专题:力的合成与分解

专题二 力的合成与分解

(一)力的合成

一.合力与分力

1.定义：一个力产生的效果跟几个力的共同作用产生的效果相同，则这个力就叫那几个力的合力，那几个力叫做分力。

2.合力与分力的关系：a.合力与分力是一种等效替代的关系，即分力与合力虽然不同时作用在物体上，但可以相互替代，能够相互替代的条件是分力和合力的作用效果相同，但不能同时考虑分力的作用与合力的作用。b.两个力的作用效果可以用一个力替代，进一步想，满足一定条件的多个力的作用效果也可由一个力来替代。

3.共点力：一个物体受到两个或更多个力的作用，若它们的作用线交于一点或作用线的延长线交于一点，这一组力就是共点力。

二.力的合成

力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。

1.定义：求几个力的合力的过程叫做力的合成。

2.说明：力的合成的实质是找一个力去替代作用在物体上的几个已知的力，而不改变其作用效果的方法。

三.共点力合成的方法

1.平行四边形定则

（1）内容：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个法则叫做平行四边形定则。

说明：平行四边形定则是矢量运算的基本法则，本质上是矢量的运算法则（加减法）。

（2）应用平行四边形定则求合力的三点注意：a.力的标度要适当；b.虚线、实线要分清，表示分力和合力的两条邻边和对角线画实线，并加上箭头，平行四边形的另两条边画虚线；c.求合力时既要求出合力的大小，还要求出合力的方向，不要忘了用量角器量出合力与某一分力间的夹角。

（3）平行四边形定则可简化成三角形定则（如图甲、乙）。由三角形定则

还可以得到一个有用的推论：如果n个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这

n个力的合力为零。

2.作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的

图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角

线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的

夹角确定合力的方向(如图所示)。

3.计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。几种特殊情况：①相

互垂直的两个力合成，合力大小为FF1＋F2；②夹角为θ

、大小相等的两个力合成，其平行四边形为菱

θ形，对角线相互垂直，合力大小为F＝2F1cos；③夹角为120°、大小相等的两个力合成，合力大小与分力2

相等，方向沿二力夹角的平分线；④求F、F2两个共点力的合力的公式：

Ｆ＝F12F222F1F2COS。

4.多个力合成的方法：

如果有两个以上共点力作用在物体上，我们也可以应用平行四边形定则求出它们的合力：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。

说明：①平行四边形定则只适用于共点力的合成，对非共点力的合成不适用。②今后我们所研究的问题，凡是涉及力的运算的题目，都是关于共点力方向的问题。

5.合力范围的确定

(1)

两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增

大而减小．当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。

(2)三个共点力的合成范围：

①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3。

②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力和的绝对值，即Fmin＝F1－|F2＋F3|(F1为三个力中最大的力)。

特别提醒：二个分力一定时，夹角θ越大，合力越小；合力一定，二等大分力的夹角越大，二分力越大；合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力的大小。

【例1】关于两个分力F1、F2及它们的合力F的说法，下述不正确的是( AC )

A.合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同 B.两力F1、F2不一定是同种性质的力

C.两力F1、F2一定是同一个物体受的力 D.两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力

【例2】一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小

方格边长相等)，则下列说法正确的是( B )

A.三力的合力有最大值F1＋F2＋F3,方向不确定 B.三力的合力有唯一值3F3,方向与F3同向

C.三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向 D.由题给条件无法求出合力大小

【例3】水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于

墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮

受到绳子的作用力为(g取10N/kg)( C )

A.50N B. C.100N D.

