课时45:利用导数求函数的最值
课时45:利用导数求函数的最值
教学目标:
1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数f (x ) 在闭区间[a ,b ]上所有点(包括端点a ,b )处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;
2.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.
教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法.
教学难点:最值与极值的区别
教学过程:
一、课前预习
x 321.函数f (x ) =x -3x -4在[0,2]上的最小值是___ ____. 3
2.若函数f (x ) =2x 3-6x 2+m 在[-2, 2]上有最大值3,则此函数在[-2, 2]上最小值是 ;
3.函数f (x ) =x -e x 在区间[0, 1]上的最小值为;
4.函数f (x ) =2x 3-3x 2-12x +5在[0, 3]上的最大值是;
二、建构数学
1.函数的最大值和最小值.
观察图中一个定义在闭区间[a , b ]上的函数f (x ) 的图象.图中f (x 1) 与f (x 3) 是极小值,f (x 2) 是极大值.函数f (x ) 在[a , b ]上的最大值是f (b ) ,最小值是f (x 3) .
一般地,在闭区间[a , b ]上连续的函数f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与最小值. 说明:
(1)在开区间(a , b ) 内连续的函数f (x ) 不一定有最大值与最小值.如函数1在(0, +∞) 内连续,但没有最大值与最小值; x
(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的; f (x ) =
(3)函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续,是f (x ) 在闭区间[a , b ]上有最大值与
最小值的充分条件而非必要条件;
(4) 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个.
2.利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数f (x ) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了.
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,在(a , b ) 内可导,则求f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求f (x ) 在(a , b ) 内的极值;
(2)将f (x ) 的各极值与f (a ) 、f (b ) 比较得出函数f (x ) 在[a , b ]上的最值.
三、数学运用
ln x 例1.已知函数y =f (x ) =x .
1(1)求函数y =f (x ) 的图象在x =e 处的切线方程;
(2)求函数y =f (x ) 的最大值.
例2.已知函数f (x ) =ln x -ax (a ∈R ) 。
(1)求函数f (x ) 的单调区间;
(2)当a >0时,求函数f (x ) 在[1, 2]上的最小值。