大一下高等数学知识点
高等数学A2知识点
【注意】不考试的知识点:带*号的(除球面坐标系、比值审敛法),二次曲面,斯托克斯公式,
函数的幂级数展开式的应用,一般周期函数的傅立叶级数,物理应用部分,
一、概念与定义
1、数量积、向量积及坐标表示(向量的位置关系);
2、柱面,旋转曲面的方程形式及常见曲面画图,平面,直线的方程及其位置关系,平面束;
曲面、曲线、实体在坐标平面上的投影 3、偏导数定义及判定一点可导的定义方法; 4、偏导、连续、全微分的关系,方向导数与梯度; 5、极值、条件极值,最值和驻点. 及拉格朗日乘数法; 6、七类积分的关系,格林公式、高斯公式;
7、级数的定义,等比级数的和,级数收敛的必要条件,常见级数的敛散性及判定方法。
二、计算
1、求极限
(1)二元函数求极限:代入法、两类特殊极限、无穷小性质等 (2)极限不存在的判断:取不同的路径
2、求偏导数或全微分
(1)定义——在某一点可导,常见于分段函数
(2)一个变量为常数,按一元函数求导法则计算,对于指定点的偏导可以先代入一个变量再求; (3)多元复合函数求导——链式法则;
(4)隐函数(方程与方程组)求导及其高阶导数——不要记公式,理解方法; (5)抽象函数求导及其高阶导数——注意符号; (6)求(指定点)全微分或判断是否可微——用定义
ρ→∆z -z ∆x -z ∆y
=0
3、求重积分(画图)
(1)二重积分—坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积函数特点定】,积分次序的交换; (2)三重积分—坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积函数特点定】; (3)对称性区域上奇、偶函数的积分以及对1积分时的计算。
4、求曲线、面积分(画图)
“一代、二换、三定限”
(1)代入参数方程或z =f (x , y );不同的积分换的公式不同; (2)定限或定区域的时候注意方向性【第二类】及定限规则 (3)格林公式、高斯公式的应用——验证条件并灵活使用; (4)对称性区域上奇、偶函数的积分以及对1积分时的计算。
5、无穷级数 (1)数项级数审敛;
(2)幂级数收敛域与和函数,函数展开成幂级数; (3)傅立叶级数的收敛情况——Dirichlet 定理的结论
三、 应用
1、偏导数的几何应用——空间曲线的切线和法平面、空间曲面的切平面和法线、方向导数与梯
度。
2、偏导数求极值以及条件极值、最值;
3、重积分、曲线、面的几何应用——平面区域的面积、空间曲面的面积,曲顶柱体的体积;
四、证明
1、极限不存在、连续性、可导、可微; 2、偏导数相关等式;
3、格林公式——积分与路径无关、原函数;
4、级数的敛散性判定——注意级数的分类与对应方法; 5、向量的位置关系,平面、直线的位置关系等几何问题。
曲面及其方程
平面与直线
偏导、连续、可微
隐函数的求导
复合函数的链式法则
偏导数的应用
重积分的几何应用
重积分的计算
曲线、曲面积分的差异
GREEN 公式计算第二类曲线积分的用法
GAUSS 公式计算第二类曲面积分的用法
对称性区域上奇偶性函数的积分
七类积分间的关系
数项级数的审敛方法
幂级数收敛域
幂级数和函数
第一步:求收敛域
第二步:对和函数S (x )求导或积分得到等比级数或e x 、sinx 等, 标上收敛区间 第三步:S (x )=⎰0S '(x )dx 或S (x )=⎰0S (x )dx 表上收敛域
x
(
x
)
'