广义虎克定律
12 广义虎克定律
在弹性力学中,我们由弹性变形过程是一个可逆过程这个前提出发,依据热力学分析,得到了应力分量ij是应变分量ij的单值函数的结论. 加上小变形的假设,可将应力按泰勒展开,并略去二阶及二阶以上的高阶小量. 我们还假定物体未变形时内部没有应力,得到
ijcijklkl (12-1)
式中cijkl称为广义弹性常数. (12-1)式也可以写成
ijbijklkl (12-2)
式中bijkl称为柔性系数.
13 各向同性物体的广义虎克定律
13.1 一般的表示
(12-1)式中cijkl为一个四阶张量,共81个元素. 由于形变张量是对称的,所以将指标i与j, k与l互易,或将i,j与k,l成对地互易之后,乘积ijkl并不改变. 由此可见,张量cijkl也可以有这个性质,即当指标互易时具有如下的对称性质:
cijklcjiklcijlkcklij (13-1)
经计算可证实,四阶张量的分量中具有以上对称性质的分量,在一般情形中有21个. 因此,对极端各向异性的材料,也只有21个独立的弹性常数. 至于具有三个正交的弹性对称面的物体,则具有9个独立的弹性常数,这样的物体称为正交各向异性体. 正交各向异性体的弹性系数矩阵具有如下的形式:
c11
c12c22对称
c13c23c33
000c44
0000c55
000 00c66
对于各向同性体,利用坐标轮换时应变能的不变性和坐标轴选取的任意性可以证明,独立的弹性常数减少到只有2个.
各向同性材料的弹性常数矩阵为
0002G
2G000
2G000
对称G00
G0
G
广义虎克定律可写为
112G11,232G23,
222G22,312G31, (13-2) 332G33,122G12.
或者简写为
ij2Gijij (13-3)
其中ii112233123divu为体积应变或应变张量的第一不变量,ij为Kroneker符号.
广义虎克定律也可以写成以应力分量表示应变分量的形式:
ij
1
Iij1ij (13-4) 2G(32G)
其中I1ii112233为应力张量的第一不变量.
13.2 弹性常数及其相互之间的关系
常用的弹性常数有、G、E、、K. 其中和G称为拉梅常数,G又称为剪切模量或刚性模量. E称为杨氏弹性模量,称为泊松比或横向变形系数,K称为体积弹性模量.
G可以利用纯剪切试验直接测得, 此时12, 其余应力分量均为零,根据(13-2),
12/2G. 因此测得和12即可求得G.
E和可以利用单轴拉伸试验测得,此时11,其余22331223310.
令
ε11
由广义虎克定律(13-2)
1
σ11, ε22ε33ε11σ11 (13-5)
EE
112G11
02G22 (13-6) 02G33
将上三式相加得到
11/(32G)
将上式代入(13-6)的第一式得到
E
代入(13-6)的第二式或第三式得到
G(32G)
(13-7)
G
(13-7)、(13-8)也可以化为
2(G)
(13-8)
EE
, G (13-9)
(1)(12)2(1)
利用(13-9)可将虎克定律表示为如下更常用的形式
1
11(2233)E1
2222(3311)
E1
3333(1122)
E
11
23
1
23E
1
3131 (13-10)
E11212
E
或
ij
13
ij0ij (13-11) EE
其中0(112233)/3/3I1/3,I1为应力张量第一不变量,ij为Kroneker符号.
在各向均匀压力试验中,112233p, 1223310, 将上述应力分量的值代入广义虎克定律公式(13-2)得到
p2G11, p2G22 p2G33
将上面三式相加就得到
3p(32G)
定义体积变形模量K为
Kp/
就得到
2
KG (13-12)
3
可推出五个弹性常数之间的关系, 结果如下:
2GG(E2G)2E3K3K(3KE)
KG,
123GE3(1)(12)19KE
(12)3E3K(12)3KE
G(K)
222(1)2(1)9KEE3K2G3KE
1
2(G)3K2G2(3KG)6K
G(32G)(1)(12)9K(K)9KGE 2G(1)3K(12)
G3K3KG
2(1)2G(1)GEE
KG. (13-13)
333(12)3(3GE)3(12)
G
12, . (13-14)
G+2G1