8 空间坐标.向量及运算
空间向量
【知识要点】
1. 空间向量基本定理
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如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个位移的有序实数组
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x , y , z ,使p =x a +y b +z c
2. 空间向量的坐标运算
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设a =(x 1, y 1, z 1) ,b =(x 2, y 2, z 2) ,则
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a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2, z 1+z 2) a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2, z 1-z 2)
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a ⋅b =a ⋅b cos =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 a ∥b ⇔a =λb ⇔
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x 1x 2
=
y 1y 2
=
z 1z 2
a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0
3. 空间向量的夹角与距离公式
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(1)夹角公式:设a =(x 1, y 1, z 1) ,b =(x 2, y 2, z 2) ,则
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cos
a , b >=
a ⋅b
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→
=
a ⋅b
(2)距离公式
设A (x 1, y 1, z 1) ,B (x 2, y 2, z
2) ,则d AB =
【典型例题】
例1 已知空间四边形中A B C D ,A B ⊥C D , A C ⊥B D . 求证:A D ⊥B C .
1
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例2如图所示,已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 这空间的9个点,并且OE =k OA , OF =k OB , OH =k OD , AC =AD +m AB , EG =EH +m EF .
求证:(1)A 、B 、C 、D 四点共面;
(2)A C ∥E G ;
(3)OG =k OC .
例3如图,在正方体ABC D -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为B B 1、B 1D 1的中点,求E F 与D A 1所成的角.
2
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例4已知a =(2,4, x ) ,b =(2,y , 2) ,a =6,a ⊥b ,求x +y 的值.
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【课堂练习】
1. 在下列命题中:
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①若a 、b 所在的直线式异面直线,则a 、b 一定不共面;②若a 、b 、c 三向量两两共
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面,则a 、b 、c 三向量一定也共面;③已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总
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可以唯一表示为p =x a +y b +z c . 其中正确的命题个数为( ).
A. 0 B. 1 C.2 D. 3
2. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b , C C 1=c , 则A 1B =( ).
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A. a +b -c B.a -b +c C.-a +b +c D. -a +b -c 3. 已知点p (-1, 3, -4) ,且该点在三个坐标平面yo z 平面、zox 平面、xo y 平面上的射影的坐标依次为(x 1, y 1, z 1) 、(x 2, y 2, z 2) 和(x 3, y 3, z 3) ,则( ).
222222222
A. x 1+y 2+z 3=0 B.x 2+y 3+z 1=0 C. x 3+y 1+z 2=0 D.以上结论均不对
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4. 已知向量a =(0,2,1) ,b =(-1,1, -2) ,则a 与b 的夹角为( ). A. 0 B.
π
4
C.
π
2
D.π
5. 在空间直角坐标系中,已知点P (x , y , z ) ,那么下列说法正确的是( ). A. 点P 关于x 轴对称的坐标是P 1(x , -y , z ) B. 点P 关于yo z 平面对称的坐标是P 2(x , -y , -z ) C. 点P 关于y 轴对称的坐标是P 3(x , -y , z ) D. 点P 关于原点对称的坐标是P 4(-x , -y , -z )
3
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6. 已知a =(2,-1, 3) ,b =(-1, 4, -2) ,c =(7,5, λ) ,若a 、b 、c 三向量共面,则实数λ等于( ). A.
627
637
647
657
B. C. D.
7. 已知∆ABC 的三个顶点为A (3,3, 2) ,B (4,-3, 7) ,C (0,5,1) ,则B C 边上的中线长为 ( ).
A. 2 B.3 C.4 D.5
8. 若A (m +1, n -1, 3) 、B (2m , n , m -2n ) 、C (m +3, n -3, 9) 三点共线,则m +n = .
9. 已知S 是∆ABC 所在平面外一点,D 是S C 的中点,若BD =x AB +y AC +z AS ,则
x +y +z =
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10. 已知A (0,2, 3) ,B (-2,1, 6) ,C (1,-
1, 5) ,若a =坐标是 .
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→
→→
,a ⊥AB ,a ⊥AC ,则a 的
→
→→→→→→
11. 已知a 、b 是空间二向量,若a =3,b =
2,a -b =a 与b 的夹角是 .
12. 在棱长为a 的正方体ABC D -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为DD 1和B B 1的中点. (1)证明:AEC 1F 是平行四边形; (2)求A E 和A F 之间的夹角的余弦; (3)求四边形AEC 1F 的面积.
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b =(2,1,8) ,a ⋅b ,13. 设向量a =(3,5, -4) ,求3a -2b 、并确定λ、μ的关系,使λa +μb
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与z 轴垂直.
14. P 是平面A B C D 外的点,四边形A B C D 是平行四边形, AB =(2,-1, -4) ,
A D =(4,2, 0) , AP =(-1, 2, -1) .
(1)求证:P A ⊥平面A B C D ;
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(2)对于向量a =(x 1, y 1, z 1) ,b =(x 2, y 2, z 2) , c =(x 3, y 3, z 3) ,定义一种新运算:
(a ⨯b ) ⋅c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⨯AD ) ⋅AP 的
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绝对值;说明其与几何体P -A B C D 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⨯AD ) ⋅AP
的绝对值的几何意义(几何体叫四棱锥,椎体体积公式:V =
13
⨯底面积⨯高).
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