网架结构计算的超级元法
文章编号：（2001）1006-704303-0047-04
网架结构计算的超级元法
崔洪伟，刘殿魁
（哈尔滨工程大学建筑工程学院，黑龙江哈尔滨150001）
摘
要：结合网架结构的特点，介绍了一种半连续半离散的数值计算方法———超级元法. 该方法可以将庞
大复杂的结构划分成若干超级单元，每个超级单元包含多个构成件，从而可减少自由度，节省计算时间，提高工作效率. 经算例分析，证实该方法可以得到较精确的结果，对多构件复杂结构来说是一种很实用的计算方法. ! 关
键
词：网架结构；超级元；有限元
文献标识码：A
中图分类号：039；T U356
平板型网架结构，简称为网架结构，是以多根杆按照一定规律组合而成的网格状高次超静定结美观实用、安装简构. 由于它具有结构组成灵活、
便、加工制作机械化程度高、用料经济等优点，国内外建筑业中，尤其在大空间结构中应用非常广泛且发展很快. 网架结构的杆件可以由多种材料组成，如钢、木、铝、塑料等，而以钢制的管材或型材为主. 对于跨度很大的大空间结构而言，其用钢量是相当可观的. 这就要求所使用的计算方法准确性比较高.
现在常用的网架结构计算方法有：空间桁架位移法、交叉梁系梁元法、交叉梁系力法、交叉梁系差分法、混合法、假想弯矩法、网板法、下弦内力法、拟板法、拟夹层板法等. 其中，空间桁架位移法实际上即为铰接杆系的有限元法，是最精确的网架计算方法. 但是在计算较大跨度的网架时，由于杆件的数目成千上万，势必带来自由度多、计算量大、计算时间长等问题. 这些问题在小型机上解决时，会给结构设计带一定的阻碍. 而上述其他几种方法均为近似方法，其误差都很大，最大的竟高达从结构设计方面考虑，这显然是不利的. 因30%，此，寻求一种准确而简便的网架结构内力与变形的计算方法成为了一个非常必要的问题.
针对以上情况，本文将利用近年来提出的超级有限元法解决网架结构计算问题，力求克服以上不足，并保证足够的精确度.
来的一种新的数值方法，是有限元法的新分枝. 超级元法的基本思想是将原始离散型的多构件系统人为设想为连续化实体，然后按实体用现有数值方法离散并选取形函数和总体自由度，系统内部的任一位置的力学量被总体自由度所约束. 然后对每个构件进行一般有限元分析，而构件上节点自由度同样被总体自由度所约束，因此很方便的可将所有内部构件自由度转化为系统的总体自由度来求解，从而大规模节省自由度与计算工作量. 由于连续化后再离散形成的每个单元中包含大量构件，因此称为超级元. 半连续半离散的特性，是
［1］
超级元法的本质所在很快. 超级元法提以来，
在结构设计中得到了进一步的开发. 文献［2］介绍了船体结构分析的超级元法，文献［3］进行了大跨板片空间结构的超级有限元分析，文献［4］对框架在巨型框架结构的超级元法进行了分析，文献［5］结构的分析中应用了超级元法. 然而超级元法在网架结构方面的研究尚有待进行，本文将对这一问题进行探讨.
2网架结构的超级有限元分析
依据超级有限元法的基本思想，可对网架结
［1］构进行如下分析.
2. 1超级元的位移模式
网架结构属于空杆系结构，其超级元可以选
取20或32节点的6面体单元. 本文选用20节点的6面体单元（如图1），每个节点有3个自由度，一个超级元共有60个自由度.
!
设超级元的位移向量为｛超级元内部某! ｝，
1超级元法的基本思想
超级元法是针对多构件复杂结构体系发展起
!
收稿日期：修订日期：2000-11-07；20001-03-20
作者简介：崔洪伟（1976-），男，河北易县人，哈尔滨工程大学建筑工程学院硕士研究生，主要研究方向：波动理论.
