不用极限怎样讲微积分

２００８年第４７卷第８期，数学通报

不用极限怎样讲微积分

张景中

（广州大学计算机教育软件研究所）

讲微积分必须讲极限，否则就讲不清楚，这几乎是两百年来数学界的共识．但逆反心理总是有的．越说不用极限不能讲微积分，就越有人想打破框框，想不用极限讲讲微积分．这不，有本书就叫做《不用极限的微积分》（原文：ＣａｌｃｕｌｕｓＷｉｔｈ—

ｏｕｔ

１

差商和差商有界的函数

讲这个问题总得有点预备知识，无非是函数，差分，差商．

高中数学课里函数总是要讲的．习惯上只讲一元函数．其实大可以不必这么小气，同时提一下多元函数概念只有好处．小学里的加减乘除都是２元函数，求梯形面积公式就是３元函数，求圆面积公式才是一元函数，这样一讲，学生会感到函数不是新来的怪物，是老朋友，更直观更具体．然后先从一元函数来研究，多元函数概念立此存照．有此伏笔，将来把定积分看成区间两端点的２元函数就顺理成章了．

接着要讲函数的递增递减．判断函数厂（ｚ）的

Ｌｉｍｉｔ）［１］．在网上看到这书名如获至宝，带着

一激动的心情下载解包急欲一读为快．一看封面，心先凉了一半，原来在书名后面有一条小尾巴：一

ａｌｍｏｓｔ．（图１）

图１

取目一本书的封面

增减性最好给学生一个工具，这工具就是差分

这就是说不是不用极限，是“几乎”不用极限．再看内容，就知道了所谓“几乎”不用极限，就是用直观描述代替严谨的极限定义，这和许多微积分的通俗读物本质上没有区别，是模模糊糊的说不清楚的微积分．听有些在大学里讲微积分的老师说，学生根本没有学过微积分还好教，如果学过一些说不清楚的微积分，成了夹生饭，就更不容易教他学懂微积分了．是否真的如此，没有调查研究不敢妄言．但不用极限讲微积分这个题目，就显得更诱人．

五十年前学微积分，三十年前又教微积分．常常想一个问题：怎样把微积分变得容易些．曾经想

厂（ｚ＋＾）一厂（ｚ）或差商掣一旦羔±生｝型．

厶玉工

，‘

湘教版高中教材讲了差分：当ｈ＞０时，差分正则函数增，差分负则函数减．人教版高中教材讲了差商：差商正则函数增，差商负则函数减．知道了差分和差商，讲微积分就方便了．不管用不用极限，差分和差商总是要用的．

差商是函数在一个区间上的平均变化率．常见的函数，在有限区间上的差商多是有界的．这类函数很重要，干脆给个定义：

定义１．１

若函数厂（ｚ）在区间ｆ上有定义，

且有正数Ｍ使得对Ｊ上任意两点让＜ｕ，总有不等式Ｉ厂（口）一厂（“）ｌ≤Ｍ

ｖ—Ｕ

过不用￡一艿来定义极限［２３，但不用极限讲微积分

的问题更有意思，在数学教育中更有实际意义．近来在林群先生一系列工作［３，４，５，６］的启发下，偶有所得．自以为是真正实现了不用极限讲微积分，而且是严谨地讲，不用ａｌｍｏｓｔ．其中有些思路好像以前没有人说过，于是抛砖引玉，希望对高中里的微积分的教学，以及大学里高等数学的教学改革有些用处．

Ｉ成立，则称厂（ｚ）

在区间Ｉ上差商有界．也说，（ｚ）在区间ｊ上满足李普西兹条件（Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件）．

定理１．１

在区间［ｎ，６］上差商有界的函数

，（ｚ）在区间［口，６］上必有界．这是因为

Ｉ厂（ｚ）Ｉ＝ｌ，（口）＋厂（ｚ）～厂（ｎ）Ｉ≤Ｉ厂（口）Ｉ＋Ｉ厂（ｚ）一厂（口）Ｉ≤ｌ厂（ｎ）Ｊ＋ＭＭｂ—ａ

ｚ—ａ

Ｉ≤Ｉ厂（乜）Ｉ＋

２

数学通报

２００８年第４７卷第８期

之故．

例１．１

［口。６］Ｉ－ｔ商有界，则它在［口，６］的任意子区间上

求证函数Ｙ—ｚ２在区间［口，６］上差

也是差商有界的．

差商有界的函数，都是规规矩矩的“好函数”．

对［口，６］上任意两点“＜础，总有

ｌ口一

Ｊ＋Ｉ

Ｉ）Ｉ可一Ｕ

ｂ

商有界．

证明

Ｉ厂（口）一厂（“）ｌ—ｆ扩一Ｕ２ｆ＝Ｊ口＋Ｕ甜Ｉ≤２（１

ａ

练习计算函数的差分差商，估计差商的绝对值的上界，难度不大，对进一步学微积分却很有帮助．

２

ｂ

换一个眼光看３个经典例子

不用极限，如何看待微积分的几个经典案

取Ｍ＝２（｜口ｌ＋Ｉ［ｎ，６］上差商有界．

例１．２

１），即知函数Ｙ＝３７２在

例呢？

例２．１

求ｉＹ＿ｉ涌数Ｙ＝√ｊ在区间［ｏ，１］上非

用Ｓ—Ｓ（￡）表示直线上运动物体在

差商有界，但对于任意的ａ＞０，它在［ｎ，＋∞］上差商有界．

证明

先用反证法证明其在区间［ｏ，１３上非

差商有界．若不然，有正数Ｍ，使得对［ｏ，１］上任

时刻ｔ所走过的路程，Ｖ＝Ｖ（￡）表示它在时刻ｔ的瞬时速度，则它在时间区间［“，ｖ］上的平均速度的大小，应当在［聪，ｕ］上的某两个时刻的瞬时速度之间．

也就是说，有［“，口］上的Ｐ和ｑ，使得下面的不等式成立：

意两点“＜口，总有不等式ｌ石一石ｌ≤Ｍ

Ｉ口一

“ｌ成立，也就是有１≤Ｍｌ√ｕ＋√“Ｉ成立，可见２Ｍ≥１．取“２

（图２）．

Ｊ，

ｏ，口５赤代入推出２≤１，矛盾・

’｜

ｖ（ｐ）≤坠韭垫立≤ｖ（口）（２．１）

Ｍ—Ｕ

上式可用语言表达为“函数Ｓ（ｔ）的差商是Ｖ（ｔ）的中间值”．

直线

Ｄ８的斜率为嘉，

疗

／ｙ＝损

要注意的是，尽管学生容易理解“平均速度的大小应当在某两个时刻的瞬时速度之间”，但要提炼出不等式（２．１）并不容易．从直观的表述得到数学的符号语言，对学生是很好的锻炼．

