平面向量共线专题
向量的共线定理
一、知识点
1、如果ba(a0),则称
2、一般地对于两个向量a(a0),b,有如下的向量共线定理
如果有一个实数,使 , 那么 ; 反之,如果 ,那么 .
二、练习
1、设两非零向量e1,e2,不共线,且k(e1e2)//(e1ke2),求实数k的值。
x、y2、设两非零且不共线向量a,b,实数满足(xy1)a(2xy)b0 ,试讨论x、y的取值.
平面向量的基本定理
一、知识点
1.平面向量的基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个 的向量,a是
这一平面内的任一向量,那么有且只有一对实数1,2,使。
其中,不共线的这两个向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底。
2.一个平面向量用一组基底e1,e2表示成112e2的形式,我们称它为向
量a的___________,当e1,e2所在直线___________________,这种分解也称为向量a的________________.
二、练习
1. 设e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底,则以下各组向量中, 不能作为基底的是( )
A. e1+e2和e1-e2 B. 2e1-3e2和4e1-6e2 C. e1+2e2和2e1+e2 D. e1+e2和e2
2.已知AM是△ABC的BC边上的中线,若=a,=b,则=( )
11aaA.( - b) B. -( - b) 22
11
C.-( a+b) D.( a+b)
22
3. 已知e1,e2不共线,a =1e1+e2,b=4 e1+2e2,并且a,b共线,则下列各式正确的是( )
A. 1=1, B. 1=2, C. 1=3, D. 1=4
4、已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,且=2e1+ke2,=e1+
3e2,=2e1-e2,如果A,B,D三点共线,则k的值为 。
a5.已知ABCDEF是正六边形,=,=b,则=( ) 11
A.( a- b) B. -( a- b)
22
11
C.a+b D.( a+b)
22
6.如果3e1+4e2=a,2e1+3e2=b,其中a,b为已知向量,
则e1= ,e2= .
7.当k为何值时,向量a=4e1+2e2,b=ke1+e2共线,其中e1、e2是同一平面内两个不共线的向量。
8.若向量a的一种正交分解是a=e1+e2,且2e2
=2
_____.
一、知识点
1、两个向量和差的坐标运算
已知:a(x1,y1),b(x2,x2),为一实数
则ab(x1iyj)(x2iy2j)=______________________; 即ab=_____________________________。
同理将ab=_____________这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于______________________。 2、数乘向量和坐示运算
a(x1iy1j)=__________________ 即a=______________________ 这就是说,实数与向量的积的坐标等于:________________________。
3、向量AB的坐标表示
若已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=_______________________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。
4、线段定比分点坐标公式 二、练习
1、设a(1,3),b(2,4),c(0,5)则3abc=_________________ 2、若点A(-2,1),B(1,3),则AB=___________________________
3知a(3,1),b(1,2),c2ab则C=( ) A.(6,-2) B.(5,0) C.(-5,0) D.(0,5)
4、求证:设线段AB两端点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则其中点M(x,y)的坐标公式是:x
x1x2yy2
,y1。 22
一、知识点
1、两向量平行(共线)的条件
若a//b(b0)则存在唯一实数使a//b;
反之,存在唯一实数,使a//b,则a//b
2、两向量平行(共线)的坐标表示
设a(x1,y1),b(x2,y2),其中b0则a//b等价于______________________。
二、练习
1、已知a(1,3),b(x,1),且a//b,则x=( )
11
A.3 B.-3 C. D.
33
2、已知a(6,y),b(2,1)且a与b共线,则x=( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
3、已知A(2,1),B(3,1)与AB平行且方向相反的向量a的是( )
1
A.a(1,) B.a(6,3) C.a(1,2) D.a(4,8)
2
1
4、已知A(1,3),B(8,),且A、B、C三点共线,则C点的坐标是( )
2
A.(9,1) B.(9,1) C.(9,1) D.(-9,-1) 5、平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1) (1)求3ab2c;
(2)求满足mn的实数m,n; (3)若(akc)//(2ba),求实数k.
