学院数学与信息科学学院河南
【摘
2
平顶山467000)
要】随机变量的可加性是概率论与数理统计中一个非常重要的内容,但是很多教材都没有较系统的对此问题进行讨论。本文给出了
二项分布、泊松分布、正态分布、χ分布、Γ-分布、柯西分布、复合泊松分布以及泊松过程都具有可加性,最后讨论了随机变量可加性在概率论与数理统计教学中的应用。
【关键词】可加性;相互独立;正态分布;教学
TheAdditivePropertyofRandomVariablesandIt’sApplicationinTeachingofProbabilityandStatistics
【Abstract】TheadditivepropertyofrandomvariablesisaveryimportantcontentinProbabilityandStatistics,butmostoftextbookdon’tdiscussthisproblem.Inthispaper,Binomialdistribution、Poissondistribution、thenormaldistribution、chi-squaredistribution、Γ-Distribution、Cauchydistribution、compoundPoissondistributionandPoissonprocesscanbeadditive,andtheadditivepropertyofrandomvariableswasappliedinteachingofProbabilityandStatistics.
【Keywords】Additiveproperty;Independence;Normaldistribution;Teaching
0引言m,p).
结论3.2[1]泊松分布具有可加性.
设ξ1~P(λ1),ξ2~P(λ2),且ξ1与ξ2相互独立,则η=ξ1+ξ2~P(λ1+λ2).结论3.3[1]
正态分布具有可加性.
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2
2
2
在概率论中,在求一些随机变量和的分布的情形中,有一类求和比较特殊,即有限多个相互独立同分布的随机变量之和的分布类型不变.这一性质,称为“可加性”或“再生性”.随机变量的可加性是概率论中的一个重要概念,关于随机变量的可加性研究,在一般的教科书中,尚未形成系统、较完善的论述,有必要对该方面的内容做一些较深入的研究.本文给出了二项分布、泊松分布、正态分布、χ分布、Γ-分布,柯西分布、复合泊松分布以及泊松过程都具有可加性,最后讨论了随机变量可加性在概率论与q理统计教学中的应用.
2
设ξ1~N(a1,σ1),ξ2~N(a2,σ2),且ξ1与ξ2相互独立,则
η=ξ1+ξ2~N(a1+a2,σ1+σ2).结论3.4[1]χ分布具有可加性.
设ξ1与ξ2相互独立且ξ1~χ(m),ξ2~χ(n),则:ξ1+ξ2~χ(m+n)结论3.5[1]Γ-分布具有可加性.
若ξ1,ξ2相互独立且分别服从Γ-分布Γ[α1,β]及Γ[α2,β],则ξ1+
2
2
2
2
1定义
定义2.1[1](Γ-分布)若随机变量ξ的密度函数由下式给出
α1xe,x>0f(x)=βΓ(α+1)
,0x≤0
其中α>-1,β>0,则称ξ服从Γ-分布或写为ξ~Γ[α,β].定义2.2[4](柯西分布)若随机变量ξ的密度函数为
,-∞<x<∞,f(x)=1λ
λ+(x-μ)ξ2服从Γ-分布Γ[α1+α2+1,β]
结论3.6[1]柯西分布具有可加性.
设ξ1与ξ2相互独立且服从柯西分布,则η=ξ1+ξ2也服从柯西分布结论3.7[3]复合泊松分布具有可加性.
设随机变量S1,S2服从复合泊松分布且相互独立,S1=
N2
N1
-x
ΣX,N服
i=1
i
1
2
从参数为λ的泊松分布,Xi分布函数为F1(x),S2=
ΣY,N服从参数
i=1
i
其中λ>0及μ均为常数,则称ξ服从参数为λ,μ的柯西分布,记作ξ~C(λ,μ).
定义2.3[3](复合泊松分布)设有随机变量和
为γ的泊松分布,Yi分布函数为F2(x),则S1+S2与复合泊松随机变量
ΣX,若N服从泊
i=1
i
N
ΣZ的分布相同,
i=1
i
N0
其中N0服从参数为λ+γ的泊松分布,{Zi,i≥1}独
松分布,{Xi,i≥1}独立同分布,且N与{Xi,i≥1}独立,则称随机和
Σ
i=1
N
立同分布,分布函数为
Xi服从复合泊松分布.约定当N=0时,ΣXi=0.
i=1
N
Fz(x)=λF1(x)+γF2(x)
λ+γλ+γ[3]
结论3.8泊松过程具有可加性.
设{N1(t),t≥0}与{N2(t),t≥0}为相互独立且参数为λ1,λ2的泊松过程,则{N(t)=N1(t)+N2(t),t≥0}是参数为λ1+λ2的泊松过程.
定义2.4(泊松过程)称计数过程{N(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程,若它满足下列条件:
[3]
(1)N(0)=0,
(2)N(t)是独立增量过程,(3)对任意s,t≥0总有
-λt
P(N(s+t)-N(s)=n)=(λt)e,n=0,1,2,…
n
3随机变量可加性在概率论与数理统计教学中的应用
可加性是概率论中的一个重要概念,它在概率论与数理统计的教学中有非常广泛的应用.例如,在求抽样分布时,需要用到正态分布和
2主要结论
结论3.1[1]二项分布具有可加性.
设ξ1~b(n,p),ξ2~b(m,p),且ξ1与ξ2相互独立,则:η=ξ1+ξ2~b(n+
χ分布的可加性;有时,使用随机变量的可加性来解决一些问题将变得比较简单.