例２．２

１

工

只要ｒ充分接近于０，

直线ＯＢ可以很陡．

矿

”

『／

记函数Ｙ＝Ｆ（工）的曲线上在点ｚ

Ｄ

处的切线的斜率为ｋ（ｚ）．则过两点Ａ＝（“，Ｆ（“））和Ｂ＝（口，Ｆ（秽））的割线的斜率，应当在［“，可］上的某两个变量值对应的点处切线的斜率之间（图３）．

图２差商无界函数的例子

而当ａ＞０‘时在［口，＋ｏ。］上，由于

Ｉ譬Ｕｆ＿赤≤麦２河见它是差商栅

ｌ移一的．

√“＋√口

√口

‘＼。

．／。

Ｄ

几何上看，差商有界的函数，其曲线上任意两点所确定的直线的斜率的绝对值有界．也就是不能太陡．

多项式函数．三角函数。指数函数和对数函数。在有定义的闭区间上。总是差商有界的．两个差商有界函数的和。积，以及复合函数也是差商有界的．

显然有

定理１．２

名ｒ

一工

Ｕ

Ｐ

ｑ

１，

图３割线斜率在两切线斜率之间

也就是说，有［Ｍ，口］上的Ｐ和ｑ，使得下面的不等式成立：

，愚（声）≤—Ｆ（ｕ）－－—Ｆ（ｖ）≤是（ｑ）（２．２）

Ｍ一７２

如果函数Ｆ（ｘ）在区间［口，ｃ］上和

上式可用语言表达为“函数Ｆ（工）的差商是ｋ（ｘ）的中间值”．

上面两个例子，在数学上是一回事．但从平均

区Ｉ＇日ｑＥｃ。６］上都是差商有界的．则它在区间［ｎ，６］上也是差商有界的．反过来。若函数Ｆ（工）在区间

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３

速度和瞬时速度的问题中，更容易看出一个函数的差商是另一个函数的中值．

例２．３

考虑［ｎ，６］上的函数，（ｚ）的曲线和

ｚ轴之间的面积．若记［口，ｚ］上曲边梯形面积为Ｆ（ｚ）（如图４），则［“，ｕ］上这块面积为Ｆ（ｕ）一Ｆ（Ｍ）．如果把这块面积去高补低折合成长为口一甜的矩形，则矩形的高应当在［“，臼］上的某两个变量值对应的．厂（ｚ）的值之间（图５）．

图４［ｎ．工］上曲边梯形面积为Ｆ（工Ｊ

也就是说，有［让，口］上的Ｐ和ｑ，使得下面的不等式成立：

厂（户）≤垫三岩≤厂（ｑ）（２．３）

上式可用语言表达为“函数Ｆ（Ｘ）的差商是，（工）的中间值”．

注意，我们现在不知道曲边梯形面积的数学定义．但从几何直观上看，这面积应当存在，并且折合成长为ｖ一氍的矩形后，矩形的高应当在［越，础］上这段曲线的某两点高度之间（图５）．

图５矩形的高在［Ｈ。ｖ］上这段曲线的某两点高度之间

上面３个例子中，都涉及两个函数，其中一个函数的差商是另一个函数的中间值．

从这些例子中，提炼出一个问题，这是微积分的基本问题：

若ｆｉｘ）的差商是ｇ（ｘ）的中间值。知道了一个函数。如何求另一个？

这个问题解决了，求作曲线切线的问题，求瞬时速度问题，求曲边梯形面积问题就都解决了．

牛顿和莱布尼兹是天才，他们一下子就想到用无穷小或用极限来解决这些问题．无穷小也好，极限也好，都属于天才的思想，所以长时期内使普通人困惑．普通人的平常的推理，只能想到平常的不等式（２．１），（２．２）和（２．３）．对这些不等式，小学生都不会困惑．

问题在于，从这些不等式出发，不借助无穷小或极限概念，能得到问题的答案吗？

３

用平常的推理寻求答案

我们已经从３个经典问题中提炼出来一个数

学模型：若函数ｆ（ｘ）的差商是ｇ（工）的中间值。知道了一个函数，如何求另一个？

为了方便，引入

定义３．１

若在ｆ的任意闭子区间［“，ｕ］上，

函数厂（ｚ）的差商都是ｇ（ｚ）的中间值，则把厂（ｚ）

叫做ｇ（ｚ）在Ｉ上的甲函数，把ｇ（ｚ）叫做厂（ｚ）在Ｊ上的乙函数．

显然有

定理３．１

若ｇ（ｚ）是厂（ｚ）在［口，６］上的乙

函数，又是，（ｚ）在［６。ｃ］上的乙函数，则ｇ（工）是厂（ｚ）在ｋ，ｃ］上的乙函数．

丛幽尘总在丛生型和丛立型

这是因为，对于任意的“＜ｕ＜Ｗ，差商

Ｗ一越

Ｗ一可

可一”

