图像问题的解题方法

一、复习与提问

1、

基本初等函数及图形

（1）二次函数图形及性质

（2）幂函数

μ

y =x ① 幂函数的解析式？ 答：，μ是常数；

② 幂函数的图像？

答：

③ 幂函数的定义域：

a 、 当u 为正整数时，函数的定义域为区间x ∈(-∞, +∞) ，他们的图形都经过原点，并

当u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图

形关于Y 轴对称；

b 、 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。

c 、 当u 为正有理数m/n时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的

定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）；如果m>n图形于x 轴相切, 如果m

d 、 当u 为负有理数时,n 为偶数时, 函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时，定义

域为去除x=0以外的一切实数。

(3) 指数函数

x

①指数函数的解析式？ 答： y =a (a 是常数且a >0，a ≠1) ，x ∈(-∞, +∞) ；

②指数函数的图像 答:

③ 指数函数的性质? 答：

a 、当a>1时函数为单调增, 当a

(4) 对数函数

① 对数函数的解析式 ？ 答:y =log a x (a 是常数且a >0，a ≠1) ，x ∈(0,+∞) ； ② 对数函数的图像？ 答：

③ 对数函数的性质？ 答：

a 、 他的图形为于y 轴的右方. 并通过点(1,0)

b 、 当a>1时，在区间(0,1)内y 的值为负. 图形位于x 的下方, 在区间(1, +∞) 内y 值为正, 图形位于x

轴上方. 且在定义域上是单调增函数. ；当0

(5) 三角函数 ①正弦函数

a 、正弦函数解析式及值域？ 答： y =sin x ，x ∈(-∞, +∞) ，y ∈[-1, 1]， b 、正弦函数图像及性质？ 答：

② 余弦函数

a 、余弦函数解析式及值域？ 答：y =cos x ，x ∈(-∞, +∞) ，y ∈[-1, 1]，

b 、余弦函数的图像及性质？

答：

③正切函数

x ≠k π+

y =tan x y ∈(-∞, +∞) ，k ∈Z ，2，a 、正切函数解析式及值域？ 答： ，

π

b 、正切函数的图像及性质？

答

④余切函数

a 、余切函数解析式及值域？ 答：y =cot x ，x ≠k π，k ∈Z ，y ∈(-∞, +∞) ；

b 、余切函数的图像？ 答：

（6）对号函数图像？

答：

2、图像平移与变换

1. 用描点法作函数的图象

.2. 几种基本初等函数的图象的变换与变量替换的关系 (1)平移变换（（2）变换作图法：

向右平移a 个单位①平移：y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x -a ) ；

向上平移b 个单位

y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x ) +b . x 轴对称②对称：y =f (x ) −关于−−−−−→y =f (-x ) ； y 轴对称y =f (x ) −关于−−−−−→y =f (-x ) ；

y =f (x ) −关于原点对称−−−−−→y =-f (-x ) .

x 轴上方图象, 再把 y =f (x ) −保留−−−−−−−−→y =|f (x ) |；

x 轴下方图象对称到上方

x 轴右边的图象, 再把

y =f (x ) −保留−−−−−−−−−→y =f (|x |).

y 轴右边图象对称到y

轴左边

题型归纳与总结

做图像类型的选择题经常用到的方法：排除法，看图像奇偶性，单调性，以及代特殊值等。

例1、作函数y =|x |2-4|x |+1的图象

解：用虚线作y =|x |2-4x +1的图象，再保留y 轴右边图象，并把它对称翻到y 轴左边，即得到y =|x |2-4|x |+1的图象，如图所示。 例2、利用函数f (x ) =2x 的图象，作出下列各函数的图象：

（1）f (x -1) ；（2）f (|x |)；（3）f (x ) -1；（4）-f (x ) ；（5）|f (x ) -1|.

解：用指数函数y =2x 的图象及变换作图法可作要作的函数图象，其图象如图（1）—（5）中的实线部分。

练习：函数y =1-

1

的图象是（ ） x -1

解：该题考查对f (x ) =

11

图象以及坐标平移公式的理解，将函数f (x ) =的图象变形到x x

11，即向右平移一个单位，再变形到f (x ) =-，即将前面图象沿x 轴翻转，f (x ) =

x -1x -1

1

再变形到f (x ) =-+1，即将前面图象再向上平移一个单位，从而得到答案B 。

x -1

例3已知函数y =A sin(ωx +ϕ) 的一部分图象如下图所示，如果A >0, ω>0, |ϕ|

Ａ． ϕ=-

π

12

5ππ

Ｃ． ϕ=- Ｄ． ϕ=

66

解:根究图像可知A=2，

Ｂ． ϕ=

5π

12

2πT 5π⎛π⎫π

所以ω=2，所=- -⎪=，所以T =π，又T =ω212⎝12⎭2

以原函数为y =2sin (2x +φ)，又2s n i 2 ⨯所以，φ=-

⎛

⎝

⎛π⎫⎫

，+φ0=2sin 2⨯+φ⎪ ⎪=-2φ

π

5π

6

注：三角函数图像题首先根究周期确定ω，然后根究图像代两个y 值不同的点，确定φ值。

n ωx +ϕ)ω(>练习：已知函数y =s i (

象如题（6）图所示，则

ϕ

π

2

) 分图 的部

ππ

B. ω=1 ϕ=- 66ππ

C. ω=2 ϕ= D. ω=2 ϕ= -

66

A. ω=1 ϕ=

y =ln cos x (-

例4

π

2

π

2

) 的图象是 （ ）

解：因为0

cos x

例5若函数y =f (x ) 的导函数在区间[a , b ]上是增函数，则函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的．．．图象可能是 （ ）

