伺服系统的信号分析

伺服系统的信号分析

1概述

对于系统的设计者和使用者来说，关注的重点有明显的不同，但是对于两者所见到的资料而言，显然对系统的原理及设计的所涉及的多，比如各种自动控制类的教材，它们的内容多而且复杂。对于使用者，往往有这种感觉，读完了这个教材，似乎能参与设计一个系统，可是发现，对系统的输出曲线不能满足要求时，需要调整某些参数时，我们没办法确定该去调整那些参数，甚至输出曲线表明了系统那些特征，似乎也没弄清楚。毕竟我们学习的太多的是在频域内如何设计系统，如何使系统稳定，然而我们的实际当中面临的是时域中从示波器上看到的各种曲线。

如何从眼前看到的输出时域波形了解系统的特性，通过波形信号的幅频特性如何去改变系统性能，这是本文所要阐述的内容，并进而分析我们如何确定对系统进行适当的调整，由此提高工程人员对系统的有效使用。接下来我们将从经常见到的时域输出波形开始，从信号分析的角度来研究系统，进而达到以上所提出的目标。

2 伺服信号分析

下面首先介绍了几个需要用到的简单常用信号以及需要用到的定理，在具体的分析时，对一些熟知的概念不在重复介绍，定理也是直接使用，不再证明。为了分析的直观，采用了matlab 软件，并给出了相关的计算程序和相关图形。

2.1 几个常用信号的时域和频域形式

(a) 伺服系统常用的指标测试输入信号，即阶跃信号。

在分析时，为满足数学上的严格，在这里有必要提一下傅立叶变换的充分条件，即对于一个时域信号f(t)须满足下式，称为绝对可积条件。

⎰∞

-∞|f (t ) |dt

但是，有些信号却并不满足这一条件，这并不意味着它们的傅立叶变换不存在，这时可借助奇异函数的概念或极限傅立叶变换，仍然能得出其变换式。从上图波形中容易看出阶跃函数u(t)不满足绝对可积条件，正如以上所述，利用奇异函数或极限傅立叶变换可得出它的傅立叶变换，如下

F [u (t ) ]=pd (w ) +

它的频谱如下所示。

1 j w

可见，单位阶跃信号在w=0点存在一个冲击，此外，因为它不是纯直流信号，它在零点有跳变，因此在频谱中还有其他频率分量，如上图所示，但能量基本集中在零点附近。之所以在此列出上图，主要是为了表明阶跃信号中，直流和低频占主要成分。

(b) 三角形信号和梯形信号。

在分析伺服系统指标测试的输出信号时，需要用到这些信号的叠加，显然它们满足绝对可积条件，是常规信号，因此在此列出它的时域形式并且研究它的频谱。信号的图示如下。

t

上图中，实黑线画出了一个梯形信号，它和上面的细线小三角形叠加成一个大三角形信号。下面给出三角形信号函数形式。

ìï(1-|t |/b ) /b . L (t ) =ï íïïî0. |t|

自然，梯形信号的是两个三角形信号的差，于是具有以下形式，即

f (t ) =B L (t /b ) -(B -A ) L (t /a ) ; 其中，B=Ab(b-a)。

三角形信号是分段线性信号，它的频谱的求解，一个比较好的方法是应用傅立叶变换的积分定理，具体求解不再细述，中心位于t=0从t=-t 到t=t 的单位高度三角形信号的频谱如下。

F (L ) =t sin c (f t )

其中的函数2sin c 为采样函数，把上式应用到f (t ) 式，同时应用叠加定理，可得梯形的频谱如下。

X (f ) =B t b sin c 2(fb ) -(B -A ) t a sin c 2(fa )

利用傅立叶变换的线性叠加性可知，上式就是两个三角信号的频谱之差。下面分析时利用了matlab 画出了以上的频谱分布，因此不在这儿重复画以上频谱图。

2.2 伺服系统暂态特性输出信号分析

在2.1中，已经有了需要用到的常用信号及频域形式，这样为下面的分析提供了条件。

首先给出输出信号（指的是位置环数字引导测试端的输出，不是受控元件的输出）的示意图。

由于系统的性能不同，上面是系统对位置环阶跃信号响应的两种输出，对于左图而言，较好的满足指标要求，而右图，显然动态性能较差，即使过渡时间满足要求。对于操作设备的技术人员，如果对以上的输出曲线不满足，如何针对曲线的形状确定需要调整的系统的参数是以下分析讨论的。

