北京大学量子力学期末试题

量 子 力 学 习 题

（三年级用）

北京大学物理学院

二OO三年

第一章 绪论

1、计算下列情况的de

Broglie波长，指出那种情况要用量子力学处理：

（1）能量为0.025eV的慢中子



n

1.671024克；被铀吸收； 6.641024克；



（2）能量为5MeV的a粒子穿过原子a

（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

3、利用de可能值。

Broglie关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量

第二章 波函数与波动力学

1、设

x

1

a2x2Ae2

a为常数

（1）求归一化常数 （2）x

?,px?.

1ikr1ikr

2、求1e和2e的几率流密度。

rr

3、若

AekxBekx,求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结



论？（其中k为实数）

4、一维运动的粒子处于

Axex

x

0

x0x0

的状态，其中0,求归一化系数A和粒子动量的几率分布函数。

5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证

0

其中

j/

6、一维自由运动粒子，在t0时，波函数为 x,0x

求：

(x,t)?

2

第三章 一维定态问题

1、粒子处于位场

0V

V0

2、一粒子在一维势场

x0x0

V00

中，求：E＞V0时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）

V(x)

中运动。

0

x00xa x0

（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于n(x)态，证明：a/2,

xx

2

a26122. 12n

3、若在x轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为

如

CS11AS12DBS21AS22D

这即“出射”波和“入射”波之间的关系，

S11

证明：S21

22

S12S22

22

11

S11S12S21S220

这表明S是么正矩阵

4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数

VX0

V0

5、求粒子在下列位场中运动的能级

x00xa xa



VX122

x2

6、粒子以动能E入射，受到双势垒作用

x0x0

VxV0(x)(xa)

求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。

7、质量为m的粒子处于一维谐振子势场V1(x)的基态，

V1(x)

12kx2

k0

（1）若弹性系数k突然变为2k，即势场变为

V2(X)kx2

随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场V2基态几率；

（2）势场V1突然变成V2后，不进行测量，经过一段时间后，势场又恢复成V1，问取什么值时，粒子仍恢复到原来V1场的基态。

8、设一维谐振子处于基态，求它的x

2

,p2x，并验证测不准关系。

第四章 量子力学中的力学量

122

pxp2p1、 若HyzV(x,y,z) 2

证明：[H,Px]



i

V, xpx

, 

[H,x]i

2、设

q,pi,f(q)是q的可微函数，证明

2

q,pf(q)2ihpf,



（2）p,pf(q)pf;

i

（1）

2

2

3、证明

ˆ,[Bˆ]][Bˆ,Aˆ]][Cˆ,[Aˆ,Bˆ,Cˆ,[Cˆ]]0 [A

ˆ,Bˆ是厄密算符 4、如果，A（1）证明



n

ˆˆ,BˆˆAB,iA

是厄密算符；

ˆBˆ是厄密算符的条件。 （2）求出A

5、证明：

ˆˆeLˆ1Lˆ,1Lˆˆ,Aˆ,Lˆ,Aˆ,Lˆ,Lˆ,AeLAAL

2!3!ˆ,Bˆ都对易，证明 6、如果A,B与它们的对易子A

ˆB1Aˆ,BˆAˆAB2eee



ˆ

ˆ





ˆ

（提示，考虑f()

eAeBeAB,证明

ˆ

df

A,Bf然后积分） d

ˆ和Aˆ7、设是一小量，算符A

1

存在，求证

ˆBˆ1Aˆ1Bˆ12Aˆ12Aˆ1Bˆ1Bˆ1 ˆ)1AˆAˆAˆA(A

8、如uni是能量En的本征函数（i为简并指标），证明



unixpxpxxunjdx0

从而证明：iunipxxunjd9、一维谐振子处在基态

ij 2

x

a

1/2

e

a2x2/2

求： （1）势能的平均值A



1

m2X2; 2

2Px/2m;

（2）动能的平均值T

（3）动量的几率分布函数

m

其中a



10、若L

(1)

LxiLy,证明

ˆ,Lˆ]Lˆ [Lz

ˆ2,Lˆ][Lˆ2,Lˆ]0 [L

(2)

ˆYCYLlm1lm1

ˆYCYLlm2lm1

(3)