6、已知△ABC三个顶点ABC的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求△ABC的重心G的坐标.
向量的数量积(1)
一、知识点
1._____________________________ __________叫做a与b的夹角。
2.已知两个______向量a与b,我们把_________叫a与b的数量积。(或________)
记作______ _____即ab=______________________其中是a与b的夹角。
______________________叫做向量a在b方向上的___________。
3.零向量与任意向量的数量积为___________。
4.平面向量数量积的性质:设a与b均为非零向量:
①ab___________
②当a与b同向时,a= 当a与b反向时,ab=_____ __, 特别地,=
= 。
③cos=
5. a的几何意义:______________________________。
的几何意义:
6.向量的数量积满足下列运算律:已知向量a,b,c与实数。
①ab=___________(______律)
②ab=___________= = ③a+bc=_________ _
二、练习
1.已知a=4,b=2且a与b的夹角为120º,则a、b=___________。
2.已知ab=12,且a=3,b=5,则a,b夹角的余弦值为________
3.已知ABC中,ABAC4,ABAC8,则这三角形的形状为______ _____
4.a=3,b=5,a+b与a-b垂直,则=___ ________。
22
5.1,2,()0,则a与 b的夹角为 。
6.已知a=6,e是单位向量,它们之间夹角是45º,
则在方向上的投影为_____ ___, 在方向上的投影为 。 7.
ABC中,设ABc,BCa,CAb
则ab+ca等于 。
8.有下面四个关系式①0.0=0;②abc=a(bc);③ab=ba,④0.a=0,
其中正确的有 个。
9.a=1,b=2则a与b的夹角为120º,则2(2)的值为 。
10. ABC中,AB=a,BC=b,且ab
11.已知向量a、 b满足a=13,b=19,a+b=24,求ab。
12.设e1、e2是两个垂直的单位向量,且a=2e1+e2,b=e1e2.
(1)若//b,求的值。(2)若ab,求的值。
向量的数量积(2)
一、知识点
1. 平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a=x1y1,b=x2y2,ab= (坐标形式)。 这就是说:(文字语言)两个向量的数量积等于 。
如:设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a= 。
2.平面内两点间的距离公式
2
①设a=(x,y),则a=________________或a=________________。
②如果有向线段的起点为A(x1,y1)和终点B(x2,y2),
=_____________
3.向量垂直的判定设a=x1,y1,b=x2,y2,则_____________ ____ 如:已知A(1,2), B(2,3), C(-2,5),求证ABC是直角三角形。 4.两向量夹角的余弦(0≤≤)
cos=___________________(向量表示)=__________________(坐标表示)
如:已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且aBC,bCA,则a与b的夹角为_______。
二、练习
2
1.已知a(4,3),b(5,6)则3a4ab= 。
2.已知a3,4,b=5,12则a与 b夹角的余弦为 。
3.a=2,3,b=(2,4),则a+ba-b=___ _。
4.已知a=2,1,b=,3且ab则=__________。
5.已知ab(2,8),ab(8,16),则ab 。
6.a=(4,7);b=(5,2)
则ab=____ _,a=_____ 2a3ba+2b=______ _ 。
7.与a=3,4垂直的单位向量是____ ___ ,平行的单位向量为 。
8.a=(2,3),b=(-3,5)则a在b方向上的投影为_____ ____。
9. A(1,0) B.(3,1) C.(2,0)且a=BC,b=CA则a与b的夹角为_____ 。 10.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ABC为 三角形。
11.已知a+b=2i8j,ab=8i+16j那么ab=_______(其中i,j为两个相互垂直的单位向量)
m
1,)12.若a=(2,1)与 b=( 互相垂直,则m的值为 。
5
13
、求①与a=(2,1)平行,且大小b
②与(2,1)垂直,且大小25的向量。
14.已知点A(1,2),B(4,-1),问在y轴上找点C,使∠ABC=90º若不能,说明理由;若能,求C坐标。