高中数学复数

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1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即i 2=-1.

⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + b i 的数（其中a ，b ∈R ）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi ，即a ；

③ 虚数—当b ≠0时的复数a + b i ；

④ 纯虚数—当a = 0且b ≠0时的复数a + bi ，即b i.

⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.

⑶两个复数相等的定义：

a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中，a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地a +bi =0⇔a =b =0. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若z 1, z 2为复数，则1 若z 1+z 2 0，则z 1 -z 2. （×）[z 1, z 2为复数，而不是实数] 2 若z 1 z 2，则z 1-z 2 0. （√）

②若a , b , c ∈C ，则(a -b ) 2+(b -c ) 2+(c -a ) 2=0是a =b =c 的（当(a -b ) 2=i 2，

(b -c ) 2=1, (c -a ) 2=0时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d =z 1-z 2.

其中z 1，z 2是复平面内的两点z 1和z 2所对应的复数，d 表示z 1和z 2间的距离.

由上可得：复平面内以z 0为圆心，r 为半径的圆的复数方程：z -z 0=r （r 0）. ⑵曲线方程的复数形式： ①z -z 0=r 表示以z 0为圆心，r 为半径的圆的方程. ②z -z 1=z -z 2表示线段z 1z 2的垂直平分线的方程. ③z -z 1+z -z 2=2a （a 0且2a z 1z 2Z 1，Z 2为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若2a =z 1z 2，此方程表示线段Z 1，Z 2）. ④z -z 1-z -z 2=2a （0 2a z 1z 2表示以Z 1，Z 2为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若2a =z 1z 2，此方程表示两条射线）.

http://www.365istudy.com/ 教育，我们只做精品 ⑶绝对值不等式：

设z 1，z 2是不等于零的复数，则 ①z 1-z 2≤z 1+z 2≤z 1+z 2.

左边取等号的条件是z 2=λz 1（λ∈R ，且λ 0），右边取等号的条件是z 2=λz 1（λ∈R ，λ 0）. ②z 1-z 2≤z 1-z 2≤z 1+z 2.

左边取等号的条件是z 2=λz 1（λ∈R ，λ 0），右边取等号的条件是z 2=λz 1（λ∈R ，λ 0）. 注：A 1A 2+A 2A 3+A 3A 4+ +A n -1A n =A 1A n .

3. 共轭复数的性质：

z =z z 1+z 2=z 1+z 2

z +z =2a ，z -z =2b i （z =a + b i ） z ⋅z =|z |2=|z |2

z 1-z 2=z 1-z 2 z 1⋅z 2=z 1⋅z 2

⎛z 1 z 2⎝⎫z 1⎪=（z 2≠0） z n =(z ) n ⎪z 2⎭

注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

4. ⑴①复数的乘方：z n = z ⋅z ⋅z ... z (n ∈N +)

n

②对任何z ，z 1, z 2∈C 及m , n ∈N +有

n ③z m ⋅z n =z m +n , (z m ) n =z m ⋅n , (z 1⋅z 2) n =z n 1⋅z 2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i 2=-1, i 4=1若由i =21142(i ) =12=1就会得到-1=1的错误结论.

②在实数集成立的|x |=x 2. 当x 为虚数时，|x |≠x 2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

i 2=-1, i 4n +1=i , i 4n +2=-1, i 4n +3=-i , i 4n =1

i n +i n +1+i n +2+i n +3=0, (n ∈Z )

(1±i ) 2=±2i , 1+i 1-i =i , =-i 1-i 1+i

若ω是1的立方32虚ω=1, ω数=, ω根=ω1n 31，21，=n +-i (n ∈Z , 1+ω+ω即=0, ωn ω+ω±) 22

http://www.365istudy.com/ 教育，我们只做精品 则 .

5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件： ①z ∈R ⇔z =z .

②若z ≠0，z 是纯虚数⇔z +z =0.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：|z |=|z |.

6. ⑴复数的三角形式：z =r (cosθ+i sin θ) .

辐角主值：θ适合于0≤θ＜2π的值，记作arg z .

注：①z 为零时，arg z 可取[0, 2π) 内任意值.

②辐角是多值的，都相差2π的整数倍.

③设a ∈R +, 则arg a =0, arg(-a ) =π, arg ai =

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

a +bi =r (cosθ+i sin θ) ，r =a 2+b 2，cos θ=π3, arg(-ai ) =π. 22a b , sin θ=. r r

⑶几类三角式的标准形式：

r (cosϑ-i sin θ) =r [cos(-θ) +i sin(-θ)]

-r (cosθ+i sin θ) =r [cos(π+θ) +i sin(π+θ)]

r (-cos θ+i sin θ) =r [cos(π-θ) +i sin(π-θ)]

r (sinθ+i cos θ) =r -θ) +i -θ)] 22ππ

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 时，应注意下述问题： ①当a , b , c ∈R 时，若∆＞0，则有二不等实数根x 1, 2=

x 1, 2=--b ±∆；若∆=0，则有二相等实数根2a -b ±∆|i b ；若∆＜0，则有二相等复数根x 1, 2=（x 1, 2为共轭复数）. 2a 2a

②当a , b , c 不全为实数时，不能用∆方程根的情况.

③不论a , b , c 为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

8. 复数的三角形式运算：

r 1(cosθ1+i sin θ2) ⋅r 2(cosθ2+i sin θ2) =r 1r 2[cos(θ1+θ2) +i sin(θ1+θ2)]

r 1(cosθ1+i sin θ2) r 1=[cos(θ1-θ2) +i sin(θ1-θ2)] r 2(cosθ2+i sin θ2) r 2

棣莫弗定理：[r (cosθ+i sin θ)]n =r n (cosn θ+i sin n θ) .