等差数列前n项和(第二课时)教案
§2.3.2等差数列的前n 项和(第二课时)
(人教A 版·必修5)
【教学目标】 1. 知识与技能:
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式;了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题,会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究S n 的最值. 初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.
2. 过程与方法:
通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活性,提高学生分析问题和解决问题的能力. 3. 情感、态度与价值观:
①提高学生代数的思维能力,使学生获得一定的成就感;
②通过生动具体的现实问题、数学问题,激发学生探究的兴趣与欲望,树立求真的勇气与自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感. 【教学重点】
等差数列前n 项和公式的掌握与应用. 【教学难点】
灵活应用求和公式解决问题. 【教辅手段】
多媒体投影仪、黑板 【教学过程】
I. 情景设置—温故知新
首先,回顾上一节所学的内容: (1)等差数列的前n 项和公式1:s n (2)等差数列的前n 项和公式2:s n Ⅱ. 新知探究
1. 等差数列的等价条件
例1:已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ,求 (1)S n -S n -1(n ≥2).
(2)求这个数列的通项公式.
(3)这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么? 分析:课本例题,题型比较简单,主要是靠引导学生. 过程略.
[设计意图]本例题实际上给出了数列前n 项和公式判别是否是等差数列的依据,要让学生们知道等差数列前n 项是一个常数项为0的关于n 的二次型函数.
n a +a =(1n )
2
n (n -1)=na 1+d
2
接下来,我们来完成一探究题.
2
a n }{S =pn +qn +r . 其中n 如果一个数列的前 n 项和为
p 、q 、r 为常数,且
p ≠0 ,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什
么?
2
S =pn +qn +r 得S 1=a 1=p +q +r n 解:由
(n =1) S =pn 2+qn +r ⎧S 1
又n a n =⎨
⎩S n -S n -1(n ≥2).
22
n ≥2 时 a n =S n -S n -1=(pn +qn +r ) -[p (n -1) +q (n -1) +r ]=2pn -(p +q )
(n =1) ⎧p +q +r
∴a n =⎨
⎩2pn -(p +q ) (n ≥2).
(+q ) -]p [2n -(-1p ) +q (=p ) ] d =a n -a n -1=[2pn -p
∴此类数列从第二项开始为等差数列.
2
归纳要使数列{a n }为等差数列,则2p ⨯1-(p +q ) =p +q +r , 即r =0.
[设计意图]本探究实际上是对例1的深化,目的是为了让学生进一步认识到,如果一个数列的前n 项公式是一个常数项为0的关于n 的二次型函数,则这个数列一定是等差数列,从而使学生从结构上认识数列. 2. 等差数列的最值问题
24
例2:已知等差数列5,4,3, 的前n 项和为s n ,求使得s n 最大的序号n
77
的值
分析:等差数列的前n 项和公式可以写成所以 可以看成函数y =
S n =na 1+
n (n -1) d d 2d
=n +(a 1-) n 222 ,
d 2⎛d ⎫
x + a 1+⎪x ,(x ∈N *),当x =n 时的函数值. 另一22⎭⎝
方面,容易知道s n 关于n 的图像是一条抛物线上的一些点,因此,我们可以利用二次函数来求n 的值.
524
解:由题意知,等差数列5,4,3, 的公差为- 所以
777
⎛5⎫⎤
s n =n ⎡2⨯5+n -1() -⎪⎥⎢
2⎣
⎝7⎭⎦
75n -5n 2=
14
2
5⎛15⎫1125=- n -⎪+14⎝2⎭56
15
当 n 取与最接近的整数即为7或8时s n 取最大值.
2
[设计意图]通过学习等差数列前n 项和的函数性质来用于实际题型中的应用,加深对函数结构的认识。
例3:等差数列{a n } 中,a 1
=s 12求使得S n 最小的序号n 的值?
解法一(同例2的解法一样,在此可以带过即可):
9⨯812⨯11
d =12a 1+d 由s 9=s 12得9a 1+22
1
因此3a 1=-30d 则d =-a 1
10
a 10
22
1121d 21⎛⎫212
∴s n =n a 1+n (n -1)d =dn -dn = n -⎪-d
⎝2⎭8
由以上条件知s n 有最小值. 又 即s 10
n ∈N *,则n =10或11时s n 取最小值,最小值为-55d .
=s 11=-55d
1
a 1>0 而a 1
解法二:由解法一知d =-则数列{a n }为递增数列.
⎧a ≤0⎧a +(n -1) d ≤0令⎨n 即⎨1
⎩a 1+nd >0⎩a n +1>0
a 1)≤0⎧1-(n -1) ≥0⎧a 1+(n -1) (-⇒⎨⇒⇒100⎩1-n
∴数列的前10项均为负值, a 11 =0.从第12项开始为正值. ∴n=10或n=11时s n 取最小值.
解法三: s 9
=s 12
∴a 10+a 11+a 12=0 ∴3a 11=0即a 11=0
又 a 1
∴数列的前10项均为负值,a 11 =0.从第12项开始为正值. ∴当n=10或11是s n 取最小值.