之间的缘故．

学过一些微积分的读者心知肚明，，（ｚ）的乙函数似乎就应当是，（ｚ）的导数．但是，用甲乙函数之间的差商中值关系能求导数吗？

例３．１

函数ｇ（ｚ）＝２ｘ是厂（ｚ）＝Ｘ２的乙

函数．

事实上，对任意Ｕ＜口，厂（ｚ）＝ｚ２的差商为

』燮二』盟：芝二垡：＂＋砂（３．１）

翟一“

口一托

不等式ｇ（“）＝２ｕ≤甜＋口≤２ｖ＝ｇ（口）表明，ｇ（ｚ）＝２工是厂（ｚ）的乙函数．

例３．２函数ｇ（ｚ）＝３ｘ２是厂（ｚ）＝ｚ３的乙

函数．

这里有

』燮二丛生：芝二翌：“ｚ＋鲫＋可ｚ

Ｕ～“

Ｕ一“

（３．２）

当幻≥０时，甜２＋洳＋铆２显然在ｇ（簦）＝３“２和

４

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２００８年第４７卷第８期

ｇ（ｕ）＝３∥之间；这表明，在（一ｏ。，ｏ］和［ｏ，＋∞）上，ｇ（ｚ）＝，３ｘ２都是厂（ｚ）的乙函数．因此在（一ｏ。，＋ｏ。）上函数ｇ（工）＝３ｘ２是厂（ｚ）＝ｚ３的乙函数．

例３．３

对任意正整数ｎ，函数ｇ（工）＝７乞７Ｃｗ－１

是，（ｚ）一，的乙函数．

推导类似于上例，从略．例３．４

在（ｏ，＋ｏｏ）上，函数ｇ（工）２＿≠二ＶＺ

是，（ｚ）＝石的乙函数．

同样道理，对０＜札＜口有

趣型』必．－土（３．３）

铆一“

ｕ一“

√口＋√“

不等式ｇ＠）。￡焉≤ｚ舌焉≤ｉ杀２

２√ｖ

√“＋√ｕ

２√“

ｇ（“）表明，ｇ（ｚ）是厂（ｚ）的乙函数．

例３．５

在（ｏ，＋∞）和（～。。，ｏ）上，函数

ｇ（ｚ）：；是厂（ｚ）：土的乙函数．

此时

‘———————ｊｏ——一＝一＝一ｌ＾．Ｊ

土一土

』！里！二』！些！：！

兰：二』（３．４ｌ－）

不等式ｇ（“）＝字≤－－ｉ１≤－口。１＝ｇ（ｕ）表

明，ｇ（ｚ）是厂（ｚ）的乙函数．

例３．６

在（一ｏｏ，＋ｏｏ）上，函数ｇ（ｚ）＝

ＣＯＳＸ是，（ｚ）＝ｓｉｎｘ的乙函数．

只要对任意的整数押，证明在［等，鱼半］上

函数ｇ（ｚ）＝ＣＯＳＸ是厂（ｚ）＝ｓｉｎｘ的乙函数即可．

注意当０＜ｈ＜－兀６－时，有ｓｉｎｈ＜ｈ＜ｔａｎｈ，从

ｃｏｓｈ＜学＜１；于是对［等，型竽］上的

凡

Ｌ厶

厶

Ｊ

任意两点Ｕ＜口，有：

Ｓｌ口一。ｉ口一．

ｎｓＳｌｎｕ２ｉｎ（罕）ｃ。ｓ（宇）

、

Ｚ

，

、

Ｚ

，

≤ｃ。ｓ（字）

（３．５）

另一方面，有

——：———立——兰——『＿——！—ｊ坐＞

．

ｕｎｌｓ－ｖｎｌｓｓ２

ｉｎ（罕）ｃ。ｓ（字）、ｃ。ｓ（罕）ｃ。ｓ（宇）一—ＣＯＳＵＴ－＇１－一ＣＯＳ７３

ｃ３．６，

这表明，在［警，半］上ｃｏｓｚ鄹眦的

乙函数．从而要证的结论成立．

例３．７

在［ｏ，＋ｏｏ）上，函数ｇ（ｚ）＝下３４ｘ

是厂（ｚ）＝ｚ睾的乙函数．这个例子计算起来稍繁，但方法大体相同．对

』盟二』熊一！正∑二！巫∑一些±！±笾

口一Ｕ

（石）ｚ一（石）２石＋石

（３．７）

再根据０≤Ｕ＜ｕ和Ｕ≤￣／万≤ｕ估计出：

３石（石＋石）＝３（ｕ＋√面）≤２（ｕ＋ｖ＋

而）≤３（ｕ＋而）＝３石（五＋石）

从而得到警乎≤百ｕ－

＋ｖ＋４＇－石≤学，表明

（３．８）

√“十√秒

－

４ｘ是，（ｚ）＝ｚ号的乙函数．

例３．７值得注意：所得到的乙函数在包含０的区间有定义，但不是差商有界的．

’例３．８

探索问题，ｇ（ｚ）＝３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ是

２＋ｂｘ＋ｃ的乙函数呢？

如果对厂（ｚ）分项求乙函数再加起来确实得Ｄ—ｇ（“）一口２一Ｕ２＋ＵＶ—Ｕ２＋ａ（ｖ一“）＝

（３．９）

ｇ（口）一Ｄ＝口２一Ｕ２＋矿一ＵｒＯ＋ａ（ｖ一“）＝

（３．ｉ０）

因为（口一“）总是正数，故当３扰＋ａ≥０时，０≤“＜铆，先计算出

ｇ（ｚ）＝下３不是，（ｚ）＝ｚ３＋ａｘ到ｇ（ｚ）．但是现在还没有证明分项计算乙函数的法则，所以只能直接计算．先求出，（ｚ）在［“，钞］

上的差商，记做Ｄ：丛塑＿＝』堕：扩＋鲫＋“ｚ

＋ａ（“＋口）＋ｂ，考虑它和ｇ（“）以及ｇ（口）之差：

（口一扰）（口＋２“＋口）

（口一“）（２ｖ＋Ｕ＋盘）

（３．９）和（３．１０）都非负，即ｇ（Ｍ）≤Ｄ≤ｇ（可），说

明在ｌ一号，＋∞）上ｇ（ｚ）是厂（ｚ）的乙函数；当

３。＋口≤０时，（３．９）和（３．１０）都非正，即ｇ（ｕ）≤

Ｄ≤ｇ（“），说明在ｆ—ｏ。．一詈ｌ上ｇ（ｚ）也是

厂（ｚ）的乙函数．这肯定了在－－ｏ。，＋ｏｏ）上ｇ（ｚ）

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５

是，（ｚ）的乙函数．

上面求出来的乙函数和用取极限方法求出来的导数是一样的．普普通通的推理和天才巨匠的方法得到了相同的结论．奇怪的是，这样平常的推理，过去居然没人提到！。由定义直接推出：

