灰色-马尔科夫模型在经济预测中的应用

灰色GM(1,1)模型在经济预测中的应用

摘 要：文章针对经济预测数据少，作用机理复杂特点，利用灰色GM(1,1)模型时间序列预测理论对中国经济收缩年份、过热年份、经济周期3个经济运行要素进行建模预测，并分析了该预测模型在经济预测中的应用。

关键词：灰色GM（1.1）模型；经济增长率；经济预测

Grey prediction of economy based on gm (1,1) model

Abstract According to the characters of few economic forecasting data and complicated action mechanism, this paper makes use of the time sequence prediction theory of grey gm (1,1) model to predict China’s economic contraction years, overheating years and economic cycle, and analyses the important function of grey prediction model in the economic forecasts.

Key words: grey gm model；economic growth rate；economic forecasting

一、引言

经济是国家的命脉和基础，经济预测对整个经济系统的控制、运行和规划具有极其重要的作用，经济运行的安全性、平稳性和高效性很大程度上都依赖于经济预测的精确程度。从国家长远的发展来看，经济预测也是我国建设事业稳步前进的必要条件。

经济增长率预测的核心问题是预测的数学模型，经济预测方法分为经验预测和定量预测。前者主要有专家预测法、类比法和主观概率法等；后者有单耗法、弹性系数法、回归分析法、时间序列法、人工神经网络法及灰色模型法等。

灰色GM(1,1)模型法由于具有所需数据少、计算量小的优点而得到了广泛的应用。部分信息已知、部分信息未知的系统称为灰色系统,灰色系统理论广泛的应用于机械、农业、电力和经济。灰色系统理论把一切随机过程看作是在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程,将离散的原始数据整理成具有规律性的生成数列,然后再进行研究. 对灰色过程建立的模型称为灰色模型,即GM。

经济系统是一种典型的灰色系统,具有预测数据少，作用机理复杂的特点。因此，利用灰色GM(1,1)模型对经济收缩年份、过热年份、经济周期3个经济运行要素进行建模预测不失为一种可取的方法。

二、GM( 1 ,1) 模型建模机理 1.1 GM(1,1)定义型的形式

GM(1,1)是最常用、最简单的一种灰色模型,它是由一个只包含单变量的微分方程构成的模型,是GM(1,N)的一个特例。

由文献[1]可知，设已知历史经济增长率的原始数据序列为GM(1 ,1)建模序列x

x

(0)

(0)

，

(x

(1)

(0)

(1)x,

(0)

(...,2),x

(0)

n，( ))1） （

利用一次累加生成1-AGO，设x

x

为x

(x

(0)

的AGO序列，

(1),x

(1)

(1)(1)

(2),...,x

(1)

(n))，

x

(1)

(1)x

k

(0)

(1)；

x

(1)

(k)



m1

x

(0)

(m，) （2）

令z(1)为x(1)的均值（MEAN）序列

z

(1)

(k)0.5x

(1)

(1)

(k)0.5x

(1)

(1)

(k1)，

(1)

z(1)(z

(2)z,（(3),z...,n， ( ))3）

则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为

x(

0)

k

)

z

(1)

k)

b （4）

灰导数 发展系数 白化背景值 灰作用量

1.2 GM(1,1)模型参数辨识 GM(1,1)的定义型为

x(0()k)az(1()k)

以k2,3,...,n代入上式，有

x

(0)(0)

b （5）

(2)az(3)az

(1)(1)

(2)b

x(2)b

...x

(0)

（6）

(4)az

(1)

(2)b

上面的方程可以转化为下述的矩阵方程

yNBP，

yN[x

(0)

(2),x

(0)

(3),...,x

(0)

(n)]，

T

z(1)(2)1

(1)

z(3)1B......(1)z(n)1

，

P[a,b] （7）

其中B为数据矩阵，yN为数据向量，P为参数向量。利用最小二乘法求解，得到：

T

P(a,b)

(BB)

T1T

BN y （8）

1.3 GM(1,1)预测模型

把求所得的系数P[a,b]代入到公式x(0)(k)az(1)(k)b，然后求解微分方程，可得灰色GM(1,1)内涵型的表达式为

x

其中u

10.5a10.5a

^

(0)

(k)u

k

v （9）

2



，v

bax

(0)

(1)

10.5a

.

