高二立体几何向量法
一: 空间直角坐标系 学习目标
1.了解空间直角坐标系的建系方式. 2.掌握空间中任意一点的表示方法. 3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 4.掌握空间两点间的距离公式 一、知识梳理
1. 如图,OABC —D′A′B′C′是单位正方体. 以O 为原点,分别以射线OA ,OC ,OD′的方向为正方向,以线段OA ,OC ,OD′的长为单位长,建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴. 这时我们说建立了一个__________O—xyz ,其中点O 叫做__________,x 轴、y 轴、z 轴叫做__________.通过每两个坐标轴的平面叫做__________,分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.
2. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为________,如无特别说明,本书建立的坐标系都是_______. 3. 空间一点M 的坐标可以用_____________来表示,_________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作__________,其中_________叫做点M 的横坐标,__________叫做点M 的纵坐标,__________叫做点M 的竖坐标. 4. 在空间直角坐标系中,怎样确定空间一点P 的坐标?确定P 点坐标(如下图) 需要分三步完成: (1)过点P 作面xOy 的垂线,垂足为Q ;
(2)在面xOy 内过点Q 分别作x 轴,y 轴的垂线确定点P 的横、纵坐标; (3)过点P 作平行于OQ 的直线确定点P 的竖坐标.
5.特殊位置点的坐标的特征.
x 轴上的点的坐标为 ,其中x 为任意实数;y 轴上的点的坐标为 ,其中y 为任意实数;z 轴上的点的坐标为 ,其中z 为任意实数;xOy 平面上的点的坐标为 ,其中x ,y 为任意实数;xOz 平面上的点的坐标为 ,其中x ,z 为任意实数;yOz 平面上的点的坐标为 , 其中y ,z 为任意实数.
6. 空间中两点P 1(x1,y 1,z 1) 、P 2(x2,y 2,z 2) 之间的距离|P1P 2|=____________.
7. 空间中点坐标公式连接空间两点P 1(x 1, y 1, z 1) 、P 2(x 2, y 2, z 2) 的线段PP 12的中点M 的坐标为二、基础练习
1.在空间直角坐标系中,在x 轴上的点的坐标可记为( )
A .(0,b, 0) B .(a, 0,0) C.(0,0,c ) D.(0,b ,c ) 2.点(0,2,3)位于( )
A .y 轴上 B.x 轴上 C.xOz 平面内 D.yOz 平面内
3.空间直角坐标系中,点P (1,2,3) 关于x 轴对称的点的坐标是
(A ) (-1,2,3) (B ) (1,-2, -3) (C ) (-1, -2,3) (D ) (-1,2, -3)
4.空间直角坐标系中,P (3,5,1),Q (-3, -5, -1) 两点的位置关系是 (A ) 关于x 轴对称(B ) 关于yOz 平面对称 (C ) 关于坐标原点对称 (D ) 以上都不对 5.动点P (x , y , z ) 的坐标始终满足y =3,则动点P 的轨迹为
(A ) y 轴上一点 (B ) 坐标平面xOz (C ) 与坐标平面xOz 平行的一个平面 (D ) 平行于y 轴的一条直线 6.空间中过点A (-2,1,3) ,且与xOy 坐标平面垂直的直线上点的坐标满足 ( ) (A ) x =-2 (B ) y =1 (C ) x =-2或 y =1 (D ) x =-2且 y =1 7.点(2,-3,6) 在x 轴、y 轴上的射影的坐标分别是 、 .
8.在空间直角坐标系O -xyz 中,点P (2,3,4)在平面xOy 内的射影的坐标是______,在平面yOz 内的射影坐标是_______.
例1、(1)画一个正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,以A 为坐标原点,以棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标; (2)求棱C 1C 中点的坐标;
(3)求面AA 1B 1B 对角线交点的坐标.
(2)已知在棱长全为2a 的四棱锥P -ABCD 中,底面为正方形,顶点在底面的射影为底面的中心.
建立恰当的空间直角坐标系. (1)写出该四棱锥P -ABCD 各顶点的坐标; (2)写出棱PB 的中点M 的坐标.
例2、如图正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直. 点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM=BN=a(0<a <2). (1)求MN 的长;
(2)当a 为何值时,MN 的长最小.
【训练内化】
1、点(2,3,4)关于xoz 平面的对称点为()
A 、(2,3,-4) B 、(-2,3,4) C 、(2,-3,4) D 、(-2,-3,4) 2、点P (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A .y 轴上 B .xOy 平面上 C .xOz 平面上 D .x 轴上
3、以正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系,且正方体的棱长为一个单位长度,则棱CC 1中点坐标为() A 、(
11111
,1,1) B 、(1,,1) C 、(1,1,) D 、(,,1) 22222
,-到原点的距离是( ) 236
4、点P (A.