定理３．２

（ｉ）函数ｇ（ｚ）＝０是常数函数

厂（ｚ）＝Ｃ的乙函数．

（ｉｉ）函数ｇ（ｚ）＝ｋ是一次函数厂（工）＝ｋｘ＋ｂ的乙函数．

（ｉｉｉ）若函数ｇ（ｚ）是厂（ｚ）的乙函数，则函数ｋｇ（ｚ）是ｋｆ（ｘ）＋ｃ的乙函数．

（ｉｖ）若函数ｇ（ｚ）是厂（ｚ）的乙函数，则函数ｋｇ（ｋ＋ｆ）是ｆ（ｋｘ＋ｃ）的乙函数．

乙函数还有什么用？

下面的定理说明，乙函数用处很大．

定理３．３

设在区间ｆ上函数ｇ（ｚ）是厂（ｚ）

的乙函数．在』的任意子区间［“，。］上，若ｇ（ｚ）为正则，（ｚ）递增；若ｇ（ｚ）为负则，（ｚ）递减；若ｇ（ｚ）为。则，（ｚ）为常数．

根据乙函数的定义就知道，这个命题显然成立．

上面诸例中得到的乙函数其实就是导数．在当前的高中教材中，根据导数正负判断函数增减是导数的最重要的应用，可是道理说不清楚．在大学里非数学专业的高等数学课程里，也只能讲一部分道理，不要求完全严谨证明．因为涉及实数理论，极限概念和连续性，完全说清楚至少要两周的课时．现在，平平常常的推理，就说清楚了．既直观又严谨．

．

由例３．８和定理３．３，三次函数单调区间的确定以及最大最小值问题就完全而严谨地解决了．新方法的好处露出了冰山一角．

４

导数概念

上面几个例子中找出来的乙函数，除了例

３．７，在有定义的闭区间上都是差商有界的．

差商有界的函数有何特色呢？

定理４．１（差商有界函数的局部保号性）设函数厂（ｚ）在区间ｊ上差商有界，且对任意实数Ａ和Ｕ∈ｊ有，（“）＞Ａ（或厂（“）＜Ａ），则有一个包含．“的开区问△，使对一切ｚ∈△ｎｆ都有，（ｚ）＞Ａ（或厂（ｚ）＜Ａ）．

证明

由，（ｚ）在区间Ｊ上差商有界，有正数

Ｍ使得对于任意ｚ∈Ｉ有ｆ厂（ｚ）－－ｆ（ｕ）Ｊ≤Ｍ

ｚ—

Ｕ

Ｉ，也就是

，（甜）＋Ｍｚ—Ｕ

ｌ≥厂（ｚ）≥厂（“）一Ｍ

ｚ—Ｕ华）时，就有

于是当Ｉ

Ｘ－－Ｕ

ｌ＜掣（或Ｉ（４．１）

ｚ一砧Ｉ＜

＜ｍ）＋Ｍ・掣＝Ａ）

弛）＞ｍ）－－Ｍ・掣一Ａ（或，（工）（４．２）

证毕．

保号性表明，差商有界函数在每个点处的函数值在某种意义上是有代表性的．它能代表附近一小片的函数值．这样具有保号性的函数在实际问题中才有意义，才不至于因为自变量的一点误差而引起函数值的大波动，不至产生。差之毫厘，谬之千里”的后果．

～般说来，具有保号性的函数叫做连续函数．连续函数是一类比差商有界函数更广泛的函数．上面提到的函数Ｙ＝，ｆｆ在［ｏ，１］上不是差商有界

的，但却是连续的．在中学如果讲连续函数，涉及更多的概念，增加了推理的难度．从应用范围和思想方法来看，差商有界的函数足够广泛也足够说明思路和方法的实质，但推理要干净利落得多．

进一步看，差商有界的乙函数有何特色呢？

定理４．２

若在Ｊ上厂（ｚ）是Ｆ（工）的乙函数，

且厂（ｚ）在Ｊ上差商有界，则有正数Ｍ使对ｆ上的任意两点Ｕ和Ｕ＋ｈ，和任意的ｓ∈Ｌｕ，Ｕ＋＾］（或ｓ∈［“＋ｈ，“］）有

Ｆ（ｕ＋＾）一Ｆ（“）一厂（ｓ）ｈｌ≤Ｍｈ２（４．３）

或等价地，ｈ≠０时有

Ｉ盟生型一厂（ｓ）ｌ≤Ｍ

ｈＩ。、～ｌ、＾Ｉ……

（４．４）

证明

由乙函数的意义，对ｆ上的任意两点

Ｕ和“＋ｈ，有Ｅｕ，Ｕ＋ｈｉ（或［“＋＾，“］）上的两点Ｐ和ｑ，使得

，（户）≤盟型掣≤厂（ｑ）（４．５）

将（４．５）的各项同减厂（ｓ）得

６

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，（户）一，（ｓ）≤堕型掣一，（，）≤

厂（ｑ）一，（５）

（４．６）

注意到Ｐ、ｑ和５都在越和玉＋ｈ之间，又因为厂（ｚ）在ｆ上差商有界，故有正数Ｍ使得

ｆＩ厂（ｑ）一厂（ｓ）Ｉ≤Ｍ

ｑ—ｓＩ≤Ｍｈ

ＩＩ厂（户）一厂（ｓ）Ｉ≤Ｍ

Ｐ—ｓ

Ｉ≤Ｍ

ｈ

’

（４．７）

结合（４．６）和（４．７）得到（４．４），去分母后得到（４．３）．而（４．３）当ｈ＝０时仍成立．证毕．

不等式（４．４）表明，当乙函数差商有界时，只要ｈ一口一Ｕ足够小，甲函数在［“，铆］上的差商和乙函数在［“，ｕ］上的函数值就能非常接近，要多么接近就可以多么接近．也就是说，当时间段足够小的时候，平均速度和瞬时速度的差可以要多么小就多么小．或者说，当函数的曲线上两点足够接近时，过两点的割线的斜率和其中一点处切线的斜率的差，可以要多么小就多么小．这在物理上和几何上都很合理，很符合直观的想象．