第3期崔洪伟，等：网架结构计算的超级元法・51・
e e ! ｛｛（7）! J ｝=［T ］! J ｝
式中，［T ］是超级坐标系与杆局部坐标系间的坐
标转换矩阵。由于节点i 和节点j 同时是超级元人内部的点，所以有
e T ! ｛! J ｝=｛U i
T
U j T ｝=
! ｝=[N ]｛N i
j
e
e
［E i j ］｛! ｝
（8）
图1超级单元Fi g . 1
Su p er element
点的位移向量为｛U ｝，其中
｛! ｝e =｛u 111w 1u 212w 2…u 20120w 20｝
T
（1）｛U ｝=｛u ，1，w ｝
T
（2）
两者的关系为
｛U ｝=［N ］｛! ｝e
=
［N 1I 3
N 2I 3…N 20I 3］｛! ｝e
（3）
式中，［N ］为超级元的形函数；I 3为三阶单位矩阵.
2. 2普通杆单元的位移模式及其与超级元的转
换矩阵
杆单元的局部坐标系如图2所示，设杆单位
移向量为｛! J ｝
e
｛! J ｝e
=｛u Ji
u J j ｝
T
（4
）
图2
杆单元的局部坐标
Fi g . 2
The local coorcinate of a roc element
杆单元上某一点的位移向量为｛U J ｝，则其位移模式为
｛U b ｝=［N b ］｛! b ｝
e
（5）
式中，［N J ］为杆单元的形函数. 又设｛! ! J ｝e 是杆单
元在超级元局部坐标系下的节点位移
｛! ! J ｝e =｛u i ，
1i ，w i ，u j ，1j ，w j ｝T （6）
它与｛! ! J ｝e 有如下转换关系
这里
［E i j ］=
[N i
N ]
（9）
j
由式（3）
（，5）（，7）（，8）可得｛U J ｝=［N J ］｛! J ｝e =［N J ［］T ］｛! ! J ｝e =
［N J ］［T ］［E i j ］｛! ｝
e 令
［N i j ］=［N J ］［T ］［E i j ］
则
｛U J ｝=［N i j ］｛! ｝
e
（10）
设单元在局部坐标系下的线弹性刚度矩阵为
K J ］e
，由一般有限元法的单元分析可知
［K J ］e
=
"
［B ］［D J ［］B c V
（11）
V
J T
J ］由于
｛" ｝=［B J ］｛! J ｝e =［B J ［］T ］［E i j ］｛! ｝e
=
［B i j ］｛! ｝
e （12）
式中令
［B i j ］=［B J ］［T ］［E i j ］
由式（11）（，12）可以得到空间杆单元对超级元运算矩阵所作的贡献为
［K i j ］e ="
［B ［T
D V
i j ］
J ［］B i j ］c V ="
（［B ］［T ］［E ］）［T
D J
］（［B J
］V
J
i j
［T ］［E i j ］）c V =［E i j ］［T T ］T
（"
［B J ］［T T ［］B J ］c V ［）
T ］［E V
i j ］=［E i j ］［T T ］［T K J ］［e T ［］
E i j ］（13）
设单元在杆局部坐标系下的荷载矩阵为｛F J ｝，则根据虚功原理有
（｛! ｝e ）T ｛F i j ｝e =（｛! J ｝e ）T ｛F J ｝
e
又根据式（7）和（8）有
｛! J ｝e =［T ］｛! ! b ｝e =［T ［］E i ］｛! ｝
e 从而有
｛F i j ｝e =［E i j ］
［T T ］T ｛F J ｝e
（14）
［
第22卷第3期
年2OO1・52・6月哈尔滨工程大学学报
JOurnaI Of Harbin g Universit y 哈尔滨工程En 大g ineerin 学学报
e T
｛! ｝｛! O ｝=［N ］
VOI. 22，N. 3
Jun. 2OO1卷第，22
（19）
e e
式中，［K i ］和｛! i ｝分别代表连接节点i 和节点 的杆对超级元铡度和荷载的贡献. 将一个超
级元内所有杆件对超级元运算矩阵的贡献叠加起来，即得超级元的单元刚度矩阵和单元荷矩阵，如下式
e
［K ］=e ｛! ｝=
e e
其中，｛［N ］为各! ｝和｛! ｝的定义与前面相同，超级元内节点的形函数矩阵.
