地球自转对抛体运动影响的研究

　2003年10月　　　　　　　　　　　　　　　郴州师范高等专科学校学报　　第24卷第5期　　　　　　　　　　　　　JournalofChenzhouTeachersCollege　Oct.,2003

Vol.24No.5

文章编号:100822042(2003)0520050204

地球自转对抛体运动影响的研究

夏长城,向建国

(湘南学院物理系,湖南郴州　423000)

摘　要:本文通过研究地球自转时抛体运动的轨道方程和抛体的横向偏离等,揭示了地球自转对抛体运动的影响.它

对学习和理解非惯性转动参照系中物体的运动有帮助.关键词:地球自转;科里奥利力;抛体运动;横向偏离中图分类号:O311.1　　　　　　文献标识码:B

在考虑地球自转时,地球是一个非惯性转动参考系.因此地面上运动的物体,它除受到物体间的相互作用

33

力F之外,还受到两个非惯性力———惯性离心力(fc)和科里奥利力(fk)的作用.,物体相对地球运动的规律应为:

33

F+fc+fk=ma

ω2r+2mu相×ω=ma即:F+m

因为地球自转角速度很小,ω3×-5

(1)

u相较大的

ˉ1

物体的运动,,可以忽略.于是,方程

式(1)(2)+相和如图建立坐标系:使x轴和z轴分别指向东和南,y轴竖直向上,则相F:

u相=dxΠdti+dyΠdtj+dzΠdtω=ωsinφj-ωcosφk(3)F=Fxi+Fyj+Fzk

其中φ表示物体所处在的纬度.把方程组(3)代入(2)式,则可求出抛体运动的微分方程的分量表达式为:22

ω(cosφdyΠφdzΠdxΠdt=-2dt+sindt)+FxΠm

22

ωcosφdxΠdyΠdt=2mdt+FyΠ

(4)

ωsinφdxΠdzΠdt=2mdt+FzΠ

2

2

下面依据方程组(4)来研究地球自转对抛体运动的影响:

1　抛体的运动轨道

α、假若在地球纬度

φ处,以初速度为υ与Y轴成β、与Z轴成γ的投射角抛出一个质量为m的0,沿与X轴成物体,可见问题的初始条件为:t=0时

x=y=z=0

α,dyΠβ,dzΠdt=υdxΠdt=υdt=υ0cos0cos0cosγ

设抛体运动时地球纬度变化不大,即忽略纬度变化,结合初始条件,对方程组(4)积分一次,得:

收稿日期:2003207228

作者简介:夏长城(1964-),男,湖南汩罗人,湘南学院物理系高级讲师.

・50・

α-2ω(ycosφ+zsinφ)+dxΠdt=υ0cos

ωxcosβ+2φ+dyΠdt=υ　　　　　　0cos

FxΠmdt

∫

t

FΠmdt∫ωxsinφ+FΠdzΠdt=υcosγ+2

∫mdt

yt0

z

2

t

(5)

把方程组(5)代入方程组(4),忽略ω项,就得到抛体运动微分方程:

ωυφcosβ+sinφcosγ)22ω(cosφFyΠφFzΠdxΠdt=FxΠm-2mdt+sinmdt)0(cos

2

2

∫

t

∫

t

ωυφcosα+2ωcosφFxΠdyΠdt=FyΠm+2mdt　　0cos

22

dzΠdt

22

∫ωυsinωsinφcosα+2φFxΠ=FΠm+2

∫mdt

t

z

t

(6)

对方程组组(6)积分两次,即可求出以时间t为参量的抛体运动的轨道方程:

2

α-ωυφcosβ+sinφcosγ)+x=υ0tcos0t(cos

FΠmdtdt′

∫∫

x

tt′

ω(cos)φφ22FyΠmdtdt′dt″+sinFzΠmdtdt′dt″

000000

　　　　　　tt″t′

2

β+ωυφcosα+2ωcosφy=υxmdt″+0tcos0tcos

∫∫∫

∫∫υtsinφ+z=υtcosγ+ωFdtt

t′

y

2

t

t′

t

′

x

z

2

t

t′

∫∫∫

tt″t′tt″t′

(7)