现在我们淡化甲函数乙函数这些临时性的语言，向传统的数学概念靠拢．

定义４．１（强可导的定义）

设函数Ｙ＝Ｆ（ｚ）

在Ｉ上有定义．如果存在一个定义在，上的函数厂（ｚ）和正数Ｍ，使得对Ｉ上的任意点ｚ和ｚ＋ｈ，

。

（这里ｈ可正可负）成立不等式

Ｆ（ｘ＋＾）一Ｆ（ｚ）一ｆ（ｘ）ｈｌ≤Ｍｈ

２

（４．８）

或等价的不等式

ｌ盟止螋一厂（“）Ｉ≤Ｍ

ｈＩ。一７＾ｌ、

ｌ……（４．９）

则称函数Ｙ—Ｆ（ｚ）在Ｊ上强可导，并称厂（ｚ）是Ｆ（ｚ）的导函数，简称为Ｆ（ｚ）的导数，记做Ｆ７（ｚ）

一，（工）或Ｙ７一，（ｚ），或筹＝厂（ｚ）．

由定理４．２和强可导的上述定义，立刻得到：推论４．１

若在Ｊ上，（ｚ）是Ｆ（ｚ）的乙函数，

且，（ｚ）在ｊ上差商有界，则Ｆ（ｚ）强可导，且其导数就是厂（ｚ）．

强可导函数是否可能有多于一个的导数呢？

定理４．３（强可导函数的导数唯一性）

若

Ｆ（ｚ）在工上强可导；厂（ｚ）和ｇ（ｚ）都是Ｆ（ｚ）的导数，则对一切ｚ∈Ｉ，，（ｚ）＝ｇ（ｚ）．

证明

用反证法．假设有Ｘ。∈ｆ，使得ｆ（ｘ。）

一ｇ（ｘｏ）＝ｄ≠０．

取＾使ｚ。＋＾∈Ｉ

Ｎ．Ｉ＾ｆ＜ｆ而ｄｌ，由Ｆ（ｚ）

强可导，有Ｍ＞０，使

ｌ＾Ｉ

Ｊ

ｆ些丛等！堕一厂（ｚ。）Ｉ≤Ｍｌｌ坠半竽立一ｇ（ｘｏ）ｌ≤Ｍ…

凡

（４．１０）

于是得

ｄ

Ｉ＝Ｉ＝Ｉ（坠型掣叫引）ｆ（ｘ。）一ｇ（ｘ。）Ｉ

≤Ｊ塾等半立．ｇ（ｐ一（坠出掣－ｆ（引）Ｊ

ｆ＋

ｌ坠立尘！堕一ｍ。）ｌｈ

。一一Ｉ

≤２Ｍ＜、Ｉ＾｜＜掣

（４．１１）

这推出２＜１，矛盾．证毕．

定理４．３告诉我们，一个函数的乙函数中，至多只有一个是差商有界的．它就是导数．直观上看，它就是例２．１中要求的瞬时速度，就是例２．２

中要求的切线的斜率．

５

导数计算初步

用强可导的定义来计算导数，和前面计算乙

函数的方法相比各有千秋．但用于探索计算的法则，有时更方便，规律性更强．

例５．１

验证函数厂（ｚ）＝ｚ３在任意区间［ｎ，

６］上强可导，且（ｚ３）７＝３ｘ２．

解

根据函数的差分计算结果得

ｆ（ｘ＋＾）一，（ｚ）一３２２＾ｌ—Ｉ

３：ｒｈ２＋＾３

Ｊ＝

３ｚ＋ｈ

Ｉ＾２≤３（Ｉ

ａ

Ｉ＋Ｉ

ｂ

Ｉ）＾２

（５．１）

取Ｍ＝３（１ａ

Ｉ＋Ｉｂ

１），由强可导定义，即得所

要结论．

例５．２

验证函数Ｆ（ｚ）＝三在任意不含０

的闭区间［口，ｂ３上强可导，且（三）７＝一ｚ１：．

解

计算函数的差分得到

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７

一当＋（当一志）

Ｆ（ｚ＋＾）一Ｆ（ｚ）一ｊ｛瓦一ｉ１一一ｉ石而ｈ

一～≯十１７一ｉ石ｊＦ万Ｊ

眠２，妯・纠

移项，并且设ｍ＝ｍｉｎ｛Ｉ

ａ

ｌ，Ｉ

ｂ

Ｉ｝，则有

ｋ工＋¨一心，一（一当）ｌ

一惨一未‰ｌ＝Ｉ≤‰ｌ≤箬眠３，

取Ｍ＝去，由强可导定义即得所要结论．

例５．３

验证函数Ｇ（ｚ）＝√ｚ在任意不含０

的闭区间［口，５３上强可导，且（在）７一之

２、ｊＩ

解

计算函数的差商和—毛的差，得到

Ｚ√ｚ

Ｉ——百＿一历Ｉ

Ｇ（ｘ＋＾）一Ｇ（ｚ）

—ｆＩ—Ｉ

１

！—ｌ：Ｉ！巫二正！ＪＶ互－－＋ｈ＋石２石｜．

一ｊ．ｆ

：＝＝

２石（ｖ互－－＋ｈ＋石）Ｉ—Ｉ石（厕＋扛）ｚ＝Ｉ丽２云％面Ｉ≤ｌ南８

１吨ｌ口石Ｉ

（５．４）

取Ｍ＝Ｉ五ｈ忑Ｉ，由强可导定义即得所要

结论．

例５．４