33 B .1 C. 6665、点M (4,-3,5) 到x 轴的距离为( )
A .4 34 C .52
D. 41
6、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,若D (0,0,0),A (4,0,0),B (4,2,0),A 1(4,0,3),则对角线AC 1的长为( )
C .5
D .26
7、已知A(x , 5-x , 2x -1) 、B (1,x +2,2-x ),当|AB|取最小值时x 的值为_______________. 8、已知点A(-2, 3, 4), 在y 轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B 的坐标为________________.
1
9、 如图,在长方体OABC -D ′A ′B ′C ′中,|OA |=1,|OC |=3,|OD ′|=2,点E 在线段AO 的延长线上,且|OE |=,写出
2
B ′,C ,E 的坐标.
-1,-9) ,B (-101,,-6) ,C (-2,-4,-3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形. 10、求证:以A (-4,
11、如图所示,BC =4,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标为(∠DCB =30°,求AD 的长度.
空间直角坐标系及在立体几何中的应用 (2)
二: 空间向量及其坐标运算
基础知识
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量:在空间中,具有______和______的量叫做空间向量. (2)相等向量:方向______且模______的向量. (3)共线向量定理
对空间任意两个向量a ,b (b ≠0) ,a ∥b 的充要条件是____ 2. 数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→→
已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作OA =a ,OB =b ,则________叫做向量a 与b 的夹角,记作________,
π
其范围是________________,若〈a ,b 〉=a 与b ______________,记作a ⊥b .
2
②两向量的数量积
已知两个非零向量a ,b ,则______________________叫做向量a ,b 的数量积,记
作________,即______________________________.
3.空间向量的坐标表示及应用 (1)坐标运算
31
,,0) ,点D 在平面yOz 上,且∠BDC =90°,22
若a =(a 1,a 2,a 3) ,b =(b 1,b 2,b 3) ,A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2) 则
(1)、AB = 。
(2)、a +b = a -b = λb =;a·b =____________________.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a =(a 1,a 2,a 3) ,b =(b 1,b 2,b 3) ,
则a ∥b (b ≠0) ⇔____________⇔________,__________,________________, a ⊥b ⇔________⇔_________________________________ (a ,b 均为非零向量) . (3)模、夹角和距离公式
设a =(a 1,a 2,a 3) ,b =(b 1,b 2,b 3) , 则|a |=a·a =_____________________________________________________________,
a·b
cos 〈a ,b 〉==_________________________________________________________ .
|a||b|
4、引入两个重要空间向量
(1). 直线的方向向量: 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 如图1, 在空间直角坐标系中, 由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB 的方向向量是
AB =(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) (2). 平面的法向量
如果表示向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α, 称这个向量垂直于平面α, 记作n ⊥α, 这时向量n 叫做平面α的
法向量
如何求平面的法向量
1. 在空间直角坐标系中, 如何求平面法向量的坐标呢? 如图, 设a =( x1,y1,z1)、b =(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量, 由直线与平面垂直的判定定理知, 若n ⊥a 且n ⊥b, 则n ⊥α. 换句话说, 若n ·a = 0且n ·b = 0, 则n ⊥ α
2. 求平面的法向量的坐标的步骤:
第一步(设) :设出平面法向量的坐标为n =(x,y,z).在平面中找两个不共线向量a =( x1,y1,z1)、b =(x2,y2,z2) 第二步(列):根据n ·a = 0且n ·b = 0可列出方程组
⎧x 1x +y 1y +z 1z =0第三步(解):把z 看作常数, 用z 表示x 、y. ⎨
第四步(取):取z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好), 便得到平面法向量n 的坐标. ⎩x 2x +y 2y +z 2z =0例1在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是面AC 的中心, 求面OA 1D 1的法向量
练习:在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1, D 1 中,E,F 分别为棱AB,BC 的中点,试在棱BB 上找一点M, 使得D 1M ⊥平面EFB 1
例2、已知A (3,-2,1), B (1,1,1),O 为坐标原点,
(1)写出一个非零向量c ,使得c ⊥平面AOB ; (2)求线段AB 中点M 及∆AOB 的重心G 的坐标;
例3、正三棱柱A —C 1,底面边长AB =2,AB 1⊥BC 1,点O 、O 1分别是AC 、A 1C 1的中点,建立如图所示空间直角坐
标系。
(1)求侧棱长;
(2)求异面直线AB 1、BC 所成角。
三: 立体几何中的向量方法
1. 判定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系
不重合的两条直线a,b 的方向向量分别为a ,b. ①若a ∥b , 即a=λb , 则a ∥b. ②若a ⊥b , 即a ·b = 0, 则a ⊥b
a
b
(2)直线与平面的位置关系
直线L 的方向向量为a , 平面α的法向量为n , 且L 不在α. 内
①若a ∥n , 即a =λn , 则 L⊥ α ②若a ⊥n , 即a ·n = 0, 则a ∥ α.