【例4】受斜向上的恒定拉力作用，物体在粗糙水平面上做匀速直线运动，则下列说法正确的是( D )

A.拉力在竖直方向的分量一定大于重力 B.拉力在竖直方向的分量一定等于重力

C.拉力在水平方向的分量一定大于摩擦力 D.拉力在水平方向的分量一定等于摩擦力

【例5】如图所示，用一根长1m的轻质细绳将一幅质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为10N，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为(g取10m/s2)( A )

1 C.m

2思维提升：合力与分力是一种“等效替换”关系，一个物体不能同时受分力与合力的作用，也就是说，合力与分力不能同时作用在同一个物体上。

（二）力的分解

一.力的分解

1.定义:求一个已知力的分力叫力的分解。

2.注意:几个分力与原来那个力是等效的，它们可以相互替代，并非同时存在。

3.力的分解定则:平行四边形定则，力的分解是力的合成的逆运算。两个力的合力唯

一确定，一个力的两个分力不是唯一的，如果没有其他限制，对于一条对角线，可以作

出无数个不同的平行四边形(如图所示)。即同一个力F可以分解成无数对大小、方向不同的分力。

二.力分解的方法

1.按效果进行分解

力的作用效果有两种，其一是便物体发生形变，其二是改变物体的运动状态。效果一可以是单个力产生的，而效果二通常是合力共同作用的结果，其中一个力的效果往往由于其它个别力的存在无法直接体现，此时若想明确单个力的作用效果二，通常假设影响其效果二体现的其它力不存在。

（1）按力的效果分解力的规律

在形变方向上分解：根据前面所学弹力的方向与物体形变的方向相反（在同一直线上），而弹力的方向规律可以总结为：1）沿绳的收缩方向；2）垂直接触面。因此，一个力对与物体相连（接触）的绳或面（线）产生传递而引起形变,因此力的分解方向与形变方向相同，即力的分解应在：1）绳的方向；2）垂直接触面。

在改变运动方向上分解：可以想像，若该物体与绳相接，其可运动的方向为垂直绳方向（如家中的摆钟，荡秋千）；若该物体与面接触，其可运动的方向是沿面方向。因此一个改变运动状态角度来分解，其分解的方向可以总结为：1）垂直绳方向；2）沿面方向。与绳相连的物体受力分解时的分解方向要么沿绳，要么就是与绳垂直；与面接触的物体受力分解时的分解方向要么沿面，要么是垂直面，至今不见其二。

如何看出效果：把要分解的力放大或缩小，看其受力物体对其它与之接触的物体间形变的影响以及自身运动（趋势）的影响。(特别说明：这里不包括杆连接物）。

（2）在实际分解中，常将一个力沿着该力的两个效果方向进行分解，效果分解法的方法步骤：

①画出已知力的示意图；②根据此力产生的两个效果确定出分力的方向；③以该力为对角线作出两个分力方向的平行四边形，即作出两个分力。

（3）利用平行四边形定则求分力的方法

①作图法：利用平行四边形作出其分力的图示，按给定的标度求出两分力的大小，用量角器量出各分力与已知力间的夹角即分力的方向。

②计算法：利用力的平行四边形定则将已知力按几何方法求解，作出各力的示意图，再根据解几何知识求出各分力的大小，确定各分力的方向。

由上可知，解决力的分解问题的关键是根据力的作用效果，画出力的平行四边形，接着就转化为一个根据已知边角关系求解的几何问题。因此其解题的基本思路可表示为：

例：如右图找出重力G的两个作用效果，并求它的两个分力。如图F1＝Gsin θ，F2＝Gcosθ。

（4）力按作用效果分解的几个典型实例

(1)已知合力和两个分力的方向，求两个分力的大小。如图所示，已知F和α、β，

显然该力的平行四边形是唯一确定的，即F1和F2的大小也被唯一地确定了。

(2)已知合力和一个分力的大小与方向，求另一分力的大小和方向。如图所示，已知F、F1和α，显然此平行四边形是唯一确定的，即F2的大小和方向(角β也已确定)也被唯一地确定了。