1ˆˆ22ˆˆˆLˆLxLyLLL

2



2

2

11、设粒子处于Ylm(,)状态，利用上题结果求lx,ly

12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的X2随时间的变

化为：

XX2t

2



2

2112

XPpXxpPxt2 XXx0002t2

（注：自由粒子Px,Px与时间无关）。

第五章 变量可分离型的波动方程

1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。 2、对于球方位势

Vr

试给出有n个l



V00r0ra

0的束缚态条件。

3、设氢原子处于状态

13

r,,R21rY10,R21rY11,

22

求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。 4、证明

121,r 2rr12

, 2

5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域率。

6、设V





EVT0的几

rBr2A/r2,其中A,B0，求粒子的能量本征值。

7、设粒子在半径为a，高为h的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位

能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。

8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示：

ZeAr2

rr

其中，Ze表示原子实的电荷，A0，证明，电子在原子实电场中的能量为

Enl

e4z22

2

1

nl

2

而l为l的函数，讨论l何时较小，求出l小时，Enl公式，并讨论能级的简并度。

9、粒子作一维运动，其哈密顿量

p2

H0xVx

2m

的能级为En，试用Feynmen

(0)

Hellmann

定理，求

Px

HH0

m

的能级En。

10、设有两个一维势阱

V1xV2x

若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为E1n,E2n

（1）证明E1n（提示：令V

n1,2

E2n

,x1V1V2

V(X)

122KX1

2Kb2

xb

（2）若粒子的势场

xb

中运动，试估计其束缚能总数的上、下限

11、证明在规范变换下



1qˆˆˆj 2c



ˆqˆ

ˆ

c

不变。

12、计算氢原子中3D2P的三条塞曼线的波长。



13．带电粒子在外磁场B0,0,B中运动，如选

11ˆAyB,xB,0或A(0,xB,0) 22

试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。

14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E及均匀磁场B中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z轴方向，电场方向为X轴方向）。

第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论

1、列出下列波函数在动量表象中的表示

（1）一维谐振子基态：

x,t

1a3n

a

2

a2x2i

t22e

（2）氢原子基态：

r,t

e

riE2ta0

2、求一维无限深位阱（0≤x≤a）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。

ˆx的矩阵表示。 3、求在动量表象中角动量L

4、在（l

2

ˆx的可能值及相应几率。 ,lz）表象中，求l1的空间中的L

p25、设HV(r)，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则

2

EnEmxnm

n

2

2

2

（提示：求

H,X,H,X,X然后求矩阵元mH,X,Xm）

2

6、若矩阵A，B，C满足A（1）证明：ABBA

B2C2I,BCCB2iA

ACCA0；

（2）在A表象中，求B和C矩阵表示。

p2x

V(x),分别写出x表象和Px表象中x,px及H的矩阵表示。 7、设H2

200

8、在正交基矢1,2和3展开的态空间中，某力学量Aa001求

010

在态

111

123中测量A的可能值，几率和平均值。

222

第七章 自 旋

1、设为常数，证明e

iz

cosizsin。

1

2、若xiy,证明20

2



3、在z表象中，求n的本征态，nsincon,sinsin,cos是(,)



方向的单位矢。

4、证明恒等式：ABABiAB其中A,B都与对易。



5、已知原子

12

22

(2s)0(2p)2c的电子填布为(1s)0j，试给出

（1）简并度；

（2）给出jj耦合的组态形式； （3）给出LS耦合的组态形式；

eelS，电子处于l2,j2,jz的本征态6、电子的磁矩算符200

ljmj中，求磁矩。



ljmjzljmjmjj

7、对于自旋为

1ˆSˆ的本征值和本征态，在具有较小的本征的体系，求Sxy2





的几率是多大？ 2

ˆz值所相应的态中，测量s

1

8、自旋为的体系，在t0时处于本征值为/2的Sx的本征态，将其置于

2

B0.0.B的磁场中，求t时刻，测量Sx取/2的几率。

9、某个自旋为1/2的体系，磁矩0,t

0时，处于均匀磁场B0中，B0

指向Z方向，t

0时，再加上一个旋转磁场B1(t)，其方向和Z轴垂直。 

ˆ1B1sin20teˆ2 B1(t)B2cos20te

其中00B0/c

0时，体系处于sz/2的本征态1/2，求t0时，体系的自旋波

已知t

函数，以及自旋反向所需要的时间。

10、有三个全同粒子，可以处于

1,2,3三个单粒子态上，当

n13;n1n2n31;n12,n21三种情形下的对称或反对称波函数

如何写？

11、两个全同费米子体系处于一个二维方势阱中，假设两粒子间无相互作用，

求体系最低两上能级的能量和波函数。

V(x,y)