3
［K i ］! I ｛! i ｝! I
e e
算例分析
（15）（16）
现在利用超级有限元法计算8>8网格的网
架结构，屋面荷载g =1. 5kN /m 2，网格边长a =5网架高度h =2. 5m ，采用的构件是3号钢钢m ，
式中，求和下标I 为该超级元内所含有的杆件总数.
求得了各超级元的单元刚度矩阵和单元荷载矩阵以后，按照一般有限元法将其组装成整体刚度矩阵［K ］和整体荷载矩阵｛! ｝，则根据有限元法的基本计算格式有
［K ］｛! ｝=｛! ｝
（17）
解方程组（17）求出超级元的总体位移向量｛! ｝
后，每个超级元的位移向量｛! ｝e 即可求得；
则根据式（4）（，7），（8）可以求得普通杆单元在自身局部坐标下的位移向量为
｛! 6｝e
=｛U 6i U 6 ｝T
=［T ［］E i ］｛! ｝
（e
18）于是就可以按照一般有限元方法进行杆件内力计算了. 2. 3
荷载计算的简化
在建筑结构设计中，网架结构常见的荷载形式为竖向分布荷载和作用于网架节点的集中荷载，而且荷载总是相对于整体结构给出的，而不是相对于单个杆件给出的. 如果按照前面所推导的公式计算的话，要先将荷载转换到各杆件的端点上，再转换到超级元节点上，这种方法过程非常繁琐. 基于此，本文对超级元荷载的计算方法进行了改进.
用有限元方法计算网架结构是将其视为空间
桁架结构的［6］
，对于空间桁架结构而言，要求所
有荷载作用于网架节点上. 首先，将结构上的分布荷载按建筑结构设计规范中的有关规定进行分配，分配到网架的各节点上. 然后将其与节点上的其它集中荷载叠加，形成一般有限元计算时需要的荷载向量，将其定义为｛! O ｝，结构节点的位移向量为｛! O ｝. 于是根据虚功原理，可以进行如推导.
｛! O ｝T ｛! O ｝=（｛! ｝e ）T ｛! ｝e
｛! O ｝T =（｛! ｝e ）
［T N ］T }
"
管. 现选取4个超级单元进行计算，得到各杆件应力. 在ORIGIN 中以杆件号为横轴，以应力为纵轴作曲线，所得曲线与一般有限元法计算结果所生成的曲线基本吻合. 表1列出了各类典型杆件两种方法计算结果的比较。本文计算的是正交正放平面桁架系网架. 杆件的编号顺序为：上弦杆#竖杆#斜腹杆#下弦杆；先横后纵，逐行编取. 表1中所列杆件的位置见图3. 由超级元法计算得到的结构整体变形示意图见图4.
表1两种方法计算的内力结果的比较Talbe 1
The com p are of internal forces calculated b y two methods N /m 2
杆件计
算
方
法
类别
编
号超级有限元法一般有限元法上11. 89244>1O 22
O
弦杆52-2. 32772-2. 239691O6-2. 28O 75-2. 25O 1O 115-2. 366O5-2. 25O 1O 145
-12. 7549-12. 8267竖161-9. 85O 68-9. 81729杆
175-9. 92O 17-9. 81748187
-12. 7526-12. 8133斜1953. 269583. 3OO 95腹22615. 9O4215. 324725511. 6O6O 12. O213杆2923. 272OO 3. 29788下3141O . 868811. 2954弦3391O . 868211. 275736515. 38O 715. 7869杆
372
15. 4535
15. 7779
从表1中的比较可以看出，超级元法的计算结果与一般有限元法的计算结果是十分接近的，但二者的工作量相差很大，见表2.
