数学建模,,供水分配问题
供水分配问题
一、摘要：
本题要求讨论出合理的灾区乡镇供水分配方案，以确保民众
的满意度最大。根据民政厅对各受灾区防旱救灾的文件要求，在保证民众满意度最大的同时，还更应该注重统筹兼顾，公平分配，使各地方各民众都能够达到最好的满意度。根据问题的要求，可以建立两种数学模型，模型一通过建立线性函数，讨论民众的总体满意度，运用LINGO 软件计算出给各乡镇分配水的数量，并借助Excel 作图分析；模型二主要是在模型一的基础上，考虑各地方满意度反应一致，运用标准差缩小分配落差，建立线性函数模型，可以计算出各地方满意度均达到900/0以上。建议采用模型二对灾区进行供水分配。
关键词：统筹兼顾、线性函数、LINGO 软件、Excel 作图、
标准差、缩小分配落差、最优分配额。
二、问题重述与分析
7月份跃进县持续干旱少雨，全县5个受灾乡镇出现了严重
旱灾，极大地影响民众生活生产，县里启动紧急救灾预案，向各受灾乡镇每日运送生活用水2000t ，各乡镇每日基本用水需求量见表，供水量与民众需求量差别越大，民众越不满意，试制定合理的供水分配方案，使民众满意度最大。
图表显示各受灾区对供水量的需求各不相同，但总体需求
量大过了政府所能承受的供应量，如果只要求群众满意度最大，则会引起民众争议。如何分配才使得才能使得民众满意度最大。在满意度最大的同时，是否做到了统筹兼顾的原则，怎样做才是统筹兼顾的最优方案，民众呼声一致。因此，采用建立两个数学模型取最优方案。
三、模型假设与变量说明
1、假设各受灾乡镇的受灾情况相同，且需水量只与本地相关；
2、假设表中数据真实有效，需水量无其他变动； 3、假设民众的满意度只与供求差值有关；
4、假设运送的水均能到达民众家中，无其他损耗因素； 5、设向各地运水量分别为x i （t ），民众不满意度为y ，则民众满意度为Z=1-y。
四、模型的建立与求解
由问题中所给数据，我们得出以下约束条件：
⎧x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2000⎪0≤x ≤400
1⎪⎪⎪0≤x 2≤600s . t . ⎨
⎪0≤x 3≤300⎪0≤x 4≤500⎪⎪⎩0≤x 5≤400
由于问题中没有给出关于实际供水量与民众满意度之间的关系，所以民众满意度与实际供水量之间成正比关系：
民众满意度Z =K ⨯
实际供水量
⨯100%
需求量
假设K 值等于1；在整个受灾地民众的不满意度为：
y =
400-x 1600-x 2300-x 3500-x 4400-x 5
+++[**************] 模型一
利用LINGO 软件可求解（详见附录一），若使得整个受灾地民众不满
，民众满意度Z =0.6666… 意度最低为y min =0. 33331
⎧x 1=400⎪x =4002⎪⎪
⎨x 3=300⎪x =500⎪4⎪⎩x 5=400
各灾镇实际供水量为：
x i =[[**************]]；(i =1, 2, 3, 4, 5)
应用Excel 作图（图表1）
由此可看出除了灾镇2，其余灾镇实际供水量都等于需求量，满意度均为100%，而灾镇2满意度则只有66.67%，在这种不均衡的情况下，必然引起灾镇2民众的强烈不满。
为了实现公平，缩小各灾镇供水差异，因为各灾镇灾情不同，所以，在通过建立模型二使各灾镇民众满意度相差最小，则有：
lim ⇒0
Z
=-
x x x 1x x y y y y y
-+-2-+-3-+-4-+-5-[***********]05
模型二
利用LINGO 软件可求解(详见附录二) ，整个受灾民众不满意度为y min =0. 4545 ，民众满意度Z 2=0.5454…
⎧x 1=363.6364⎪x =545.45452⎪⎪
⎨x 3=272.7273⎪x =454.5455⎪4⎪⎩x 5=363.6364
各灾镇实际供水量为：
]；(i =1, 2, 3, 4, 5) x i =[4363. 6364545. 4545272. 7273454. 5455363. 6364
应用Excel 作图（图表2）
图表数据显示：各乡镇的民众满意度均在90%以上，而总体满意度为54.54%。
通过对模型一和模型二的对比发现，采用模型一送水方案可以获得整体的满意度最大，但不能够满足统筹兼顾的方针政策；如果采用模型二送水方案，则会有民众满意度Z 1-Z 2=-0.1212…，民众总体满意度会降低，但能够做到公平公正。综合上述信息对比，建议采用模型二对灾区进行供水分配。