A. B. C D

解: 因为函数y =f (x ) 的导函数．．．y =f '(x ) 在区间[a , b ]上是增函数，即在区间[a , b ]上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A. 例6已知函数 f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d 的图象如下，则（ ） (A ) b ∈(-∞,0) (B)b ∈(0,1) (C) b ∈(1,2) (D)b ∈(2,+∞)

解：观察f (x ) 的图像，可知函数f (x ) 的图像过原点，即f (0)=0,得d =0, 又f (x ) 的图像过(1，0) ，∴f (x )=a +b +c ① 又有f (－1) ＜0, 即－a +b －c ＜0 ② ① +②得b ＜0, 故b 的范围是(－∞,0) 例7数y =tan x +sin x -tan x -sin x 在区间(

π3π

2, 2

) 内的图象是 （ ）

-

A

B

-C

D

例8设a ＜b, 函数y =(x -a ) 2(x -b ) 的图像可能是

解:由y /=0得x =a , x =

2a +b 2a +b

，∴当x =a 时，y 取极大值0，当x =时y 取极小33

值且极小值为负。故选C 。

趁热打铁

1、作出y =|log 2(x +1) |+2的图象.

2、为了得到函数y =3⨯x 的图象，可以把函数y =(x 的图象（ ）

A ．向左平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度

B ．向右平移3个单位长度 D ．向右平移1个单位长度

1313

3．已知函数f (x ) =2x ，则f (1-x ) 的图象为图中的（ ）

4、当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax 的图像只可能是( )

5

、已知函数f(x)的导函数

f ' (x )

的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )

6、f/（x ）是f （x ）的导函数，f/（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

7、函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0, ω＞0) 的部分图象如图所示， 则f(1)+f(2)+f(3)+„+f(11)的值等于（ ） A.2 B.

2+

2 C.2+22 D.-2-22

8、如图所示为函数f (x ) =2cos(ωx +ϕ)(ω>0,0≤ϕ≤π) 的部分图象，

其中

AB =

5

，那么ω和ϕ的值分别为（ B ）

（A ）ω=π, ϕ=π （B ）ω=π, ϕ=π

6

3

3

3

（C ）ω=π, ϕ=π

3

6

ω=6, ϕ=π

6

9、已知函数f (x ) =2sin(ωx +φ) 的图像如图所示，则f

⎛7π⎝12

⎫

⎪= 。 ⎭

10、函数y ＝－xcosx 的部分图象是（ ）

11、函数y =sin 2x -

⎛⎝

π⎫⎡π⎤在区间-, π⎥的简图是（ ） ⎪⎢3⎭⎣2⎦

12、下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )

π（A ）y =sin(x +) （B ）y =sin(2x -π) 66

（C ）y =cos(4x -) （D ）y =cos(2x -π)

36

13、若函数y =f (x ) 的导函数在区间[a , b ]上是减函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的图象可能．．．是 （ ）

π

A B C D

14、3．函数y =x |x |的图象大致是 （ ）

温故强化

1、下列四个函数中，图像如右图所示的只能是

A ．y =x +lg x

（ ）

B ．y =x -lg x C . y =-x -lg x D . y =-x +lg x

2、已知图1中的图像对应的函数为y =f (x ) ，则图2中的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能是 （ ） A ．y =f (|x |) B ．y =|f (x ) | C ．y =f (-|x |) D ．y =-f (-|x |)

3、如图，函数f (x ) 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐

4) (20) (64) ，则f (f (0))= 标分别为(0，，，，，lim

f (1+∆x ) -f (1)

=

∆x

∆x →0

4、若二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是直线x =2，则 （ ）

(A ) (B ) (C ) (D ) f (1)

5、如图所示，f 1(x ), f 2(x ), f 3(x ), f 4(x ) 是定义在[0, 1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0, 1]中任意的x 1和x 2，f (

x 1+x 21

) ≤[f (x 1) +f (x 2)]恒成立”的只有（ ）

22

6、已知a >0，且a ≠1，函数y =a x 与y =log a (-x ) 的图象只能是图中的（ ）

7、函数y =f (x ) 与函数y =g (x ) 的图象如右，则函数y =f (x ) ·g (x ) 的图象是（ ）

8、已知函数f (x ) 是R 上的增函数，A (0, -1), (3, 1) 是其函数图象上的两点，那么（ ）

f (x +1)

11

A .(-1, 2) B .(1, 4) C (-∞, -1]⋃[4, +∞) D (-∞, -1]⋃[2, +∞)

9、方程2X =x 2的实根的个数为（ ）

A ：0 B：1 C：2 D：3

10、函数y=f(x)的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于点P(0,2)(如图所示) ，则方程f(x)=0的根是x= ( )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

11、定义域和值域均为[-a , a ]（常数a >0）的函数y =f (x )和y =g (x )的图像如图所示，

给出下列四个命题：

（1）方程f [g (x )]=0有且仅有三个解； （2）方程g [f (x )]=0有且仅有三个解； （3）方程f [f (x )]=0有且仅有九个解； （4）方程g [g (x )]=0有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是（ ）

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．函数f (x ) =2|log2x |

-x -

1

的大致图像为 （ ）．

x

x

13、 若0

对称；14、已知f (x ) 是偶函数，

则f (x +2) 的图像关于__________已知f (x +2) 是偶函数，则函数f (x ) 的图像关于____________对称.

15、设a 是常数，函数f(x)对一切实数x 都满足f (a -x ) =-f (a +x ) ，求证函数f(x)的图像关于点(a,0)成中心对称图形。

12