0



0xL,0yLxL,yL,

x0y0

12、设有两个全同粒子，处于一维谐振子势中，彼此间还有与相互距离成正比的作用力，即位能为

V(x1,x2)

1122k(x1x3)a(x1x2)2,22

a,k0

求体系的能量本征值及本征函数，按波函数的交换对称性分别讨论之。

第八章 量子力学中的近似方法

一、定态微扰论

ˆ的作1、设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01及E02现在受到微扰H

用微扰公式H21a,H11H22b,a,b都是实数，

用，微扰矩阵元为H12

求能量至二级修正值。

2、一个一维线性谐振子受一恒力作用，设力的方向沿x方向： （1）用微扰法求能量至二级修正；

（2）求能量的精确值，并与（1）所得结果比较。 3、设在H0表象中，H矩阵表示为

E(0)0

1(0)0E2ab

试用微扰论求能量的二级修正。



b (0)E3a

4、设自由粒子在长度为L的一维区域中运动，波函数满足周期性边条件

LL()()

22

波函数的形式可取为

0)

(



20)

coskx,(L

H1(x)

2

sinkxL

x2/a2

2nk

L

n0,1,2

设粒子还受到一个“陷阱”的作用

V0e

aL

试用简并微扰论计算能量一级修正。

5、一体系在无微扰时有两条能级，其中一条是二重简并的，在H0表象中

E(0)01(0)

E1000

在计及微扰后，哈密顿量为

0

(0)0)0E1E(2 (0)E2

E(0)01(0)0E1aba

b(0)E2

（1）用微扰论求H本征值，准到二级近似；

（2）把H严格对角化，求H的精确本征值，然后进行比较。 二． 变分法

1、试用变分法求一维谐振子的基态波函数和能量（试探波函数取e特定参数）。

2、设氢原子的基态试探波函数取为

x2

，为

(,r)Nea2/e2

(r/a)2

N为归一化常数，为变分参数，求基态能量，并与精确解比较。

3、粒子在一维势场中运动V(x)

0（当x,V(x)0)，试证明：至

少存在一个束缚态E0,取试探波函数。

(,x)

三、量子跃迁



4

e

2x2/2

1、氢原子处于基态，受到脉冲电场作用



(t)0(t)



0是常数

试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的几率以及仍停留在基态的几率。

2、具有电荷q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐运动。在光的照射下发生

跃迁，入射光能量密度分布为()，波长较长，求

（1）跃迁选择定则；

（2）设离原来处于基态，求跃迁到第一激发态的几率。

3、设把处于基态的氢原子放在平板电容器中，取平板法线方向为Z轴方向，电

场沿Z轴方向可视为均匀，设电容器突然充电，然后放电，电势随时间变化为

0(t)t/

0e

t0t0

（为常数）

求充分长的时间之后，氢原子跃迁到2S态及2p态的几率。



4、有一自旋/2，磁矩，电荷为零的粒子，置于磁场B中，开始时

0

t0,BB0(0,0,B0)，ˆz的本征态(1)，粒子处于即z1。t0时，



再加上沿x方向较弱的磁场B1(B,0,0),从而BB0B1(B1,0,B0)，求t0时，粒子的自旋态，以及测得自旋“向上”(z1)的几率。

四、散射问题

1、用玻恩近似法，求在下列势中的散射微分截面 （1）V(r) （2）V(r)

V0e

ar2

(a0) (a0)

V0ear

2、用分波法公式，证明光学定量

k Imf(0)T

4

3、设势场V(r)

V0/r2,用分波法求l分波的相移。

4、质量为的粒子束，被球壳势场散射。

V(r)V0(ra)

在高能近似下，用玻恩近似法计算散射振幅和微分截面。

5、求各分波相移l，并和刚球散射的结果比较。

6、求中子一中子低能(E0)S波散射截面，设两中子间的作用为

V012V

0

其中V0

rar0

入射中子和靶中子都是未极化的。 0,1,2是两中子的pauli自旋算符，

7、实验发现，中子一质子低能S波散射的散射振幅和散射截面与中子一质子体

系的自旋状态有关。对于自旋单态和自旋三重态，散射振幅分别为

f12.371012cmf20.53810

12

cm

（1）分别求自旋单态和三重态的总散射截面；

（2）如入射中子(n)和质子(p)都是未极化的，求总截面；

（3）如入射中子自旋“向上”，质子靶自旋“向下”，求总截面，以及散射后，

n、p自旋均转向相反方向的几率。