定理4.1[2]设(ξ1,ξ2,…ξm),(η1,η2,…ηn)分别取自两个相互独立的正态总体N(a1,σ1)和N(a2,σ2)的样本,则
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2
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Z=
軃-軍ξη-(a1-a2)
軃~N(a,σ),軍证明:由费希尔定理可知;ξη~N(a2,σ2),且由11
軃与軍軃-軍两个总体的独立性知ξη也独立,由正态分布的可加性,于是ξη~N(a1+a2,σ1m+σ2),故
2
2
姨
σ1σ2
+2
2
~N(0,1)则
Σi=1
N
ξi-aii
~χ(n).Σ
2
2
2
证明∵ξi~N(ai,σi),i=1,2,…,n
∴
ξi-ai
~N(0,1),i=1,2,…,ni
[2]
由定理4.3知:
Σi=1
N
ξi-aii
~χ(n).Σ
2
2
Z=
軃-軍ξη-(a1-a2)
σ1σ2
+定理4.2[2]设(ξ1,ξ2,…ξm),(η1,η2,…ηn)分别取自两个相互独立的正态总体N(a1,σ)和N(a2,σ)的样本,则
2
2
姨
~N(0,1)
例4.1设随机变量ξ~N(3,16),η~N(6,9),且ξ与η相互独立,求P(4<ξ+η≤14)=.
解:由于ξ,η都服从正态分布,且相互独立,由正态分布的可加性知,
ξ+η~N(9,25)
555
=2Φ(1)-1≈2×0.8413-1=0.6826
例4.2报名听教育学课的学生人数是均值为100的泊松随机变量,负责这门课程的教授决定,如果报名的人数不少于120人,就分成两班讲授,如果少于120人,就集中在一个班讲授,试问该教授将讲授两个班的概率为多大?
(100),但没有给出具体的数字答案,如i=120
果想到均值为100的泊松随机变量等于100个均值为1的独立泊松随机变量之和,我们就可以用林德伯格-莱维定理求其近似值.设η表
解精确的解是e
-100
T=
軃-軍ξη-(a1-a2)
所以P(4<ξ+η≤14)=P(4-9<ξ+η-9≤14-9)=Φ(1)-Φ(-1)
姨
2
mS1+nS22
2
~t(m+n-2)2
2
姨+其中S1,S2,分别是总体N(a1,σ)和N(a2,σ)的样本方差.证明:由定理4.1可知Z=
2
2
軃-軍ξη-(a1-a2)σ
姨+2
~N(0,1),由费希尔定理
2
2
2
Σ
∞i
軃,軍可知,mS1σ~χ(m-1),nS2σ~χ(n-1),且ξη,S1,S2相互独立,由χ
2
2
分布的可加性,W=
mS1+nS2
σ
22
~χ(m+n-2)并且Z和W独立,所以
2
P(η≥120)=P
軃-軍ξη-(a1-a2)
【参考文献】
T=
姨
2i
Z=[1]
~t(m+n-2)
定理4.3
mS1+nS2+设ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,并且都服从N(0,1)分布,则
姨
姨
[1]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2001.
[2]缪铨生.概率论与数理统计[M].上海:华东师范大学出版社,2006.
[3]唐玲,徐怀.复合泊松分布和泊松过程的可加性[J].安徽建筑工业学院学报:自然科学版,2007,15(5):80-81.
[4]梁之舜,等.概率论及数理统计[M].北京:高等教育出版社,2001.
Σξ~χ
i=1
N
2
(n).
2
2
证明∵ξi~N(0,1),i=1,2,…,n,则:ξi~χ(1),i=1,2,…,n.又由结论3.4:χ分布具有可加性,知:定理4.4
[1]
2
Σξ~χ
i=1
i
N
作者简介:屈聪(1981—),女,汉族,河南南阳人,硕士,助教。
22
(n).
2
※基金项目:平顶山学院青年科研基金资助项目(2008045)。
[责任编辑:王静]
设ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,且ξi~N(ai,σi),i=1,2,…,n,
(上接第47页)选取浙江省国家水文数据库中曹娥江流域崇仁站1963-2001年逐日雨量数据进行测试。
以1978年为特征年,这一年是曹娥江流域的枯水年。利用本文的方法进行相似查找,和1978年的日降雨量相似的是1967年,其日降雨量曲线如图3所示。从图中可以看出,1967,1978这两年的日降雨过程趋势大致相似。它们的年总降雨量分别为837mm,852mm,都属于枯水年。
由于每年的日降雨量时间序列的随机性,用一般的方法(如将序列平移)
很难找到两年的日降雨过程相似。利用离散小波变换,过滤掉时间序列中一些细节部分,保留了序列大致的趋势。因而使得在数学定义的两个不相似的序列在离散小波变换下能够相似,这对大尺度的年来说,能够知道大致的变化趋势就可以了。科
●
【参考文献】
[1]WenshengWang,JingDing,HonglianXiang.Applicationandprospectofwaveletanalysisinhydrology.AdvancesInWaterScience,2002,13(4):515-520.[2]XianbinLi,JingDing,HouqiangLi.WaveletAnalysisofHydrologicalTimeSeries.AdvancesInWaterScience,1999,10(2):30-35.
[3]ChengyouTang,RuiWang,RenMiao.ApplicationofDiscreteWaveletTransforminHydrologicalSeriesDecomposition.ChinaRuralWaterandHydropower,2007(2):106-108.
[4]HaiqinZhang,QingshengCai.TimeSeriesSimilarPatternMatchingBasedonWaveletTransform.ChineseJournalofComputers,2003,26(3):373-377.
图31967,1978年的日降雨量曲线
※基金项目:浙江省水利厅资助项目(RC0927)。
[责任编辑:翟成梁]
4结语
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