[设计意图]本例是对例2 的深化,通过一般的求最值方法,引导学生思考用简单的方法来解决同样的问题,达到数学浅入深出的学习效果。 3. 等差数列前n 项和的性质
例4:已知数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,求证S 6, S 12-S 6, S 18-S 12也成等差数列,设k ∈N +, S k , S 2k -S k , S 3k -S 2k 成等差数列吗? 解法一:由S 6=6a 1+15d , S 12=12a 1+66d , S 18=18a 1+153d , 可得 S 6+(S 18-S 12) =2(S 12-S 6). 解法二:
S 12-S 6=a 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12
=(a 1+6d )+(a 2+6d )+ +(a 6+6d ) =a 1+a 2+ +a 6+36d =S 6+36d . 同理可得:S 18-S 12=S 6+72d .
∴S 6+(S 18-S 12) =2(S 12-S 6).
(k 的情况也类似,在此省略)
[设计意图]本例是要求学生通过自己做题来得出结论的,但是为了学生能更好的理解这个结论并且应用这个结论,在本节课加了这个例题,希望可以减轻学生课后的负担。
例5:(备用例题,时间允许可在课堂上讲解)若两个数列{a n }和{b n }的前n 项和
A n 和B n 满足关系式
a A n 7n +1
=(n ∈N +), 求n
b n B n 4n +27
(分析:条件是前n 项和的比值,而结论是通项的比值,所以,需要将通项的比
值转化为前n 项和的比值,恰当的应用等差公式可以简化解题过程. )
解:由等差数列性质:
a 1+a 2n -1b 1+b 2n -1
a n =, b n =,
22
a n
∴=b n
=
a +a b +b =
(2n -1)(a +a )
(2n -1)(b 1+b 2n -1)
A 2n -1=
B 2n -1
7(2n -1) +114n -6
=.
4(2n -1) +278n +23
[设计意图]本例题对于初学者来说解答比较困难,若果让学生自行解答比较吃力,在这里加了讲解,希望对学生有所帮助。 【归纳提升】
1. 等差数列的等价条件
2
S =An +Bn +C 中的C 必为0,A 、B 为任意n 若一个数列为等差数列,则
常数. 反之也成立.
2. 求等差数列前n 项和s n 的最值有两种方法 第一种:根据项的正负来定
若a 1>0,d 0, d >0则数列的所有负数项之和最小.. 第二种:
s n =na 1+n (n -1)d
2
=d n 2+(a 1-d )n
2
2
=
d ⎛
a -1d n +2 d ⎝⎫⎪⎪⎪⎭
2
2
d ⎫⎛a - 1⎪
2⎭⎝-
2d
2
d ⎡⎛1a 1⎫⎤d ⎛1a ⎫=⎢n - -⎪⎥- -⎪
⎪2⎣⎝2d ⎭⎦2 ⎝⎭
2
1a
由二次函数的最大,小值知识及n ∈N * 知. 当n 取接近于-1的正整数时,s n
2d
1a
取最大值(或最小值)值得注意的是接近-1的正整数有时1个,有时2个.
2d
3. 等差数列前n 项和的性质
若数列{a n }是等差数列,设n ∈N +, S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n , 也S n 是其前n 项和,成等差数列.
[设计意图]总结是为了让学生明白本节课的重难点在哪,同时使学生回顾本节课的知识点,达到复习加总结的效果。 【即时体验】
问题1. 等差数列{a n }中,a 4=-15, d =3,求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值.
分析:利用归纳的2种解题方法进行求解:①将Sn 表示成关于n 的一元二次函数的最值求解. ②确定数列中负值的个数,由所有项之和最小求解. 解答过程略.
问题2:已知等差数列{a n }的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为多少?
解: S 10, S 20-S 10, S 30-S 20, , S 110-S 100, 成等差数列,设其公差为D , 又 首项为S 10=100,前10项的和为S 100=10
∴100⨯10+
10⨯9
⨯D =10, ∴D =-22. 2
又S 110-S 100=S 10+10D
∴S 110=100+10+10⋅(-22) =-110.
问题3:若两个等差数列的前n 项和之比是(3n +1) :(6n +2) ,试求它们的第11项之比.
分析:同例3同题型,问题转化为具体的项之比,题目更简单化,解答过程在此处省略.
[设计意图]及时巩固,让学生活学活用,直接应用本节课所学的知识点来解决数学问题。达到加深理解的学习效果。 八、课后延续
P46习题2.3.A 组第3题;P47习题2.3.B 组第4题
[设计意图]课后作业可以让学生加深本节课的认识,同时不忘记巩固。 九、板书设计
(高考题):【2010年高考福建卷·理3】设等差数列{an }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ) A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 考点:等差数列的前n 项和. 专题:常规题型.
分析:条件已提供了首项,故用“a1,d ”法,再转化为关于n 的二次函数解得. 解答:
解:设该数列的公差为d ,则a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,解得d=2, 所以 ,所以当n=6时,Sn 取最小值. 故选A.
十一、教后反思