验证：（ｉ）厂（ｚ）一缸＋ｂ在任意区向

Ｉ上强可导，且

．－

（ａｘ＋６）７＝口

（５．５）

（ｉｉ）厂（ｚ）＝士”（，ｚ为正整数）在任意区间［口，６］上强可导，且

（，）７兰舡”１

（５．６）

解

（ｉ）由于ｌｆ（ｘ＋＾）一ｆ（ｘ）一ａｈＩ＝

ａ（ｚ＋＾）一∞一ａｈＩ＝０≤ｈ２，由定义可知厂（ｚ）＝缸＋ｂ强可导，且／（ｚ）＝ａ．

．

（ｉｉ）由于ｆ（ｘ＋＾）一，（ｚ）＝（ｚ＋＾）”一ｚ”＝

ｎ．Ｔ—ｈ＋∑Ｃ：ｘＨｈ‘，得

Ｊ厂（ｚ＋＾）一厂（ｚ）一，玎”１ｈＩ＝Ｉ∑曙’嘞‘Ｊ≤

２”（Ｉ口ｌ＋ｌ

ｂＩ）”２ｈ２

（５．７）

取Ｍ＝２“（１

ａ

Ｉ＋ｌ

ｂ

Ｉ）一，由定义可知，（ｚ）一

工“强可导，且ｆ７（ｚ）＝ｎＸ，ｒｅ－１．

由例５．４（ｉ）可以推出，常数函数是强可导的，其导数为０．

上面得到的结论和前面求乙函数所得可谓殊途同归．

下面对求导运算基本法则作初步探讨．

定理５．１

（求导运算的线性性质）若

Ｆ（ｚ）和Ｇ（ｚ）都在［ｎ，胡上强可导，，（ｚ）和ｇ（ｚ）分别是Ｆ（ｚ）和Ｇ（ｚ）的导数，则

（ｉ）对任意常数ｃ，ｏＦ（ｘ）在［口，６］上强可导，且其导数是ｃ，（ｚ）；

即

（ｏＦ（ｚ））７＝ｃＦ７（ｚ）

（５．８）

（ｉｉ）Ｆ（ｚ）＋Ｇ（ｚ）在［口，６］上强可导，且其导数为厂（ｚ）＋ｇ（ｚ）；即

（Ｆ（ｚ）＋Ｇ（ｚ））７一Ｆ７（ｚ）＋Ｇ７（ｚ）（５．９）

（ｉｉｉ）设ｃ≠。，则Ｆ（口＋们在［生≯，字］（或

［生≯，生≯］）上强可导，且其导数是ｃｆ（ｃｘ＋

ｄ）；即

（Ｆ（ｃｘ＋ｄ））７＝ｃＦ７（ｃｘ＋ｄ）

（５．１０）

证明

（ｉ）由Ｆ（ｚ）在［口，６］上强可导，，（ｚ）

是Ｆ（ｚ）的导数，有Ｍ＞０使

Ｆ（ｘ＋＾）一Ｆ（ｚ）一ｆ（ｘ）ｈＩ≤Ｍｈ２

于是得ｌｃＦ（ｚ＋＾）一ｃＦ（ｚ）一叮（ｚ）＾ｌ≤

ｃＭＩ＝Ｍ。ｈ２，这证明了所要结论．

（ｉｉ）由Ｆ（ｚ）和Ｇ（工）都在［口，６］上强可导，，（ｚ）和ｇ（ｚ）分别是Ｆ（ｚ）和Ｇ（ｚ）的导数，有

Ｍ＞０使

ｆ

Ｆ（ｘ＋＾）一Ｆ（ｚ）一ｆ（ｘ）ｈｌ≤Ｍｈ

２

Ｉ｜Ｇ（ｘ＋＾）一Ｇ（ｚ）一ｇ（ｘ）ｈＩ≤Ｍｈ

２

（５．１１）

立得ｌ（Ｆ（ｚ＋矗）＋Ｇ（ｚ＋＾））一（Ｆ（ｚ）＋

Ｇ（ｚ））一（，（ｚ）＋ｇ（ｚ））＾Ｉ≤２＾历２

（５．１２）

这证明了所要结论（这个法则如果用乙函数的办法推导可要辛苦多了，不信你试试）．

（ｉｉｉ）由Ｆ（ｚ）在［ｎ，６］上强可导，／（ｚ）是

Ｆ（ｚ）的导数，有Ｍ＞０使在［口，６］上有

Ｆ（ｘ＋＾）一Ｆ（ｚ）一厂（工）ｈｆ≤腑２

记

８

数学通报

２００８年

第４７卷第８期

ｆ

Ｕ＝ＣＸ＋ｄ

臆鬈羔羔。缸Ⅷ

Ｉｒ（ｚ）：ｃｆ（ｃｚ＋ｄ）

则当ｚ和ｚ＋＾在［ａ＿－－ｄ，字］（或

『ｂ－－＿＿＿Ａｄ，ａ－－ｄ１）上时，对应的“和口在［口，６］上．

Ｉ瓜一扭ｌ辫『≤墨：ｏ．００００２５．

２√４

ｌ、８×４×以

于是有

Ｊ（厂（“）一，（秽））＾Ｉ—ｆ（Ｆ（“）一Ｆ（口）一，（可）矗）＋（Ｆ（口）一Ｆ（“）一厂（ｕ）（一＾））Ｃ≤Ｉ（Ｆ（“）一Ｆ（口）一，（ｕ）＾）Ｉ＋Ｉ（Ｆ（材）一Ｆ（“）一，（口）（一＾））Ｉ≤２Ｍｈ

２

（６．２）

两端约去Ｉ

ｈ

Ｉ，即得所要的结论．

定理６．２（导数不变号则函数单调）

若

Ｆ（ｚ）在［口，６］上强可导，其导数，（ｚ）在［口，６］上恒非负，则Ｆ（ｚ）在［口，胡上单调不减；若，（ｚ）在［口，６］上恒非正，则Ｆ（ｚ）在［ｎ，６］上单调不增．