(3)已知合力、一个分力的方向和另一分力的大小，即已知F、α(F1与F的夹角)和

F2的大小，这时则有如下的几种可能情况：

Ⅰ.第一种情况是F≥F2＞Fsinα，则有两解。

Ⅱ.第二种情况是F2＝Fsinα时，则有唯一解。

Ⅲ.第三种情况是F2＜Fsinα时，则无解，因为此时按所给的条件是无法组成力的平行四边形的。 Ⅳ.第四种情况是F2＞F时，则有唯一解，如图所示。

3.力的分解中定解条件

将一个力F分解为两个分力，根据力的平行四边形定则，是以这个力F为平行四边形的一条对角线作一个平行四边形，在无附加条件限制时可作无数个不同的平行四边形，这说明两个力的合力可唯一确定，一个力的分力不是唯一的，要确定一个力的两个分力，一定要有定解条件。

(1)已知合力(大小、方向)和两个分力的方向，则两个分力有唯一确定的

值．如图甲所示，要求把已知力F分解成沿OA、OB方向的两个分力，可从F

的矢(箭头)端作OA、OB的平行线，画出力的平行四边形得两个分力F1、F2。

(2)已知合力(大小、方向)和一个分力(大小、方向),则另一个分力有唯一确定的值。如图乙

所示,已知F(合力),分力F1,则连接F和F1的矢端,即可作出力的平行四边形得另一个分力F2。

(3)已知合力(大小、方向)和两分力大小，则两分力有两组解，如图所示，分别以O点和F

的矢端为圆心，以F1、F2大小为半径作圆，两圆交于两点，作出三角形如图。

(4)已知合力(大小、方向)和一个分力的方向，则另一分力无确定值，且当两分力垂直

时有最小值。如图所示，假设F1与F的夹角为θ，分析方法如下：

以F的尾端为圆心，以F2的大小为半径画圆，看圆与F1的交点即可确定解释的情形。

①当F2＜Fsinθ时，圆(如圆①)与F1无交点，无解；

②当F2＝Fsinθ时，圆(如圆②)与F1有一交点，故有唯—解，且F2最小；

③当Fsinθ＜F2＜F时，圆(如圆③)与F1有两交点，有两解；

④当F2＞F时，圆(如圆④)与F1有一交点，有唯—解。

（5）用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：

①当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。如图所示，F2的最小值为：F2min=F sinα。

②当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图所示，F2的最小值为：F2min=F1sinα

。

③当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为｜F－F1｜。

【例6】如图所示，用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间，

重物处于静止状态，AO绳水平，OB绳与竖直方向的夹角为θ，则AO绳的拉力FA、OB

绳的

拉力FB的大小与G之间的关系为( A )

A.FA＝Gtanθ B.FA＝GG C.FB＝ D.FB＝Gcosθ cos θtan θ

【例7】如图所示，质量为m的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为

θ。设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，以下结果正确的是( D )

A.F1＝mgsinθ B.F1＝mgmg C.F2＝mgcosθ D.F2 sin θcos θ

【例8】如图所示，α=30°，装置的重力和摩擦力均不计，若用F=100N的水平推力使滑块B保持静止，则工件上受到的向上的弹力多大？

解析:对B受力分析如图甲得：F2sinα=F

对装置上部分受力分析如图乙，其中FN为工件对装置

的压力,得：FN=F2′cosα

又F2与F2′为作用力与反作用力，故F2′=F2 可得：FNF3N,由牛顿第三定律得：工件受到的向上的弹力为1003N。

4.正交分解法

在处理力的合成和分解的复杂问题时，有一种比较简便宜行的方法——正交分解法。求多个共点力合成时，如果连续运用平行四边形法则求解，一般说来要求解若干个斜三角形，一次又一次地求部分的合力的大小和方向，计算过程显得十分复杂，如果采用力的正交分解法求合力，计算过程就简单多了。

(1)定义：把一个力分解为相互垂直的分力的方法。

(2)优点：把物体所受的不同方向的各个力都分解到相互垂直的两个方向上去，然后再求每个方向上的分力的代数和，这样就把复杂的矢量运算转化成了简单的代数运算，最后再求两个互成90°角的力的合力就简便多了。

