高等数学复习题及答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 下列函数中为奇函数的是（ B ）
e x +e -x e x -e -x
A. f (x ) = B. f (x ) =
22
C. f (x ) =x -cos x D. f (x ) =x sin x 答案：B
知识点：函数奇偶性
3
5
e -x +e x e x +e -x
解：f (-x ) =为偶函数=f (x ) 故f (x ) =
22e -x -e x e x -e -x
为奇函数f (-x ) ==-f (x ) ，故f (x ) =
22
f (-x ) =(-x )-cos (-x )=-x 3-cos x ，故f (x ) =x 3-cos x 为非奇非偶函数 f (-x ) =(-x )sin (-x )=x 5sin x =f (x ) ，故f (x ) =x 5sin x 为偶函数
2. 当x →0时，下列变量为无穷小量的是（ C ） A. e B.ln x C. x sin答案：C
知识点： 无穷小量 解：lim e =+∞ +
x →0x →0+1
x
53
+
11
D. sin x x x
1
x
l i m l x n -=∞
1
x
=0
x s l i m +
x →0
1l i s i x n =1x →0+x
1
3. 设函数f (x )=⎧⎨ln(1+x ), x ≥0
x
, 则f (x ) 在点x =0处（ C ） ⎩x 2
, A. 左导数存在，右导数不存在 B. 左导数不存在，右导数存在 C. 左、右导数都存在 D. 左、右导数都不存在
答案：C
知识点：导数的定义
解：f (x ) =⎧⎨ln(1+x ), x ≥0
, x
, ⎩x 2
法一：f x 2-0
-'(0)=lim =0x →0-
x -0
f =lim ln(1+x ) -0=lim x
+'(0)=1x →0+x -0x →0+
x
法二：f -'(0)=2x x =0=0
f +'(0)=
1
1+x
=1
x =0
所以原函数的左右导数都存在，但不可导
4. 曲线y
x =1处的切线方程为（ A ） A. x -3y -4=0 B. x -3y +4=0 C. x +3y -2=0 D. x +3y +2=0
答案：A
知识点：曲线的切线方程
解：所求切线斜率为：y ' =1-
2
3
(x -2)3
=1x =1
3 1
所求切线方程为y +1=3
(x -1) 即x -3y -4=0
5. 函数f (x )=x 2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值ξ=（ A.1 B. 65 C. 54
D.
3
2
答案：D
2
D ）
知识点：拉格朗日中值公式 解：根据拉格朗日中值公式f '(ξ)=
f(x2)-f(x1)
得
x 2-x 1
2
f (x ) =x +1, 1x =1, x 2=2
∴2ξ=
5-23
2-11
3
求解得到∴ξ=
2
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6. 函数f (x
的定义域为_________.
4] 答案：[-1，
知识点：函数定义域
⎛3-2x ⎫
4] 解：根据题意得1- ⎪≥0, 解得原函数定义域为[-1，
⎝5⎭
2
⎧x ⎪
7. 设函数f (x )=⎨(1+x ) , x >0在点x =0处连续，则a =_________.
⎪⎩a cos x , x ≤0
2
答案：e
知识点：函数的连续性
2
a cos x =a 解： lim -
x →0
11
⎧⎫⎧⎫2x x
lim (1+x ) =lim (1+x ) =lim (1+x ) =e ⎨⎬⎨⎬+x →0+x →0+
⎩⎭⎩x →0⎭
f (0)=a
2
x
22
又 函数在x =0连续∴a =e 2
3
8. 微分d (e-2
2 知识点：函数微分
解： d (e d(e)+ d
sec
-2
-2
2
d
9. 函数f (x )=x -2cos x 在区间[0,答案：-2 知识点：函数最值
π
]上的最小值是_________. 2
⎡π⎤
解：由f '(x ) =1+2sin x >0, 得f (x ) 在⎢0⎥单调递增
⎣2⎦
再由f (0) =-2f ,
π
=22
π
⎡π⎤
故f (x ) 在⎢0⎥上的最小值为-2
⎣2⎦
x 2-2x -3
10. 曲线y =的铅直渐近线为_________. 2
x -1
答案：x =1
知识点：曲线的渐近线
x 2-2x -3x 2-2x -3
解： lim =∞, 曲线∴的铅直渐近线为x =1
x →1x 2-1x 2-1
11. 无穷限反常积分答案：
⎰
+∞
2x
d x =_________. 4
1+x
π 2
+∞2x 1π22+∞
d x =d x =arctan x =44⎰001+x 1+x 2
知识点：无穷限反常积分 解：
⎰
+∞
4
14. 已知函数f (x ) 连续，若Φ(x )=x 答案：
⎰
x
1
f (t )d t ，则Φ′(x )=_________.