第3期崔洪伟，等：网架结构计算的超级元法・53・
图3
Fi g . 3
算例中的网架结构图（跨过杆件的数字为其编号）
（The fi g ure Over a rOd is the number Of the rOd
）Structure Of the s p ace truss in the exam p Ie
一般有限元法而言，超级有限元法可大大的降低工作量，并且具有较高的精度" 在进行多构件复杂结构的计算时，利用超级有限元法可以很大程度地提高工作效率，而且结构的规模越大，效果越明显" 该方法是一种值得提倡的计算方法"
参考文献：
［1］曹志远. 复杂结构分析的超级元法［J ］. 力学与实践，
图4Fi g . 4
算例中的结构变形示意图GeneraI view Of the defOrmatiOn Of the structure in the exam p Ie 表2
Table 2
两种方法计算量的比较
The com p are of com p utin g work of two methods
自由度数390153
计算时间! s 51
（4）：199210-14.
［2］罗维甲. 船体结构分析超级元法［A ］. 第三届全国计
算力学会议论文集［C ］. 武汉：1992.
［3］肖志斌. 大跨板片空间结构的超级有限元分析［J ］.
计算力学及其应用，（4）：1994415-419.
［4］刘永仁. 空间框架建筑结构静力分析的超级元解法
［J ］（4）：. 上海力学，1995282-289. ［5］李
君，张耀春. 超级元在巨型钢框架分析中的应用［J ］（1）：. 哈尔滨建筑大学学报，199938-42.
［6］沈祖炎，陈扬骥. 网架与网壳［M ］同济大学出. 上海：
版社，1997.
［7］黄振国. 土建结构程序设计第二版［M ］科学. 北京：
出版社，1997.
［8］LEUNG Y T ，CHEUNG Y K. 静力与动力分析中的
一种新型框架超级元［J ］（6）：. 应用力学，198415-22.
计算方法单元数节点数一般有限元389超级有限元
4
13051
4结束语
超级元法从结构的整体变形思想出发，是符
合工程实际的；同时，超级元的运算数据来自于其内部包含的构件，所以根本没有脱离结构本身" 这两点决定了超级元法的合理性和可靠性" 相对于
［责任编辑：李玲珠］
・54・哈尔滨工程大学学报第22卷
SUPER FINITE ELEMENT METHOD FOR COMPUTATION OF SPACE TRUSS STRUCTURE
CUI Hon g -wei ，LIU Dian-kui
（CoIIe g e of CiviI En g . ，Harbin En g ineerin g Universit y ，Harbin 150001，China ）
Abstract ：Presents the su p er finite eIement method ，a semicontinuous and semi-discrete numericaI method ，
for co ，which enabIes a hu g e com p Iex structure to be divided into a p utation of the p ro p erties of s p ace truss ，number of su p er eIements ，with man y members ，there b y sim p hb y in g com p utation ，and savin g com p utin g time.
Ke y words ：s p ace truss structrue ；su p er eIement ；FEM
网架结构计算的超级元法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
崔洪伟， 刘殿魁
哈尔滨工程大学建筑工程学院,
哈尔滨工程大学学报
JOURNAL OF HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY2001,22(3)1次
1. LEUNG Y T;CHEUNG Y K 静力与动力分析中的一种新型框架超级元 1984(06)2. 黄振国 土建结构程序设计 19973. 沈祖炎;陈扬骥 网架与网壳 1997
4. 李君;张耀春 超级元在巨型钢框架分析中的应用 1999(01)5. 刘永仁 空间框架建筑结构静力分析的超级元解法 1995(04)
6. 肖志斌 大跨板片空间结构的超级有限元分析[期刊论文]-计算结构力学及其应用 1994(04)7. 罗维甲 船体结构分析超级元法 19928. 曹志远 复杂结构分析的超级元法 1992(04)
1. 韦斌凝 基于新的样条子域的高层建筑结构分析的QR法新格式[学位论文]博士 2005
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hebgcdxxb200103012.aspx