(3)运用正交分解法解题的步骤

①明确研究对象。

②正确选择直角坐标系，进行受力分析。通常选择共点力的作用点为坐标原点，

直角坐标x、y的选择可按下列原则去确定：(a)使尽可能多的力落在坐标轴上；(b)沿

物体运动方向或加速度方向设置一个坐标轴；(c)若各种设置效果一样，则沿水平方

向、竖直方向设置两坐标轴。

③正交分解各力，即分别将各力投影到坐标轴上，分别求x轴和y轴上各力投影的合力Fx和Fy,其中Fx=F1x+F2x+F3x+…；Fy=F1y+F2y+F3y+…

④求Fx与Fy的合力即为共点力的合力(如图所示):合力大小：FFx2Fy2，合力的方向与x轴夹角

θ满足：tanθ=Fy

Fx

提示：①使用正交分解法时，坐标轴的建立非常关键，一般情况下，应使尽可能多的力“落”在坐标轴上或关于坐标轴对称；②

在实际问题中进行力的分解时，有实际意义的分解方法是按力的实际效果进行分

解，其他的分解方法都是为了解题方便而利用的。

【例9】已知共面的三个力F1＝20N，F2＝30N，F3＝40N，作用在物体的同一点上，三力之间的夹角都是120°，求合力的大小和方向。

解析：建立如图所示的平面直角坐标系。

11则Fx＝F1x＋F2x＋F3＝－F1sin30°－F2sin30°＋F3＝(－20×－30×＋40)N＝15N 22

Fy＝F1y＋F2y＝－F1cos30°＋F2cos30°＝(－20×33＋30×) N＝53N 22

Fy

Fx由图得F＝Fx2Fy22(5)2N=10N α＝arctan＝arctan53＝30° 15

【例10】如图所示，轻质光滑滑轮两侧用细绳连着两个物体A与B，物体B放在水平地面上，A、B均静止。已知A和B的质量分别为mA、mB，绳与水平方向的夹角为θ，则( BD )

A.物体B受到的摩擦力可能为0 B.物体B受到的摩擦力为mAgcosθ

C.物体B对地面的压力可能为0 D.物体B对地面的压力为mBg－mAgsinθ

三.力的图解法

根据平行四边形定则，利用邻边及其夹角跟对角线长短的关系分析力的大小变化情况的方法，通常叫做图解法。也可将平行四边形定则简化成三角形定则处理，更简单。图解法具有直观、简便的特点，多用于定性研究。应用图解法时应注意正确判断某个分力方向的变化情况及其空间范围。

用矢量三角形定则分析最小力的规律：

(1)当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分

力F2的最小条件是：两个分力垂直，如图甲.最小的F2＝Fsinα。

(2)当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分

力F2最小的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图乙.最小的F2＝F1sinα。

(3)当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2最小的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向。最小的F2＝|F－F1|。

【例11】如图所示，物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体O点，现要使物体沿着OO′

方向做加速运动(F和OO′都在水平面内)。那么，必须同时再加一个力F′，这个力的最小值是( B )

A.Fcosθ B.Fsinθ C.Ftanθ D.Fcotθ

【例12】如图所示，在轻质细线的下端悬挂一个质量为m的物体，若用力F拉物体，使细

线偏离竖直方向的夹角为α，且始终保持α角不变，求拉力F的最小值。（Fmin=mgsinα）

四.实验验证力的平行四边形定则

1.实验目的:验证力的平行四边形定则

2.实验器材:方木板、白纸、弹簧测力计（2个）、橡皮筋、细绳套（2个）、铅笔、刻度尺、图钉等。

3.实验原理：结点受三个共点力作用处于平衡状态，则F1、F2之合力必与F3平衡，改用一个拉力F′使结点仍到O，则F必与F1、F2的合力等效，与F3平衡，以F1、F2为邻边作平行四边形求出合力F，比较