例4. 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1, ,D,E 分别是AC,CC 1的中点, 求证: (I)A1E ⊥平面DBC 1; (II)AB1 ∥ 平面DBC 1
练习:1、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E , F 分别是BB 1, CD 的中点,求证D 1F ⊥平面ADE .
2、两个边长为1的正方形ABCD 与正方形ABEF 相交与AB, ∠EBC =900.M,N 分别为BD,AE 上的点,且AN=DM,(1)求证:MN//平面EBC; (2)求MN 长度的最小值
(3)平面与平面的位置关系
平面α的法向量为n 1 ,平面β的法向量为n 2 ①若n1∥n2, 即n1=λn2, 则α∥β ②若n1⊥n2, 即n1 ·n2= 0, 则α⊥β
例5. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点, 求证:面AED ⊥面A 1FD
2. 求空间中的角
(1)两异面直线的夹角:
利用向量法求两异面直线所成的夹角, 不用再把这两条异面直线平移, 求出两条异面直线的方向向量, 则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补, 我们仅取锐角或直角就行了 异面直线AB , CD 所成的角θ(范围: 0
π
2
A B
)
AB ∙CD
cos θ=cos =
AB . CD
例6. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点, 则对角线DB 1与CM 所成角的余弦值为_____.
练习:在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1=AB=AC,AB ⊥AC,M 为CC 1的中点,Q 为BC 的中点,点P 在A 1B 1上,求直线PQ 与直线AM 所成的角
(2)线面角θ(范围:0≤θ≤
π
2
)
,n i s θ=c o s =
θ=
π
-2
θ=-
π
2
例7. 正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a,
2a ,求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角
练习:1:正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是AB,C 1D 1的中点,求A 1B 1与平面A 1EF 所成的角 2、(2007全国1)四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD
,已知∠ABC =45︒,AB =2
,
BC =SA =SB = (Ⅰ)证明:SA ⊥BC ;
(Ⅱ)求直线SD 与平面SBC 所成角的大小。
(3)二面角θ(范围:0≤θ≤π)
n , n >θ=π-
n 1∙n 2
cos θ=- n 1⋅n 2
D
n 1∙n 2
cos θ=n 1⋅n 2
12>
例8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=1,AD=DC=. 在线段A 1C 上有一点Q ,且C 1Q =所成锐二面角的大小.
1
C 1A 1,求平面QDC 与平面A 1DC 3
练习、1(2008全国1)四棱锥A -BCDE 中,底面BCDE 为矩形,侧面ABC ⊥底面BCDE ,BC =
2,CD =AB =AC .
(Ⅰ)证明:AD ⊥CE ;
A C -AD -E 的大小. (Ⅱ)设侧面ABC 为等边三角形,求二面角
E
D 2、(2009陕西)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ∠ABC=60.
(1)证明:AB ⊥AC ;1(2)求二面角A —AC 1—B 的大小。
3. 求解空间中的距离
点到平面的距离在平面α上任取点B
AB=1
,AC =AA 1=
cos θ
=cos =
d =cos θ==
例9、在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1∠
ACB=90°, 求B 1到面A 1BC 的距离. 2
练习:在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,CC 1=2,求证:(1)平面A 1BC
1和平面ABD 1 的距离 (2)求B 1到平面A 1BC 1 的距离
【训练内化】
1、在三棱锥P —OCB 中,PO ⊥平面OCB,OB ⊥OC ,OB=OC=2,PC=4,D 为PC 的中点,求OD 与平面PBC 所成的角
2、如图,四棱锥S -ABCD 中,AB //CD , BC ⊥CD ,侧面SAB 为等边三角形,
D
AB =BC =2, CD =SD =1. (1)证明:SD ⊥平面SAB (2)求AB 与平面SBC
所成的角
3.如图,四棱锥P -ABCD ,PA ⊥底面ABCD ,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB =AD =
=2,PA =2,E ,F 分别是PC ,PD 的中点.
(Ⅰ) 证明:EF ∥平面PAB ;
(Ⅱ) 求直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值.
A
(第3题图)
C
C
B
1CD 2
4. 如图,在平面四边形ABCD 中,已知∠A =45 , ∠C =90 , ∠ADC =105 , AB =BD , 现将四边形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC ,设点F 为棱AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ;
(2)求直线BF 与平面ACD 所成角的余弦值.
A
F
A
D
C
B D
C
B