证明

设厂（ｚ）在［ｎ，６］上恒非负．用反证

法．设对于［口，６］上任意的Ｅｕ，Ｕ＋＾］（＾＞ｏ），有

Ｆ（Ｕ＋ｈ）一Ｆ（“）一ｄ＜０

（６．３）

Ｗ．整ｒｘ恕＞而２Ｍｈ

ｚ，将区间［“，越＋ｈ７等分为行

段，其中必有一段『－可，ｕ＋刍］使得

Ｆ（铷＋鲁）一ｍ）≤鲁＜０

（６．４）

因为厂（口）≥０，由强可导定义得：

引≤ｈ＋鲁）州ｕ，叫口，（鲁）ｌ≤

Ｍｆ鱼１‘

（６．５）

于是Ｉ

ｎｄ

ｌ＜Ｍｈ

ｚ，由，２＞罕并推出２＜１，

矛盾．这证明了Ｆ在［ｎ，６］上单调不减．

若厂（ｚ）在［口，６］上恒非正，则一，（ｚ）在［口，６］上恒非负，于是一Ｆ（ｚ）在［ｎ，６］上单调不减，从而Ｆ（ｚ）在［口，６］上单调不增．证毕．

定理６．３（估值定理）

若Ｆ（ｚ）在Ｉ上强可

导，其导数为，（ｚ）．则对ｆ上任意两点Ｕ＜口，总有［“，到］上的两点Ｐ和ｑ，使有

，（ｐ）（口一“）≤Ｆ（口）一Ｆ（“）≤厂（ｑ）（口一“）

（６．６）

证明

在［“，口］上构造一个函数

Ｇ（ｚ）一Ｆ（工）一！￡！竺！二￡！兰上蔓止．生

（６．７）

则有Ｇ（“）一Ｇ（口），并且Ｇ（ｚ）强可导，

Ｇ，（ｚ）：厂（ｚ）一—Ｆ（ｖ）－－—Ｆ（ｕ）（６．８）

若Ｇ７（ｚ）在［“，口］上不变号，由定理６．２知Ｇ（ｚ）单调，由Ｇ（“）＝Ｇ（可）推出Ｇ（ｚ）在［“，口］上

２００８年第４７卷第８期数学通报

９

为常数，从而恒有Ｇ７（ｚ）＝０，从（６．８）推出（６．６）；若Ｇ７（ｚ）在［甜，口］上变号，即有［“，ｕ］上的两点Ｐ和ｑ，使Ｇ７（户）＜０而Ｇ７（ｑ）＞０，从（６．８）也推出（６．６）．证毕．

综合定理６．３、定理６．１和推论４．１，得到我们所期待的预料中的结论：

定理６．４

函数Ｆ（士）在［口，６］上强可导且

之间的这片曲边梯形的代数面积．所谓代数面积，就是说，曲线在ｚ轴上方的部分面积为正，下方部分面积为负，正负相加得到的结果（图６）．

，

给了区间Ｉ上的函数ｆ（ｚ），对于Ｉ中任意两

点Ｕ＜ｕ，对应于厂（ｚ）在［“，口］上的曲边梯形的代数面积，可以看成二元函数Ｓ（ｕ，ｕ）的值．Ｓ（ｕ，ｕ）应当满足两个条件．一个条件是面积的可加性：［“，ｕ］上的面积加上［口，叫］上的面积，等于［“，ｗ３上的面积；第２个条件是，［“，ｕ］上的面积和区间［“，Ｄ］的长度之比，应当是厂（ｚ）在［“，ｕ］上的平均值．根据面积的这些直观的性质，抽象出下面的定义．

定义７．１（积分系统和定积分）

Ｆ７（ｚ）＝厂（ｚ）的充要条件，是Ｆ（工）在［口，６］上有差商有界的乙函数厂（ｚ）．

至此，在强可导的意义下，导数和乙函数的关系水落石出．这样，一方面把常常使人困惑的导数概念化为清清楚楚的乙函数概念，另一方面把找寻乙函数的计算化为比较简便的有章可循的导数计算：所有这一切，都绕过了极限和无穷小．

下面的推论都是显然的．

推论６．１【导数的正负和函数增减性的关

系）

设厂（ｚ）在

区间，上有定义；如果有一个二元函数Ｓ（“，训）（Ｍ∈Ｉ，口∈Ｊ），满足

（ｉ）可加性：对Ｊ上任意的Ｕ，ｕ，Ｗ有Ｓ（“，到）＋

Ｓ（可，叫）三Ｓ（“，硼）；

若函数Ｆ在［ｎ，６］上强可导，Ｆ７（ｚ）一

厂（ｚ），则

（１）若厂（ｚ）在［ｎ，６］上恒非负（正），且不在［口，６］的任何子区间上恒等于０，则Ｆ（ｚ）在［口，６］上严格递增（减）；

（．２）若厂（ｚ）在［口，６］上恒为０，则Ｆ（ｚ）在［口，６］上为常数．

推论６．２数）

（ｉｉ）中值性：对ｆ上任意的“＜可，在［甜，ｕ］上必有两点Ｐ和ｑ使得，（户）（口～“）≤Ｓ（ｕ，ｕ）≤，（ｇ）（口一“）；

则称Ｓ（ｕ，ｕ）是厂（ｚ）在Ｊ上的一个积分系统．

如果，（ｚ）在，上有唯一的积分系统Ｓ（“，口），

（导数相等的函数仅相差一常

则称厂（ｚ）在（Ｊ的子区间）［“，可］上可积，并称数值Ｓ（ｕ，口）是，（ｚ）在［“，可］上的定积分，记作

广口

若Ｆ（ｚ）和Ｇ（ｚ）都在［ｎ，胡上强可导，

Ｆ（ｚ）和Ｇ（ｚ）的导数都是．厂（ｚ），则（Ｆ（ｚ）一Ｇ（ｚ））在［口，６］上为常数．

推论６．３

Ｓ（ｕ，口）一Ｉ厂（ｚ）ｄｘ．表达式中的厂（ｚ）叫做被积

Ｊ“

若Ｆ（ｚｌ在［口，６］上强可导且

函数，ｚ叫做积分变量，“和ｕ分别叫做积分的下限和上限。用不同于Ｕ，可的其他字母（如￡）来代替ｚ时，Ｓ（ｕ，钉）数值不变．

根据定义直接验证，可得下面的定理．

定理７．１

Ｆ（口）＝Ｆ（６），Ｆ７（ｚ）＝，（ｚ）．若Ｆ（ｚ）在［口，６］上不是常数，则必有Ｐ∈［口，ｂ３和ｑ∈［口，６］，使得，（户）＜０＜，（ｑ）．

７

设Ｓ（“，口）是，（ｚ）在Ｉ上的一个

定积分和微积分基本定理

直观地说，函数厂（ｚ）在区间［“，口］上的定积

积分系统，ｃ是ｆ上的一个点，令Ｆ（ｚ）一Ｓ（ｃ，ｚ），则在Ｊ上，（ｚ）是Ｆ（ｚ）的乙函数；反过来，若在ｊ上厂（ｚ）是Ｆ（ｚ）的乙函数，令Ｓ（ｕ，口）＝Ｆ（ｕ）一Ｆ（“），则Ｓ（ｕ，口）是，（ｚ）在Ｊ上的一个积分系统．