下面对轨道方程组()1.1.1,则其轨道方程为:

FΠmdtdt′∫∫

ω(cos)φφ22FΠmdtdt′dt″+sinFΠmdtdt′dt″

∫∫∫∫∫∫　　

α+ωυtcosφcosα+2ωcosφy=υtsinFΠmdtdt′dt″+FΠmdtdt∫∫∫∫∫

υtsinωsinφcosα+2φz=ωFΠmdtdt′dt″+FΠmdtdt′

∫∫∫∫∫

α-ωυφsinα+x=υ00tcos

t

t″t′

y

00

xt

t″t′

0000t

z

2

t″t′

tt′

(8)

00

00

x

00

y

2

t

t″t′

tt′

00

x

00

z

1.1.2　只考虑重力时的投射轨道方程

若进一步假设物体只受重力作用(即F=G),在不考虑惯性离心力的情况下,重力的方向指向地心,即:F=mgj,则轨道方程为:

2

α-ωυφsinα+ωgt3cosφx=υΠ30tcos0tcos

2α-gt2Πυφcosαy=υ2+ω　　0tsin0tcos2υφcosαz=ω0tsin

(9)

上式说明:当考虑地球自转时,由于科里奥利力的影响,抛体运动的轨迹不是平面曲线(抛物线),而是一

条空间曲线.但是由于地球自转角速度很小,方程组(7)中含有ω的那些项都不大,当忽略这些项时,就得到我们熟知的抛物线轨道方程:

α　　　　　　x=υ0tcos

α-gtΠ　　　　　　y=υ20tsin

2

1.2.1　南北向投射轨道方程

若以投射角α向正南斜向上发射(注:此时纬度变化较大,为了说明问题,这里忽略了其变化),则其轨道方

程为:

・51・

FΠmdtdt′∫∫

ω(cos)φφ22FΠmdtdt′dt″+sinFΠmdtdt′dt″

∫

∫∫∫∫∫α+2ωcosφy=υtsinFΠmdtdt′dt″+FΠmdtdt∫∫∫∫∫ωsinφz=υtcosα+2FΠmdtdt′dt″+FΠmdtdt∫∫∫∫∫

υφsinα+sinφcosα)+x=-ω0t(cos

t

t″t′

t

y

2

tt′

00

x

t″t′

0000

z

tt″t′

tt′

(10)

00

x

00

y

tt″t′

tt′

00

x

00

z

1.2.2　只考虑重力时的投射轨道方程

若再设F=G,即:F=mgj,则轨道方程为:

2υφsinα+sinφcosα)-ωgt3cosφx=-[ωΠ3]0t(cos

　　α-gt2Πy=υ20tsin

z=υ0tcosα

(11)

上式也说明:当考虑地球自转时,由于科里奥利力的影响,抛体运动的轨迹也不是平面曲线(抛物线),而

是一条空间曲线.若忽略自转因素,亦可得到我们熟知的抛物线轨道方程.1.3.1　垂直方向上的投射轨道方程

竖直向上发射,则其轨道方程为:

2υφ+x=-ω0tcos

t

t″t′

FΠmdtdt′

∫∫

x

t

t″t′

z

tt′

ω(cosφ22FyΠmdtdt′dt″+sin

00000

　　tty=υx″+0t0

t″t0

t

t′

x

)∫∫∫mdtdt′

z=2FΠmdtdt′dt″+FΠmdtdt′

∫∫

t

y

z

(12)

1.3.2　只考虑重力时的投射轨道方程

若同样设F=G,即:F=mgj,则轨道方程为:

2υφ+ωgt3cosφx=-ωΠ30tcos

　　2

y=υ20t-gtΠ

(13)

上式说明:当考虑地球自转时,由于科里奥利力的影响,竖直上抛运动的轨迹不是一条直线,而是一条平

面曲线.若忽略自转因素,可得到我们熟知的竖直上抛的轨道方程.

