中考培优班复习--函数题型及方法总结
中考培优班复习——函数题型及方法总结
●中考点击 考点分析:
命题预测:函数是数形结合的重要体现,是每年中考的必考内容,函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围,及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等,一般占2%左右.一次函数与一次方程有紧密地联系,是中考必考内容,一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查,占5%左右.反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现,要关注反比例函数与实际问题的联系,突出应用价值,3—6分;二次函数是初中数学的一个十分重要的内容,是中考的热点,多以压轴题出现在试卷中.要求:能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义;会用描点法画二次函数图像,能从图像上分析二次函数的性质;会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴,并能解决实际问题.
分析宁波市近年中考,预计2015年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像,一次函数的图像和性质,在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解.同时将注重考查二次函数,特别是二次函数的在实际生活中应用. ●难点透视
例1 如图3-1,已知点A 的坐标为(1,0),点B 在直线y =-x 上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标为 A . (0,0) B. (, -) C. 1
21211- D. (-, )
2222
【考点要求】本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识,数形结合
图3-1
是重要的数学方法之一.
当线段AB 最短时A B ⊥BO ,又由点B 在直线y =-x 上可知∠AOB=45°,且OA=1,过点B 作x 轴的垂线,根据等腰“三线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点B 坐标为(, -) ,
1
212
【答案】选B .
【误区警示】部分学生能找出B 点运动到何处线段AB 最短,但却无法求出具体坐标。突破方法:已知直线BO 解析式,求点的坐标是根据两直线相交,再求出AB 直线的解析式,利用方程组求出交点坐标。
解题关键:互相垂直的两直线解析式中,一次项系数互为倒数,据此再结合点A 的坐标可求出直线AB 的解析式。
例2若M -
k ⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
, y 1⎪、N -, y 2⎪、P , y 3⎪三点都在函数y =(k<0)的图象上,
x ⎝2⎭⎝4⎭⎝2⎭
则y 1、y 2、y 3的大小关系为( )
A 、y 2>y 3>
B 、
>
>y 3 C 、y 3>y 1>y 2 D 、y 3>y 2>y 1
【考点要求】本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小. 【思路点拨】反比例函数y =
k
当k <0时,其图象位于二、四象限,在每一象限内,x
y 随x 的增大而增大,结合图象可知,y 2>y 1>y 3,
【答案】选B .
【误区警示】部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质,容易错误的理解成“当 k <0时,图象位于二、四象限,y 随x 的增大而增大”。突破方法:不单纯的根据性质进行判断,而是画出图象,结合草图进行判断。
解题关键:反比例函数图象及性质在描述时,因为是双曲线,所以一定要说明“在每一象限内”这一前提。
例3在直角坐标平面中,O 为坐标原点,二次函数y =x +bx +c 的图象与x 轴的负半轴相交于点C ,如图3-3,点C 的坐标为(0,-3),且BO =CO (1) 求这个二次函数的解析式;
(2) 设这个二次函数的图象的顶点为M ,求AM 的长.
【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。 【思路点拨】由题目条件,可用待定系数法求解析式 (1) C (0,-3), OC =|-3|=3, ∴c =-3,
2
又 OC =BO ,
9+3b -3=0,6+3b =0, b =-2。
,
∴y =x 2-2x -3。
(
2
)
-
b -2=-=1, f (1)=1-2-3=-4, A (-1,0), M (1,-4) ,
2a 2
∴AM ==【答案】(1)y =x 2-2x -3;(2
)AM =。
【方法点拨】部分学生因为题目中没有直接给出两个点的坐标,因此在求待定系数时遇到困难。突破方法:由BO =CO 且点C 的坐标为(0,-3)可推知点B 的坐标为(3,0),然后代入求解。
例4一次函数y =x+b与反比例函数y =
k +3
图像的交点为A(m ,n ) ,且m ,n (m
是关于x 的一元二次方程kx 2+(2k -7) x +k +3的两个不相等的实数根,其中k 为非负整数,m ,n 为常数.
(1)求k 的值;
(2)求A 的坐标与一次函数解析式.
【考点要求】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系,抛物线与x 轴的交点横坐标是其对应的一元二次方程的两个根.
【思路点拨】(1)由方程有两个不相等的实数根,得:
△=(2k -7) 2-4k (k +3) =-40k +49>0 ∴k
当k =0时,方程kx 2+(2k -7) x +k +3=0不是一元二次方程,与题设矛盾 ∴k =1
(2)当k =1时,方程x 2-5x +4=0 ∴x 1=1x 2=4 ∵m
【答案】(1)k =1;(2)A (1,4),函数解析式为y =x +3。
【方法点拨】因本题涉及一元二次方程及二次函数相关问题,部分学生综合运用遇到困难。突破方法:要求k 的值,与之相关的一元二次方程有两个不相等的实数根,由此根据根的判别式可求出k 的取值范围,再结合其它条件求出k 的值。 例5如图3-6,已知O 为坐标原点,∠AOB =30°,∠ABO =90°,且点A 的坐标 为(2,0).