要将右图中的曲线调整成左图中的形状，其实就是将黑体曲线类似梯形的波形叠加一个小的以虚线为边的三角形信号，这样曲线的形状和左图已很相似，这样系统的动态性能可得到明显的改善。我们主要以pid 校正的为例，采取的办法仍然频域分析，通过分析知道改变那些pid 参数能达到以上目的。下面首先用matlab 来画出2.1(b)中的频谱，程序在后面给出。

(a) 梯形叠加后的频谱

上图就是在梯形上叠加了一个小三角形前后的频谱，图中取a=1,b=1.5，显然叠加前，梯形的频谱主瓣的两侧有较大的旁瓣，也就是旁瓣相对有较大的能量。叠加后，信号成三角波形，显然它的频谱趋向于向f=0附近集中，频谱基本落在主波瓣内。上图中，我们设置的波形中心在t=0，这一点是由于关于纵轴对称时，频谱是一实函数，图形易于做出。

有了以上结果，要改变如前所述的系统输出信号波形形状，办法就很明确，即提高系统的低频增益，对于pid 校正系统，简单的增大比例环节的的放大倍数即可。由2.1（a ）中阶跃信号的频谱可知，其能量主要分布在零频附近，所以提高比例环节的放大倍数对于高频的效果比较小，当系统输入阶跃信号时，达到了放大低频的作用。然而，从波形上我们看到，我们考虑的叠加并非关于t=0对称，根据傅立叶变换的时移特性，我们可以知道，在频谱图上会产生相移。于是就要求当增大放大倍数时，需要考虑它对相位的影响。于是，我们考虑一个低通滤波器的相位特性曲线如下。

w

考虑以上曲线的近似，设斜率为k ，则有：

j (w ) =kw ， d j (w ) =kdw +wdk

显然，当由于放大倍数变化，使得斜率变化为d k 时，w d k 在低频段效果较小，由于能量主要在低频段，所以，对于相移对波形的影响也就小了。由于我们遇到的系统总可以近似为一低通滤波器，粗略的看，以上的分析可以做为我们伺服系统分析的一个近似。总之，分析的结果表明，增加放大倍数可以改善输出波形为右图的波形形状。

(b) 上升时间和调整时间的调整

在自动控制课程中对系统的时域分析中（以二阶系统为例，是高阶系统的近似），给出了以下公式

x = w n =

其中x 为阻尼系数，K 为系统总放大系数，F 为粘滞磨擦系数，J 为总转动惯量， w n 为系统的谐振频率，根据以上两个公式以及以下求调整时间的近似公式 T s =3 xw n

可知，调整时间基本上由系统的机械结构决定，校正环节对信号的作用对调整时间的改善不起决定性作用，但是并非校正环节对其没有丝毫作用，简单的说通过对校正环节的微积分时间参数即R 与C 的积的调整，可以调整系统的上什时间，从而起到改善输出波形的作用。R 与C 的积的调整，实际上是改变系统的带宽，而带宽和上升时间遵循如下规律

w B t r =c （c 为常数）

这个式子表明在时频窗矩形中，其积为常数，在物理上称测不准原理。下图以矩形脉冲为例说明。

r

上图中，如果脉冲的的边沿时间即为上升时间，当系统的带宽增加时，脉冲的边沿要竖起来一些，脉冲更贴近矩形波形。伺服系统的输出波形如图2.2中的阶跃响应波形，可以通过改善系统带宽来减小上升时间，以及减小波形回归稳定值的时间，这样同时也起到了改善调整时间的作用。

2.3 伺服20赫兹编码采样和数字引导分析

伺服系统轴角编码的频率为20赫兹，系统的数字引导也采用20赫兹的频率，应该说在以往设备独立工作时间居多时，这没有什么大碍，但现在，测控设备正在向网络化方向发展，许多时候需要在网络中模拟工作，这时可能这个频率就显得较低，下面分开讨论。