接着进行检验，令(k)为残差

实际值-模型值

实际值x

(0)

(0)

(k)100%

（10）

(k)

100%

=

(k)xx

(0)

(k)

一般要求(k)20%，最好是(k)10%。令po为精度

p(1(avg))100%

o

(a

vg)

1n

n

1



()

（11）

k2

一般要求po80%，最好是po90%。 三、实证分析（中国经济预测）

2.1 经济收缩年份预测

由文献[2]可知，下面以1971年到2006年中国经济增长率数据（见表1）作为预测样本,采用灰色GM(1 ,1) 模型分别进行经济收缩年份、过热年份、经济周期预测。

表 1 1971—2006年中国经济增长率

① 根据给定的中国经济增长率，作出增长率图，并描出8 %的收缩警戒线；

图 1经济收缩预测

② 给出经济收缩的标准线8%作为等高线，得到交点序列xk，

xk=(48.9063，50.6796，70.9756，89.0244，117.1795 ，184.5833 ，207.7778 ，278.6667 ，

295.0000)

③ 交点序列建模，计算GM(1,1)建模辨识参数P=(-0.2317,46.4419)T，相应的内涵型表达式为x

(0)

(k)1.2621

k-2

65.344

④ 对内涵型残差检验，原始序列预测结果见图1和表2

表 2 内涵型模型残差检验计算值 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9

x

(0)

(k)

x(k) (k)% -28.9366 -16.1943 -16.9148 -12.1015 10.1837 -0.7009 5.2385 -12.9742

o

65.3446 82.4696 104.0827 131.3600 165.7859 209.2340 264.0686 333.2740

o

50.6796 70.9756 89.0244 117.1795 184.5833 207.7778 278.6667 295.0000

注：平均残差(avg)12.9056%,平均精度p=87.0944%。本模型精度p=87.0944%并不是很高，可是从残差趋势看：从k=3起至k=7，残差逐步减小，故总的来说是可以使用该模型的。

⑤ 预报。根据内涵型预测式x

^(0)

(k)=1.2621

k-2

65.344，得到预报值

表 3 经济收缩年份预测

注：1970 以上的数据表明中国的经济收缩第一年发生在2012年，而后相继为2023年、2037.0年、2054.6年、2076.7年。 2.2 经济过热年份预测

基本的步骤同2.1……未完待续

图 2经济过热预测

在增长率事件图描出12%的过热警戒线，得到交点序列xk，

xk=(132.5581 153.1915 215.6000 245.0000)

交点序列建模得到内涵型GM(1，1)模型 x

^(0)

(k)= -0.2176

k-2

 115.6467；

原始序列预测结果见图1和表2内涵型残差检

表 4 内涵型模型残差检验计算值

x

(0)

(k)

x(k) (k)% -5.8297 6.4476 -2.4233

k=2 k=3 k=4 162.1221 153.1915 201.6990 215.6000 250.9372 245.0000

注：平均残差(avg)4.9002%,平均精度po=95.0998%。本模型精度po=95.0998% 〉90%，故该模型可使用。

根据内涵型预报模型 x

^(0)

(k)=1.2621

k-2

65.344，得到预报值如表5

表 5经济过热年份预测

x

(0)

对应年份

(k)

/年 2001.2 2008.8 2018.3 2030.1 2044.8

k=5 k=6 k=7 k=8 k=9

420.6 530.8 670.0 845.6 1067.1

注：1970年对应着年份的零点，每1个年份为10个单位。

以上的数据表明中国的经济过热第一年发生在2001年，而后相继为2008年、2018年、2030年、2044年。 2.3 经济周期预测

以8.8722%作为基准线进行经济周期预测，相邻两个8.8722%之间的距离作为半个周期，相邻的三个8.8722%之间的距离作为整个周期，并以此方法来估算出

2006年以后的经济周期。 基本的步骤同2.1……

图3 经济周期预测

在增长率事件图描出8.8722%的基准线，得到交点序列xk

xk=(73.1029 86.8971 119.4159 159.8464 160.2579 183.3719 209.3930

272.8520 317.1525) 交点序列建模得到内涵型GM(1，1)模型 ^

x

(0)

(k)= -0.1654

k-2

 78.1085；

原始序列预测结果见图3和表6内涵型残差检

表7经济周期预测

x



(0)

对应年份

(k)

/年 2007.0 2013.7 2021.6 2030.9 2041.9

k=10 k=11 k=12 k=13 k=14

待续…………

四、参考文献

370.4336 437.2317 516.0752 609.1361 718.9781

[1] 邓聚龙.灰色预测与决策[M].武汉:华中理工大学出版社,1989.

[2] 2006年中国统计年鉴.中国:中国计量出版社,2006.

[3] 赵君有.灰色GM(1,1) 模型及其在电力负荷预测中的优化应用.沈阳: 沈阳工程学院学

报,2007.

[4] 伊法春.GM(1.1)模型在高寒牧区草原鼠害及生物技术控制效果预测中的应用.北京:现代

农业科技,2007. [5]……

…………………………