直接用坐标变换求解雅可比矩阵的例子1

第九章 开式链机构

§9-1 开式链机构的特点及功能

由开式运动链所组成的机构称为开式链机构,简称开链机构. 一、特点

1、开式运动链的自由度较闭式运动链多，要使其成为具有确定运动的机构，就需要更多的原动机；

2、开式运动链中末端构件的运动与闭式运动链中任何构件的运动相比，更为任意和复杂多样。 二、应用

利用开式运动链的特点，结合伺服控制和电子计算机的使用，开式链机构在各种机器人和机械手中得到了广泛的应用。

机器人的应用是多方面的：

制造业中，完成产品的生产从单一品种大批量生产逐步向多品种小批量生产过度；

在微电子工业和制药工业中，为避免人工介入而造成的污染，用机器人代替人完成某些操作；

在深水资源开发、卫星空间回收及外层空间活动中，机器人已成为不可或缺的工具；

机器人还可用于矿产开采、排险救灾及各种军事用途。 实例：a) 喷漆机器人 b) 装配机器人 c) 搬运机器人 三、机器人与传统自动机的区别

由连杆、凸轮等闭式链机构所组成的一般自动机，用于多次完成同样的作业----- 固定自动化；

由开式链机构所组成的机器人和机械手，可在任意位置、任意方向和任意环境下单独地或协同地进行工作，是一种灵活的、万能的、具有多目的、多用途的自动化系统------ 柔性自动化。