现在可以轻松地得到一个重要的结论了．定理７．２（微积分基本定理）

设Ｆ（ｚ）在工上

分，就是，（ｚ）在［“，秽］上的这段函数曲线和ｚ轴

ｙ

‘

Ｄ

＋弧ｙ＝ｆ酝射’≯坳

｜

图６

ｌ

、一ｘ

强可导，Ｆ７（ｚ）＝厂（ｚ）．令Ｓ（ｕ，ｕ）＝Ｆ（铆）一Ｆ（“），则Ｓ（Ｕ，口）是厂（ｚ）在工上的唯一积分系统，从而有

曲边梯形的代数面积

（下转第１２页）

１２

数学通报２００８年第４７卷第８期

乙

读者不妨根据上述囚徒困境的方法，试一试，

请金发女郎

请其他女士

得出自己的结论．

请金发女郎

０，０

２．１田

请其他女士

１。２

ｌ。１

（上接第９页）

Ｊ－ｉｆ（ｚ）ｄｚ—Ｆ（ｕ）一Ｆ（“）

（７．１）

学中长期未能解决的难题．

但愿本文的方法能够化解这个难题．这不仅等式（７．１）就是著名的牛顿一莱布尼兹

是数学问题，更是教学实践才能作出最终回答的公式．

’问题．

证明

由定理６．４，Ｆ７（ｚ）＝厂（ｚ）是Ｆ（工）

采用强可导的概念，还有不少事情要做．例如的乙函数．由定理７．１推出Ｓ（Ｕ，口）一Ｆ（＂）一对数函数和指数函数的求导方法，求导法则的推Ｆ（越）是厂（ｚ）在Ｊ上的积分系统．

导方法，泰劳公式的推导方法等等．这些虽然已经下面证明Ｓ（ｕ，ｕ）是．厂（ｚ）在Ｊ上的唯一积分

超出现行课程标准的范围，但毕竟是教师应当了系统．

・

解的．限于篇幅，这里不再展开．如果将文中差商设Ｒ（ｕ，口）也是厂（ｚ）在ｆ上的积分系统．取ｆ有界的条件降低为一致连续，用非常类似的方法上任一定点ｃ，令Ｇ（ｚ）一Ｒ（ｃ，ｚ），则由定理７．１，可以证明文中所有结果的类似命题．可参看［７，８，在ｆ上厂（ｚ）是Ｇ（ｚ）的乙函数；又由定理６．４可知９，１０３．

，（ｚ）在工上差商有界，于是仍由定理６．４（或推论当然，极限毕竟是要学的．学了些微积分的基４．１）推出Ｇ（ｚ）在Ｊ上强可导，且Ｇ７（ｚ）一厂（ｚ）．

础知识再学极限，也许更容易理解．因为例子更丰由推论６．２，在ｆ上Ｆ（“）一Ｇ（“）＝Ｆ（ｕ）一富，更现成了．

Ｇ（口）为常数，故有

微积分入门教学难是被广泛关注的问题．愿Ｒ（“，秽）＝Ｇ（口）一Ｇ（“）一Ｆ（口）一Ｆ（“）＝本文的方案能起到抛砖引玉的作用．欢迎大家批Ｓ（“，可）

评指正．

这证明了Ｓ（ｕ，ｕ）是．厂（ｚ）在Ｉ上的唯一积分系统，由定义知道定积分记号合理，从而由Ｓ（ｕ，参考文献

口）＝Ｆ（口）一Ｆ（“）得等式（７．１），证毕．

１

Ｊ．Ｃ．Ｓｐａｒｋｓ．ＣａｌｃｕｌＵＳＷｉｔｈｏｕｔＬｉｍｉｔ．Ａｕｔｈｏｒ

Ｈｏｔｌｓｅ，２００５

实际上，微积分基本定理从一开始就蕴含在２张景中，曹培生．从数学教育到教育数学．成都：四川教育出

“Ｆ（ｚ）的差商是厂（ｚ）的中值”这个基本思路之版社，１９８９年７月第一版；台北：台湾九章出版社，１９９６年９月；北京：中国少年儿童出版社，２００５年１月

中．也就是说，甲函数和乙函数的概念，实质上就３林群．数学也能看图识字．光明日报，１９９７年６月２７日（４），

已经给出了牛顿一莱布尼兹公式．本节的定义和人民日报，１９９７年８月６日（４）

推导，不过是数学形式的严谨化而已．

４林群．画中漫游微积分．南宁：广西师范大学出版社，１９９９８

结束语

５林群．微分方程与三角测量．北京：清华大学出版社，２００５年

至此，我们完全不用极限而建立了微积分的

４月

６林群．ＡＲｉｇｏｒｏｕｓ

Ｃａｌｃｕｌｕｓｔｏ

ＡｖｏｉｄＮｏｔｉｏｎｓａｎｄＰｒｏｏｆｓ．Ｓｉｎ—

框架．所有的定义和推理过程都是初等而严谨的．

ｇａｐｏｒｅ，ＷｏｒｌｄＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃ

Ｐｒｅｓｓ，２００６

，

在高中数学课程中，要求学生会用微积分方７张景中．微积分学的初等化．华中师范大学学报（自然科学

法解决一些实际问题．这些应用的理论依据主要版），２００６年１２月，４７５～４８４

是两条，一条是导数正则函数增，一条是微积分基８张景中．把高等数学变得更容易一谈微积分的初等化．大学

本定理．这两条在现在的高中教材中都是不能证数学课程报告论坛２００６论文集．２００７年６月，１３～２３

明的，甚至在大学里非数学专业的高等数学教材９张景中．把高等数学变得更容易．高等数学研究，１０卷６期

（总１２２）．２００７—１２月，２～７

中也是不要求完整证明的．对如此重要的定理学ｌｏ张景中．定积分的公理化定义方法．广州大学学报，２００７

生只能知其然而不知其所以然，这是高等数学教

（第６期）一１２月。ｌ～５