解三角形的必备知识和典型例题
解三角形的必备知识和典型例题
一、知识必备:
1.直角三角形(略)
2.在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
(1)三角形内角和:A +B +C =π。
(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
a b c ===2R (R 为外接圆半径) sin A sin B sin C
(3)余弦定理a =b +c -2bc cos A ; b =c +a -2ca cos B ; c =a +b -2ab cos C 。
3.三角形的面积公式: 222222222
111ah a =bh b =ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高); 222
111(2)S ∆=ab sin C =bc sin A =ac sin B ; 222(1)S ∆=
4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.
5.三角形中的三角变换
(1)角的变换
在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC ;tan(A+B)=-tanC 。 sin A +B C A +B C π=cos , cos =sin ;锐角三角形,A +B >, 则sin A >cos B . 22222
(2)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.
二、典例解析
题型1:正、余弦定理
例1.在△ABC 中,已知AB =2,A =45°,在BC 边的长分别为20,203,35的情况下,求相应角C 。
变式:设锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a =2b sin A . (Ⅰ)求B 的大小;
(Ⅱ)若a =c =5,求b .
题型2:三角形面积
例2在∆ABC 中,sin A +cos A =
题型3:正、余弦定理的综合应用
例3.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长,已知a 、b 、c 成等比数列,2,AC =2,AB =3,求ta n A 的值和∆ABC 的面积。 2
b sin B 且a -c =ac -bc ,求∠A 的大小及c 22的值。
题型4:正、余弦定理判断三角形形状
例4.在△ABC 中,若2cos B sin A =sinC ,则△ABC 的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形 B. 直角三角形 D. 等边三角形
变. 在△ABC 中,若sin A +sin B =sin C (cos A +cos B ).
(1)判断△ABC 的形状;
(2)在上述△ABC 中,若角C 的对边c =1,求该三角形内切圆半径的取值范围。
题型5:三角形中求值问题
例5.∆ABC 的三个内角为A 、B 、C ,求当A 为何值时,cos A +2cos
大值,并求出这个最大值。
B +C 取得最2
题型6:正余弦定理的实际应用及综合
例6.如图1,甲船在A 处,乙船在A 处的南偏东45°方向,距A 有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行,若甲船以28海里/时的速度航行,应沿什么方向,用多少小时能尽快追上乙船?
°
图1
7变. 在△ABC 中,已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,边c=,且tanA+tanB=3 2
tanA ·tanB 3 ,又△ABC 的面积为S △ABC =
三、课后跟踪训练
1. 若△33 ,求a+b的值。 2ABC 的三个内角满足sin A :sin B :sin C =5:11:13,则△ABC ( )
(A )一定是锐角三角形. (B )一定是直角三角形.
(C )一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.
2. 在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ,若a
则A=( )
(A )300 (B )600 (C )1200 (D )1500
3. 在∆ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则cos B =
A -2-b 2=,sin C =B ,34. 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边,若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .
5在锐角∆ABC 中,BC =1, B =2A , 则
为 .
AC 的值等于 , AC 的取值范围cos A
6. 在∆ABC 中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知a 2-c 2=2b ,且
sin A cos C =3cos A sin C , 求b
分析::此题事实上比较简单, 但考生反应不知从何入手. 对已知条件
7.在△ABC 中,已知A 、B 、C 成等差数列,求tan A +tan C +3tan A tan C 的值。
2222
8. (2009四川卷文)在∆ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对的边分别为
a 、b 、
c ,且sin A =B =(I )求A +B 的值;(II
)若a -b =
1,求a 、b 、c 的值。
9. 在∆ABC 中,a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边,
且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C
(Ⅰ)求A 的大小;
(Ⅱ)若sin B +sin C
=1,试判断∆ABC 的形状.