(a) 20赫兹编码采样

轴角编码的采样频率大小，原理上由时域抽样定理决定，即未能较好复原时域信号，最低的抽样频率应不小于信号频谱最大频率值。当前系统的伺服带宽是最大2赫兹，这指的伺服的闭环带宽，也就是系统工作在自跟踪状态时的带宽，其实际意义是，当跟踪的目标信号为2赫兹的正弦波形时，那么天线的实际运行状态在角度显示上也为一正弦波形，即能完整跟踪输入波形。我们希望轴角编码通过采样尽可能完整复原天线运行轨迹，那么采样频率最小也要为4赫兹。但是我们知道输入信号可能有较高的频率成分，在现有的系统中有20赫兹的采样率，那么系统的较高的频率在10赫兹左右。

(b) 20赫兹的数字引导

数字引导的实质是将目标轨迹进行点抽样，如果对这些点进行曲线拟合，可近似得到目标的实际轨迹，用这些抽样点引导设备时，输入设备的是如下图的信号。

上图是一个示意图，上方是幅度变化的方波电压波形，下方是引导的角度值，黑圈表示的是引导值，白圈表示的当前的天线角度。天线的时间角度时而小于引导角，时而大于引导角，这就使得系统的积分输出在一个稳态值上下小幅度变化，积分输入稳定时，天线速度就稳定。当系统有颠簸时，积分输出的变化比较大，即速度变化大，这从声音上明显能听出来。在上方电压波形的驱动下，我们看到系统大多时间工作在开环状态，开环的截至频率一般为系统带宽的1/2，也就是小于1赫兹，所以系统的输出便不能较好的恢复输入信号，当目标运行速度变化较大时，引导的输出常常会出现颠簸现象，设备的声音听上去有节律的变大变小。这种现象的存在降低了系统的平稳性，同时如果进行系统仿真，那么输出仿真曲线也不平滑。

对比自跟踪时发现这种颠簸现象减小许多，这是因为一来系统工作在闭环状态，带宽较宽，另外系统的输入是平滑的模拟信号，只有在速度变化较快时误差稍微抖动。要在数引时减小颠簸，可改善的就是提高引导频率，但是系统如果编码采样频率不提高，只提高引导频率是徒劳的。如果提高了采样率，引导频率一提高，那么由抽样点连成的折线更逼近目标的实际轨迹，也就更平滑，因此可以减小输入脉冲方波的高频成分的能量，这样系统运行就更平稳，当然还是运行在开环状态。

3 总结

在第二部分中，对伺服系统从信号的角度进行了分析，里面涉及到了模拟信号和数字信号，模拟信号主要结合系统的输出波形和系统的性能指标进行分析，提出了工程人员进行指标调整的简单易行的方法。这里主要针对模拟校正的系统，如果系统为数字校正，则需另行考虑。对数字信号20赫兹的讨论，与新设备的系统模拟仿真和运行的平滑性关系紧密，在设备来之后可结合实际多作研究。

附录：梯形叠加频谱分析matlab 文件

t_max=2;

f_max=2;

t=-t_max:.001:t_max

f=-f_max:.001:f_max

A=1;

B=1.5;

K=3;

A=.5*(k-1)+.0000001;

Aa=a;

B=A*b(b-a);

x=B*trngl_fn(t/b)-(B-A)*trngl_fn(t/a);

K=A/(b-a);

X=k*(b^2*(sinc(f*b)).^2-a^2*(sinc(f*a)).^2);

Subplot(2,2,2),plot(f,X),axis([-f_max f_max -.8 5]),xlabel(‘f ’),ylabel(‘X(f)’)

Subplot(2,2,1),plot(t,x),axis([-t_max t_max 0 5]),text(-1.9,1.6,[‘a =’,num2str(aa)]),xlabel(‘t ’),ylabel(‘X(t)’)

K=3

A=.5*(k-1)+.0000001;

Aa=a;

B=A*b(b-a);

x=B*trngl_fn(t/b);

K=A/(b-a);

X=k*(b^2*(sinc(f*b)).^2;

Subplot(2,2,4),plot(f,X),axis([-f_max f_max -.8 5]),xlabel(‘f ’),ylabel(‘X(f)’)

Subplot(2,2,3),plot(t,x),axis([-t_max t_max 0 5]),text(-1.9,1.6,[‘a =’,num2str(aa)]),xlabel(‘t ’),ylabel(‘X(t)’)

参考文献

1 郑均里 信号与系统 高教出版社

2 Rodger E.Ziemer William H.Tranter D.Ronald Fannin Matlab Oriented信号与系统第四版 电子工业出版社 2005