竖直面内的变速圆周运动及临界状态
〖归纳总结〗
高一物理 习题课：竖直面内的变速圆周运动及临界状态
（2014-3-12）
【学习目标】 对竖直面内变速圆周运动能正确分析受力，明确其临界状态
【发展目标】 通过实例体会物理在生活中的应用，培养学生学习物理的兴趣 【重、难点】
根据牛顿第二定律利用向心力公式解决实际问题 【学习过程】
对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类问题进行分析：
一、没有物体支撑的小球
1、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动在最高点的情况 （1）球在最高点向心力是由什么力提供的？
（2）若绳长为r，小球质量为m，小球运动到最高点时的速度为v，求绳对球的拉力？
（3）由（2）的结果分析当小球速度减小，绳中拉力如何变化？
2、若小球在光滑轨道内侧做圆周运动，轨道对小球的弹力情况 与上述情况类似，同学们试试自己分析一下。
“绳模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。 注意：a中绳对小球只能提供拉力，方向向下。
（b中轨道对小球只能提供弹力，方向向下）
a
b
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零
mv2
mg =r
v临界=
（2）小球能过最高点条件：v 当v
（3）不能过最高点条件：v（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
【例1】长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一个水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是
A．球过最高点时，速度为零 B．球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为2mvL
D
二、有物体支撑的小球
1、如图所示，轻杆的一端固定一小球在竖直面内做圆周运动， （1）球在最高点的向心力是由什么力提供的？
（2）若杆长为r，小球质量为m，小球运动到最高点时的速度为v，求杆对球的弹力？
（3）由（2）的结果分析当小球速度减小，杆中弹力如何变化？可按以下思路进行：
a、当v＝0时，轻杆对小球有。 b、当0＜v
力的方向而 ，其取值范围是： 。 c、当v
＝时，FN
d、当v
时，杆对小球有指向圆心的，其大小随速度的增大而
2、如下图所示的小球通过光滑双轨道最高点时，轨道对小球的弹力情况与上述情况类似。
a、当v＝0时，管的内壁侧（填“上”或“下”）对小球有向的， 其大小等于 。 b、当0＜v
时，管的内壁侧对小球有向的 ，
其大小随速度的增大而 ，其取值范围是： 。 c、当v
时，FN＝ 。
d、当v
＞
时，管的内壁侧对小球有向的 ，其大小随速度的增大
而 。
〖归纳总结〗
“杆模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况
注意：轻杆和细线不同，轻杆a对小球既提供拉力，又能产生提供力。
（双轨和单轨不同，双轨b对小球既能提供向下的弹力，又能提供向上的弹力） b
（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，此时F = mg（F为支持力） （2）当0
F随v增大而减小，且F
（3）当v
时，F=0
（4）当v
时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力）
【例2】如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R
的圆周运动，以下说法正确的是
A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B
C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反
D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力
〖教师点拨〗
圆周运动临界问题
（一） 水平面内圆周运动的临界问题：
做圆周运动的物体，其向心力可能由弹力、摩擦力等提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面间相对滑动、接触面分离等临界状态，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语。．通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法．常见的如：
绳子的临界：绳子突然松弛——张力T=0
绳子突然断裂——张力T=Tmax
接触面相对滑动的临界：静摩擦力充当向心力时突然消失——摩擦力f=0
静摩擦力充当向心力时达最大值——摩擦力f=fmax
接触面分离的临界：与接触面不挤压——弹力FN=0
（二）竖直面内圆周运动的临界问题：
物体在竖直面内做的圆周运动往往是变速圆周运动，在某些特殊位置上，常存在着最小(或最大)的速度，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，此速度即为临界速度。在这个位置，物体的受力必满足特定的条件，这就是临界条件。首先明确物理过程，对研究对象进行受力分析，，根据牛顿第二定律列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值——临界速度。常见的如：
轻绳模型（或单轨内侧、水流星） 轻杆模型（或双轨、管道内部、火车转弯） 拱形桥（或单轨外侧）
【反馈练习】
A1．如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是
A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为推力 C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力
A2．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速 度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是
A．0 B．mg C．3mg D．5mg
A3．长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v，则下列叙述正确的是
A．v
B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C．v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大 D．v
B4．如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后
A．会落到水平面AE上 B．一定会再次落到圆轨道上 C．可能会落到水平面AE上 D．可能会再次落到圆轨道上
B5．绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长L=60cm，g=10m/s2，求： （1）最高点水不流出的最小速率？
（2）水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力？
B6．长L=0.5m，质量可以忽略不计的轻杆，一端固定于O点，另一端连有质量m=2kg的小球，小球绕O点做圆周运动，如图所示。当小球通过最高点时，就下列两种情况讨论杆受到的力多大？并说明是拉力还是压力。（取g=10m/s2） （1）在最高点时小球的速度v1=1m/s； （2）在最高点时小球的速度v
2=4m/s。
C7．如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A
放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动？
【错解】当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力Fm ′指向圆心，则Fm ′＝mωm2r ①
由于由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即Fm ′＝μFN＝μmg ②
由①、②
解得：m
要使A随盘一起转动，其角速度ω
应满足0＜【错因】A物随盘一起做匀速圆周运动提供是绳的拉力和A物所受的摩擦力的合力，而拉力的
大小始终等于B物的重力。
【正解】由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即
F＋Fm ′＝mω12r ①
由于B静止，故F＝mg ②
由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即Fm ′＝μFN＝μmg ③ 由①、②、③解得
ω1＝g(1)/r；
当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为： F－Fm ′＝mω22r ④ 由②、③、④得ω2＝g(1)/r. 要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足
g(1)/r≤ω≤g(1)/r
【学后反思】