半正定二次型及半正定矩阵
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半正定二次型及半正定矩阵
张淑娜
（通化师范学院数学系，吉林通化+*
摘
要：从半正定二次型的定义出发，推导出与其定义等价的几个条件；并且根据半正定矩阵的定义，推导出半正
定矩阵的若干性质’
关键词：半正定二次型，二次型，半正定矩阵中图分类号：-+
文献标识码：（!))*）1文章编号：+))=>?@?
半正定二次型是比正定二次型的条件减弱的又一类特殊的二次型。本文根据半正定二次型的定义，给出其等价定义及理论证明。同时，考察与半正定二次型一一对应的半正定矩阵，给出半正定矩阵的若干性质A通过本文不但可以更好地理解半正定二次型与半正定矩阵，而且也有助于对正定二次型及正定矩阵的理解A
+半正定二次型
对于实二次型（…，其中’是实对称矩阵，下列条件等价：!
（+）（…，是半正定的；!
)+
(&’($
)!
，其中)*$)，…，*$+，!，##)#
定理
（
二次型（…，可以化成其!
!!标准形)+,!因已知原二次型为半正定的，所以标准形的二次型也必为半正定+-)!,!-…-)#,#，的，因而有)*$)，…，使得*$+，!，#.即存在可逆的实阵(，
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作者简介：张淑娜（+@##>），女，通化师范学院数学系副教授’
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其中!
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，
#
其中!
其中!
正定性不变，所以原二次型为半正定的$
（
充分性
’
已知(#&’&，那么对任意的+#（,
##’’
（&+）（，令&+#-#（)
必要性.’
已知（
’
!
[/0].!!
#
[
/0!
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][
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]
其中0#秩（(），令&#.，
[
/0!
!!
].，
则有(#&’&%
（
必要性
已知二次型（…，设(2是(的任一2阶主子式，即1,
3
(2#
3
3
…
…
3
，
其中2#
对,
（8
$$即(的所有主子式全大于或等于零$
充分性由必要性的证明可知充分性显然成立$
（
对$元实二次型（…，可以找到一个正交变换+#9-，将其化为1,
##
平方和$即（…，其中!
综上，（
#半正定矩阵的性质
命题
若(是半正定矩阵，则对任意的非负实数2，2(也是半正定矩阵$
设（…，因为(是半正定的，所以对任意的$维实向量+$!，都有1,
若2!!，则有+’（2(）故2(也是半正定的$+’(+!!，+#（2+’(+）!!，
命题#若(，则(*:也为半正定矩阵$:为半正定矩阵，
・
因!，故#$!#，于是#$（!%
故!%
命题
故命题
命题#若!是半正定矩阵，则对于任意的)&$*，*
因为!为半正定的，且)&$*，*
$*
而!*为实矩阵，则由定理可知!)为半正定的!那么!)&!*!*&（!*）!，
命题&半正定矩阵的主子式皆大于或者等于零!证明证明见定理命题’
半正定矩阵的主对角线上的元素都大于或者等于零!
,(,$
恒有因为若!是半正定矩阵，于是对任意的实数域上的#&#%，
,-
--
证明
证明
证明
（…，.,(，,$，,-）&#$!#&
其中1（1/0,/,0!%，0&/0/，$$/&(0&(
…，为!的元素，令#/&(，$，-）
（%，…，…，即#/为第/个分量为(，其余的分量为%的向量，…，那么#$/!#/&%，(，%，%）$，/&(，$，-，
…，证毕!1//!%，/&(，$，-，
参考文献：
［(］北京大学数学系几何与代数教研室小组)高等代数［*］高等教育出版社，!北京：(+++)［$］俞正光等!线性代数与解析几何［*］清华大学出版社，!北京：(++,!［
［#］张淑娜等!正定二次型的几个等价条件以及正定矩阵的若干性质［*］（&）!通化师范学院学报!$%%%!
（责任编辑：景贸）
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半正定二次型及半正定矩阵
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
张淑娜
通化师范学院数学系,吉林通化,134002通化师范学院学报
JOURNAL OF TONGHUA TEACHERS COLLEGE2003，24(6)1次
参考文献(4条)
1.北京大学数学系几何与代数教研室室代数小组 高等代数 19992.俞正光 线性代数与解析几何 1998
3.西北工业大学应用数学系线性代数教学组 线性代数 1999
4.张淑娜 正定二次型的几个等价条件以及正定矩阵的若干性质 2000(05)
相似文献(4条)
1.期刊论文 王继成 半正定二次型的性质及应用 -绥化师专学报2004,24(2)
本文在正定二次型的基础上定义了半正定二次型,并给出了半正定二次型的一些性质及其证明,最后用半正定二次型的有关知识解决了一类初等数学问题--不等式证明.
2.期刊论文 李晓萍 二次型的性质在初等数学中的应用 -通化师范学院学报2001,22(5)
本文应用二次型的性质解决了一些不等式的证明、求极值、因式分解的初等数学问题.
3.期刊论文 贾璐 一类不等式的证明 -高师理科学刊2002,22(3)
利用多元函数的极大值,极小值及正定或负定二次型理论给出了一类广泛的不等式.
4.期刊论文 刘万霞 二次型的有定性 -内蒙古电大学刊2008,
讨论了二次型的有定性,并进一步给出判断二次型为半正定二次型的几个充要条件.
引证文献(1条)
1.王双进.冯磊.黄贤军.何文辰 用二次型的正定性判断晶体相稳定性[期刊论文]-河北工业大学学报2007(1)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_thsfxyxb200306004.aspx
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