机器人与传统自动机的区别在于前者具有更大的万能性和多目的的用途，易于调整来完成各种不同的劳动作业和智能动作，包括在变化之中以及没有事先说明的情况下的作业。

§9-2 开式链机构的结构分析

本节以机器人操作器为例，介绍开式链机构的组成和结构。 一、操作器的组成

操作器是机器人的执行系统，是机器人握持工具或工件、完成各种运动和操作任务的机械部分，由机身、臂部、腕部和手部（末端执行器）组成。

机身：用来支持手臂并安装驱动装置等部件，常把它与臂部合并考虑。

臂部：操作器的主要执行部件，其作用是支撑腕部和手部，并带动它们在空间运动，从而使手部按一定的运动轨迹由某一位置达到另一指定位置。

腕部：连接臂部和手部的部件，其作用主要是改变和调整手部在空间的方位，从而使手爪中所握持的工具或工件取得某一指定的姿态。

手部：操作器的执行部件之一，其作用是握持工件或抓取工件。

二、操作器的自由度

操作器的自由度：在确定操作器所有构件的位置时所必须给定的独立运动参数的数目。

操作器的主运动链通常是一个装在固定机架上的开式运动链。

操作器中的运动副：仅包含单自由度运动副——转动关节和移动关节。 自由度计算公式

：操作器的自由度

：操作器中第I个运动部件的自由度

操作器臂部的运动称为操作器的主运动，臂部各关节称为操作器的基本关节。

臂部自由度组合及运动图形

1） 直线运动

2）回转运

动

3）直线运动与回转运动

结论：

为了使操作器手部能够达到空间任一指定位置，通用的空间机器人操作器的臂部应至少具有3个自由度；

为了使操作器的手部能够到达平面中任一指定位置，通用的平面机器人操作器的臂部应至少具有2个自由度。

腕部的自由度：用来调整手部在空间的姿态。

为了使手爪在空间取得任意的姿态，在通用的空间机器人操作器中其腕部应至少有3个自由度。一般情况下，这3个关节为轴线相互垂直的转动关节。

为了使手爪在平面中能取得任意要求的姿态，在通用的平面机器人操作器中其腕部应至少有一个转动关节。

手部运动的自由度一般不计入操作器的自由度数目中。 结论：

1）通用的空间机器人操作器的自由度大于等于6（位置3个，姿态3个），其中转动关节大于等于3；

2）通用的平面机器人操作器的自由度大于等于3（位置2个，姿态1个），其中转动关节大于等于1；

3）仅用移动关节不可能建立通用的空间或平面机器人。

冗余自由度

操作器的自由度大于6时，手爪可绕过障碍到达一定的位置。 三、操作器的结构分类

1、直角坐标型（直移型）

三个基本关节：均为移动关节

运动图形：长方体

优点：结构简单，运动直观性强，便于实现高精度。 缺点：占据空间大，相应的工作范围小。 实例：

2、圆柱坐标型（回转型）

三个基本关节：2个移动关节，一个转动关节； 运动图形：空心圆柱

优点：运动直观性强，占据空间较小，结构紧凑，工作范围大。 缺点：受升降机构的限制，一般不能提升地面或较低位置的工件。 实例：

3.球坐标型（俯仰型）

三个基本关节：移动关节1个，转动关节2个。

运动图形：空心球体

优点：由于其具有俯仰自由度，能完成从地面提取工件的任务，工作范围扩大了。

缺点：运动直观性差，结构较复杂，臂端的位置误差会随臂的伸长而放大。 实例：

4.关节型（屈伸型）

三个基本关节：均为转动关节 运动图形：球体

优点：占据空间小，工作范围大，可绕过障碍物运送或提取工件。 缺点：运动直观性差，驱动控制比较复杂。 实例：

§9-3 开式链机构的运动学

一.研究的主要问题

1、正向运动学问题（直接问题） 给出关节参数

、

、

，

求

，，

给出操作器的一组关节参数，确定其末端执行

器的位置和姿态，可获得一组唯一确定的解。

2、反向运动学问题（间接问题

给出末端执行器的位置和姿态，，，求关节参数

、

、

。

对于工作所要求的末端执行器的一个给定位置和姿态，确定一组关节参数，使末端执行器达到规定的位置和姿态，有解的存在性（解的存在与否表明其操作器是否能达到所要求的位置和姿态）和多重解（对应与工作所要求的末端执行器的一个给定位置和姿态，可能存在着多组关节参数，每一组关节参数都可以使末端执行器达到这一规定的位置和姿态）的问题。 3、工作空间

工作空间：指在机器人运动过程中，其操作器臂端所能达到的全部点所构成的空间，其形状和大小反映了一个机器人的能力。 可达到的工作空间

机器人末端执行器至少可在一个方位上能达到的空间范围。 灵活的工作空间

机器人末端执行器在所有方位上均能达到的空间范围。

二.平面两连杆关节型操作器

1、正向运动学问题

已知各关节的位置坐标（关节速度）和作器臂端B点的位置

加速度

、

。

、

、和其各阶导数、

（关节加速度），求操、

、，速度

、

和

位置分析

姿态角 =

+

速度分析（对位移方程求导）：

雅可比矩阵

操作器的雅可比矩阵是关节速度和操作器臂端的直角坐标速度之间的转换矩阵。

操作器臂端B点的加速度，可通过对速度方程式两边对时间再次求导得到。

2、反向运动学问题

已知操作器末端执行器的位置和加速度参数

（关节加速度）。 位置分析

、

、、速度

、

，求解操作器各关节的位置

、（关节速度）和

、

、；运动参数

*如果不满足约束条件，说明给定的臂端目标位置过远，已超出了该操作器的工作空间。

则

*既可保证求出所有的解，又保证了求出的角度在正确的象限内。

* 角可在任一象限内，它取决与、的符号。

故

则

“+”：

“-”：速度分析



>0时

* 操作器各关节的速度，可通过其雅可比矩阵的逆矩阵和给定的操作器臂端的直角坐标系中的速度求得。

一个矩阵有逆的充要条件是其行列式的值不为零，即

当

：两连杆伸直共线

：两连杆重叠共线 时

，不存在。意味着在该操作器工作空间的边界上，操作器将不再

是一个2自由度的操作器，而变成了仅具有一个自由度的操作器。这样的位置称为操作器的奇异位置。在奇异位置，有限的关节速度不可能使臂末端获得规定的速度（类似与曲柄滑块机构的“死点”位置）。

该式表明：

在奇异位置，为了使臂末端具有规定的速度，要求关节速度必须达到无穷大；

在奇异位置附近，为了使臂末端具有规定的速度，需要有限的但却非常高

的关节速度、（正比于）。

3、工作空间

可达到的工作空间

* 在工作空间内的每一点，末端执行器可取得两个可能的姿态； * 在工作空间边界上的每一点，末端执行器只能有一个可能的姿态。

灵活工作空间

* 在圆心点，末端执行器可获得任意姿态。

平面三连杆关节型操作器 1、正向运动学问题

已知操作器各连杆长度、、；各关节的位置坐标度

、

、

，求操作器臂端末端执行器的位置坐标

、

、

、

；关节速

和姿态角。

位置分析

速度分析

雅可比矩阵：

操作器臂端B点的加速度，可通过对速度方程式两边对时间再次求导得到。

2、反向运动学问题

已知操作器末端执行器的位置关节的位置参数

、

、

。

、和末端执行器的姿态，求解操作器各

位移分析

思路：将三连杆问题转化为两连杆问题。

利用前述方法求得、后，最后计算关节角：

其速度问题可通过式9-18两边同乘一个得到。

讨论

* 对应于工作空间的一个目标点，可解出两组关节角，其所对应的末端执行器的姿态相同，出现多重解的问题；

* 当操作器有多重解时，系统必须选择其中一个解。 选取原则：

一般情况下，选择使每个关节运动量最小的解； 有障碍物时，应避免与之碰撞；

在存在多重解时，必须求出所有可能的解，然后根据具体情况加以选择。

3、工作空间

重要结论：

* 对于关节型操作器而言，如果各连杆长度相等，而腕部连杆的长度设计的尽可能短的话，其工作空间的形状和尺寸则可以大大改善； * 人的手臂： 上臂长度=下臂长度

。

腕部长度