(1) 求点B 的坐标;
(2) 若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A 、B 、O 三点,求此二次函数的解析式; (3) 在(2)中的二次函数图象的OB 段(不包括点O 、B )上,是否存在一点C ,使得四边形ABCO 的面积最大?若存在,求出这个最大值及此时点C 的坐标;若不存在,请说明理由.
49 40
【考点要求】本题考查求二次函数解析式,并探索抛物线上点的存在性,培养学生分析问题,解决问题的综合能力.
【思路点拨】(1) 在Rt △OAB 中,∵∠AOB =30°,∴ OB =3. 过点B 作BD 垂直于x 轴,垂足为D ,则 OD =3
,BD =2
3
(2) 将A (2,0)、B (,
2
b +c =0, ⎧4a +2
⎪
3⎪9
⎨a +b +c =
42⎪
⎪c =0. ⎩
33,∴ 点B 的坐标为(, ) . 222
) 、O (0,0)三点的坐标代入y =ax 2+bx +c ,
得2
解方程组,有 a =-
243
,b =,c =0. 33
∴ 所求二次函数解析式是 y =-(3) 设存在点C (x , -
23243
x +x . 33
2243x +x )(其中0
∵△OAB 面积为定值,
∴只要△OBC 面积最大,四边形ABCO 面积就最大. 过点C 作x 轴的垂线CE ,垂足为E ,交OB 于点F ,则
1113
S △OBC = S △OCF +S △BCF =|CF |⋅
|OE |+|CF |⋅|ED |
=
|CF |⋅|OD |=|CF |,
2422
x +x -=, 而 |CF |=y C -y F =∴ S △OBC =-∴ 当x =
3233x +x . 24
933
时,△OBC 面积最大,最大面积为.
324
353253
此时,点C 坐标为(, ) ,四边形ABCO 的面积为.
4832
3353224【答案】(1)B , ;(2)y =-x +x ;(3)存在点C 坐标为(, ) ,此
224833
时四边形ABCO 的面积最大为
253
。 32
【方法点拨】(1)解题方法较为灵活,容易解决。(2)因为已具备图象上三点坐标,可直接设为一般式,代入三点求解;也可以设为两根式,再代入点B 坐标求解。(3)关键要抓住四边形ABCO 的面积由两部分组成,其中△OAB 面积为定值,因此要四边形面积最大,问题转化为判断△OBC 面积是否存在最大值。 ●拓展演练
1. 双曲线y =
k
和一次函数y =ax +b 的图象的两个交点分别是A(-1,-4) ,B(2,x
A
m) ,则a +2b =____________.
AC=4,AD=x
,AE=y,则y 与x 的关系式是( )
4
5
y ADE=∠C ,且AB=5,2. 如图,在△ABC 中,点D 在AB 上,点E
在AC E
A.y=5x B.y=x C.y=5420
第2题图 3. 如图,△ABC 和△DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形,∠B=∠DEF=90°,点B 、C 、E 、F 在同一直线上.现从点C 、E 重合的位置出发,让△ABC 在直线EF 上向右作匀速运动,而△DEF 的位置不动.设两个三角形重合部分的面积为y ,运动的距离为x .下面表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( )
第3题图
B C D
2
4.若二次函数y =ax +c ,当x 取x 1, x 2(x 1≠x 2) 时,函数值相等,则当x 取
A .a +c B.a -c C.-c D.c
5.抛物线y =a (x +1) 2+2的一部分如图所示,该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点
A
x 1+x 2时,函数值为( )
的坐标是
A .(
1
,0) B .(1,0) C .(2,0) D .(3,0) 2
6.抛物线y =ax 2+bx +c 的图角如图,则下列结论:①abc >0;②a +b +c =2;③a -b +c <0;④b 2-4ac <0. 其中正确的结论是( )
A .①② B.②③ C .②④ D .③④
第5题图
第6题图
7.如图,在平面直角坐标系中,正方形AOCB 的边长为6,O 为坐标原点,边OC 在x 轴的正半轴上,边OA 在y 轴的正半轴上,E 是边AB 上的一点,直线EC 交y 轴于F ,且S △FAE ∶S 四边形AOCE =1∶3.
y (1) 求出点E 的坐标;
(2)求直线EC 的函数解析式.
F
第7题图
8.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如图所示,其拱形图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB 间,按相同的间距0.2米用5根立柱加固,拱高OC 为0.6米.
(1)以O 为原点,OC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,请根据以上的数据,求出抛物线y=ax2的解析式;
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度.(精确到0.1米)
O
A
E
B
C
第25题图