⎰
x
1
f (t ) dt +xf (x )
知识点：变限积分的导数 解：Φ' (x )=
⎰
x
1
f (t ) dt +xf (x )
13n +1
2
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 15. 求数列极限lim(6n 2+2)sin
n →∞
.
答案：2
知识点：数列极限 解：法一:lim(6n +2)sin
n →∞
2
13n +1
2
(当n →∞时, sin
13n +1
2
13n +1
2
)
6n 2+2
=lim 2
n →∞3n +1
26+2
=lim n →∞1
3+2
n
=2
法二 :l i m n (26+
n →∞
1
22
3n +1
(lim
sin
=2lim
n →∞
1
sin x
=1 )
x →0x
23n 2+1
=2
16. 设函数f (x
arctan x -ln(x
) ，求导数f ′(1).
知识点：函数导数
解： f '(x ) =x -ln x ⎤'
⎥⎦
5
(
=x -=x + =
∴f '(1)=
17.
求极限x →0
.
答案：
1 31-cos x
2
知识点：洛必达法则
解：x →0
=lim
x →0
=
21-cos x 1sin x 1lim =lim = 3x →0x 23x →0x 3
18. 求不定积分x ln x dx .
⎰
3
14x 4
答案： x ln x -+C
416
知识点：不定积分的分部积分法
1141314x 44
+C 解：⎰x ln x dx =⎰ln x dx =x ln x -⎰x dx =x ln x -
444416
3
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分) 19. 确定常数a,b 的值，使得点(1,答案：a =-，b =0
6
1132
) 为曲线y =x +ax +bx +1的拐点. 24
3
4
知识点：曲线拐点
解：由题意得f (1)=
f " (1=)
11
+a +b +1=
42
3
+a 2=02
3
解得 a =-，b =0
4
20. 计算定积分I
=答案：
x .
2 3
知识点：定积分头凑微分法
解：
x =
x =x
π
=
⎰
20
sin x =-cos x
π
π
2
22
cos x d cos x =-cos x =
330
1
2
32
=-
⎰
20
五、应用题（本题9分）
21. 设D 是由曲线y =ex ，y =e-x 及直线x =l所围成的平面区域，如图所示.
(1)求D 的面积A .
(2)求D 绕x 轴一周的旋转体体积V x . 答案：e +
π⎛11⎫-2； e 2+2-2⎪
2⎝e e ⎭
知识点：定积分的几何应用 解：
1
⎤A =⎰(e -e ) dx =⎡e +e =e +-2⎣⎦0
e
x
-x
x
-x
1
1
1
V x =π⎰(e -e
2x -2x
) dx =
π
(e 2
2x
+e
-2x
)
10
=
π⎛
1⎫2
e +-2 ⎪ 2⎝e 2⎭
7
六、证明题（本题5分） 22. 证明：当x >0时，e 2x >1+2x . 知识点：函数单调性 解：设f (x )=e
2x
-1-2x ，则f (0)=0, 其导数
f ' (x )=2e 2x -2
因为当x>0时f ' (x )>0，所以f (x )当x>0时单调增加，
从而当x>0时f (x )>f (0)，即e 2x >1+2x .
8