F′

与F的大小和方向，以验证力合成时的平行四边形定则。

4.实验步骤：(1)用图钉把白纸钉在方木板上。(2)把方木板平放在桌面上，用图钉把橡皮条的一端固定在A点，橡皮条的另一端拴上细绳套。(3)用两只弹簧秤分别钩住细绳套，互成角度的拉橡皮条，使橡皮条伸长到某一位置O(如图所示)用铅笔描下O点的位置和两条细绳的方向，并记录弹簧秤的读数。注意在使用弹簧秤的时候，要使细绳与木板平面平行。(4)用铅笔和刻度尺从力的作用点(位置O)沿着两条绳套的方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧秤的拉力F1和F2的图示,以F1和F2为邻边利用刻度尺和三角板作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，即为合力F的图示。(5)只用一只弹簧秤通过细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置O，记下弹簧秤的读数和细绳的方向，用刻度尺从O点按选定的标度沿记录的方向作出这只弹簧秤的拉力F′的图示。(6)比较一下,力F′与用平行四边形法则求出的合力F在大小和方向上是否相同。

(7)改变两个力F1、F2的大小和夹角，再重复实验两次。

5.注意事项：（1）弹簧测力计在使用前应检查、校正零点，检查量程和最小刻

度单位。（2）用来测量F1和F2的两个弹簧测力计应用规格、性能相同，挑选的方

法是：将两只弹簧测力计互相钩着，向相反方向拉，若两弹簧测力计对应的示数相

等，则可同时使用。（3）使用弹簧测力计测拉力时，拉力应沿弹簧测力计的轴线方

向，弹簧测力计、橡皮筋、细绳套应位于与木板平行的同一平面内，要防止弹簧卡壳，防止弹簧测力计或橡皮筋与纸面摩擦。拉力应适当大一些，但拉伸时不要超出量程。（4）选用的橡皮筋应富有弹性，能发生弹性形变，实验时应缓慢地将橡皮筋拉伸到预定的长度．同一次实验中，橡皮筋拉长后的结点位置必须保持不变。（5）准确作图是本实验减小误差的重要一环，为了做到准确作图，拉橡皮筋的细绳要长一些；结点口的定位应力求准确；画力的图示时应选用恰当的单位标度；作力的合成图时，应尽量将图画得大些。（6）白纸不要过小，并应靠木板下边缘固定，A点选在靠近木板上边的中点为宜，以使O点能确定在纸的上侧。

【例13】在做完“验证力的平行四边形定则”实验后，某同学将其实验操作过程进行了回顾，并在笔记本上记下如下几条体会，你认为他的体会中正确的是（ ）

A.用两只弹簧秤拉橡皮条时，应使两细绳套间的夹角为900，以便算出合力的大小

B.用两只弹簧秤拉时合力的图示F与用一只弹簧秤拉时图示

说明“力的平行四边形定则”成立

C.若F1、F2方向不变，而大小各增加1N，则合力的方向也不变，大小也增加1N

D.在用弹簧秤拉橡皮条时，要使弹簧秤的弹簧与木板平面平行

思路点拨：要清楚验证力的平行四边形定则的实验步骤及误差分析。

解析:用两只弹簧秤拉橡皮条时，应使两细绳套间的夹角不要太小，也不易太大，以便求出合力的大小。夹角不一定为900。实验总是存在误差，在误差允许的范围内，用两只弹簧秤拉时合力的图示F与用一只弹簧秤拉时图示不完全重合，可以说明“力的平行四边形定则”成立。B正确。在用弹簧秤拉橡皮条时，要不完全重合，在误差允许范围内，可以使弹簧秤的弹簧与木板平面平行，这样读数才能更准确。D正确。C答案不正确，可假设F1、F2方向不变，相互垂直，而大小各增加1N，则合力不会增大1N。点评:要清楚验证力的平行四边形定则的实验步骤及误差分析。