五、模型的评价与改进
本文综合考虑了送水分配对民众满意度和统筹兼顾建立了
两个模型，并计算出了相应的供应数据。最后可将建立的数学模型运用到实际中去。具体有点有下：
1、 模型通用性强。模型建立在解决灾区乡镇送水问题基础上，对
于很多物资配送等问题均实用，也可以运用到多方经济投入的优化中。例如：多县扶贫支助、救灾物资发放等。
2、 模型考虑全面。将民众的满意度和民众切实的需求想结合，最
优地解决了民众满意度与需求矛盾的关系。可以得知，在分析问题时不能片面地追求单一结果。
3、 运用线性函数、标准差等数学方法建立数学模型，然后运用数
学软件求解，避免了繁杂的人工计算。
但模型也有不足之处：其一，两个模型都只能满足其中一个优势，解决了群众最大满意度，却不能解决人性化的统筹兼顾；同样，解决了全面的需求落差小，却不能达到最大满意度。其二，模型还有许多实际问题被忽略，太过于理想化。模型有待根据实际问题具体改进。
六、参考文献
【1】民政部办公厅关于切实做好旱灾区群众生活安排的紧急通知， 来源：法律教育网
http://www.chinalawedu.com/falvfagui/fg22598/59660.shtml ；
访问时间2012年5月30日
【2】关于进一步做好当前旱灾救灾工作的紧急通知，
【3】，线性规划的模型建立。
【4】标准差与平均值之间的关系，百度百科。 【5】数学建模，高等教育出版社，姜启源，2011年2月
七、附录
模型一用LINGO 求解
%建立方程式
min=(400-x1)/400+(600-x2)/600+(300-x3)/300+(500-x4)/500+(400-x5)/400; y=(400-x1)/400+(600-x2)/600+(300-x3)/300+(500-x4)/500+(400-x5)/400; x1+x2+x3+x4+x5=2000;
@bnd(0,x1,400);！x1乡镇1； @bnd(0,x2,600); ！x2乡镇2； @bnd(0,x3,300); ！x3乡镇3； @bnd(0,x4,500); ！x4乡镇4； @bnd(0,x5,400); ！x5乡镇5； %求最优解
LINGO12.0运行结果
Objective value: 0.3333333 Infeasibilities: 0.000000
Variable Value Reduced Cost
X1 400.0000 -0.8333333E-03 X2 400.0000 0.000000 X3 300.0000 -0.1666667E-02 X4 500.0000 -0.3333333E-03 X5 400.0000 -0.8333333E-03 Y 0.3333333 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3333333 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.1666667E-02
模型二用LINGO 求解
%建立方程式 LINGO12.0运行结果
min=@abs(1-(x1/400)-y/5)+@abs(1-(x2/600)-y/5)+@abs(1-(x3/300)-y/5)+@abs(1-(x4/500)-y/5)+@abs(1-(x5/400)-y/5);
y=(400-x1)/400+(600-x2)/600+(300-x3)/300+(500-x4)/500+(400-x5)/400; x1+x2+x3+x4+x5=2000;
@bnd(0,x1,400); @bnd(0,x2,600); @bnd(0,x3,300); @bnd(0,x4,500); @bnd(0,x5,400);
%最优解
Objective value: Objective bound:
Variable X1 X2 X3 X4 X5 Y Row 1 2 3 0.000000 0.000000 Value 363.6364 545.4545 272.7273 454.5455 363.6364 0.4545455 Slack or Surplus 0.000000 0.000000 0.000000 Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000