要研究地球自转对抛体的运动时间、射程、射高、横向偏离的影响,从方程组(7)来看,并非易事,为了简化

(11)、(13)来研究.问题,我们依据方程组(9)、

2　抛体的飞行时间

令方程组(9)中的第2项y=0,这样便求出飞行时间为:υα(g-2ωυφcosα)(14)　　　　　　t=2Π0sin0cos

对方程组(9)中第2项微分一次且令dyΠdt=

0,即可求出抛体在上升阶段飞行的时间:

φcosα)(15)α(g-2ωυ　　　　　　t升=υΠ0sin0cos

忽略(14)式自转因素,可得:

υα(16)　　　　　　t′=2Πg0sin

(16)式可知:地球的自转使以投射角α向正东斜向上发射的抛体在空中的飞行时间增长了,但比较(14)、

其差别极小.

(15)式可知:抛体在升段和降段飞行时间是相同的,这和不考虑地球自转的情况是相同的.比较(14)、

(13)不难得出:地球自转对以投射角α向正南斜向上发射和竖直向上发射的抛体的飞行时间没有由(11)、

影响.

・52・

3　抛体的射程

把(14)式代入方程组(9)中的第1项,不难求出这个射程:

233

α)Πωυφ(3g2)　　　　　　S=υg-4cosΠ0sin(20sinα

忽略地球自转因素,抛体的射程为:2

α)Π　　　　　　S′=υg0sin(2

(18)式可见:地球的自转减小了以投射角α向正东斜向上发射的抛体的射程.比较(17)、

同理可得:地球的自转对以投射角α向正南斜向上发射的抛体的射程没有影响.

(17)(18)

4　抛体的射高

把(15)式代入方程组(9)中的第2项,即可求出射高:

2232

υ(2g)+ωφsin2αα　　　　　　H=υΠcosΠg0sinα0cos

若不考虑地球自转,抛体的射高为:

22

(2g)　　　　　　H′=υΠ0sinα

(20)式可见:地球的自转增大了以投射角α向正东斜向上发射的抛体的射高.比较(19)、

同理可得:地球自转对以投射角α.

(19)(20)

5　抛体的横向偏离

把(14)式代入方程组(9)中的第3项,(南北方向的位移):

32ω(21)　　　　　　D=4把(16)(11)α向正南斜向上发射的抛体的横向偏离为(东西方向的位移):

32ωυφsinα+3sinφcosα)Π(3g2)(22)D′=-40sinα(cos

υ把t=2g代入方程组(13)中的第1项,则可求出竖直向上发射的抛体的横向偏离为(东西方向的位移):0Π

3

ωυφ(3g2)(23)　　　　　　D″=-4Π0cos

(22)、(23)可见:抛体的运动都要发生横向偏离.事实上,凡是在地面上运动的物体,都受到和运由(21)、

动方向垂直的科里奥利力的作用,如果没有其它力和它抵消的话,物体的运动都要发生横向偏离.比如:我们周围南北向的河流(北半球),当人面对下游方向观察时,右则河岸被冲刷得厉害些就是这个道理.

参考文献:

[1]赵近芳.大学物理学[M].北京:北京邮电大学出版社,2002.

ResearchontheInfluenceoftheRotationofthe

EarthupontheProjectileMotion

XIAChang2cheng,XIANGJian2guo

(DepartmentofPhysics,XiangnanUniversty,Chenzhou423000,China)

Abstract:Thepaperresearchesintotheorbitequationoftheprojectilemotionandtheprojectilecrosswisedevia2tionwhentheearthrotates.Italsorevealstheinfluenceoftherotationoftheearthupontheprojectilemotion.It’sveryhelpfultolearnandunderstandtheprojectilemotionproblemsinthereferenceframeofnon2inertialrota2tion.

Keywords:therotationoftheearth;theforceofCurioli;theprojectilemotion;crosswisedeviation

・5

3・