函数的定义域解析与练习及答案
函数的定义域
1、已知函数式求定义域:
例1、求下列函数的定义域:
(1);(2);(3);
(4)
解: ;(5).
(1),即;(2),即;
(3)且,即.
(4)要使函数有意义,应满足,即. ∴函数的定义域为.
(5)要使函数有意义,应满足,即. ∴函数的定义域为. 点拨: 要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围,可考虑用到不等式或不等式组,然后借助于数轴进行求解.
2、求抽象函数的定义域
讲解:求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域,不管“”中的“x ”被什么代换,它们都得首先遵循这一“规则”,在这一“规则”之下再去求解具体的x 的范围. 例2、已知解: 的定义域为,求,的定义域.
∵的定义域为,∴, ∴ , 即的定义域为, 由, ∴,即的定义域为.
点拨: 若的定义域为,则的定义域是的解集.
例3、已知解: 的定义域为,求,的定义域.
∵的定义域为, ∴ 即的定义域为. 又∵的定义域为, ∴,∴ 即的定义域为.
点拨:已知定义域. 的定义域,则当时,y=kx+b 的函数值的取值集合就是的
例4、已知函数
解答: 的定义域是[a,b],其中ab,求函数的定义域.
∵函数的定义域为[a,b],∴a ≤x ≤b , 若使有意义,必须有a ≤-x ≤b 即有-b ≤x ≤-a . ∵ab,∴a
点拨: 若可求得. 的定义域为及的定义域分别为A 、B ,则有借助于数轴分析
3、函数定义域的逆用
讲解:已知函数的定义域求解其中参数的取值范围时,若定义域为R 时,可采用判别式法,若定义域为R 的一个真子集时,可采用分离变量法.
例5、已知函数
解答: 的定义域是R ,求实数k 的取值范围.
①当k=0时,函数,显然它的定义域是R ;
②当k ≠0时,由函数y 的定义域为R 可知,不等式对一切实数x 均成立,因此一定有
解得0
点拨:此题是已知函数y 的定义域,据此逆向求解函数中参数k 的取值,需要将问题准确转化成不等式问题.
例6、半径为R 的圆内接等腰梯形ABCD ,它的下底AB 是⊙O 的直径,上底CD 的端点在圆周上,写出这个梯形周长y 和腰长x 的函数关系式,并写出它的定义域.
解:
如图所示,AB=2R,CD 在⊙O 在半圆周上.
设腰AD=BC=x,作DE ⊥AB .垂足为E ,连BD .
由Rt △ADE ∽Rt △ABD ,
练习:
一、选择题
1、函数的定义域是( )
A .[-2,2] B.{-2,2} C.(-∞,-2) ∪(2,+∞) D.(-2,2)
2、若函数的定义域为[-1,2],则函数的定义域是( )
A . B.[-1,2] C.[-1,5] D.
3、已知函数
数m 的取值范围是( ) 的定义域为A ,的定义域为B ,若=.则实
A .(-3,-1) B.(-2,4) C.[-2,4] D.[-1,3]
二、填空题
4、已知函数的定义域为[-1,2],那么函数的定义域是__________.
5、若函数
三、解答题
6、求下列函数的定义域: 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是__________.
① ②
③y =lg(ax -2·3x )(a>0且a ≠1)
7、解答下列各题:
(1)已知
的定义域为[0,1],求及的定义域.
(2)设的定义域是[-2,3),求的定义域.
8、已知函数
的定义域为[-1,1],求(a>0)的定义域.
9、设f(x)=lg
,如果当x ∈(-∞,1]时f(x)有意义,求实数a 的取值范围.
答案:一.1.B 2.C 3.D
提示:
1、得x 2=4,x=±2.
3、由x 2-2x -8≥0得A={x|x≥4或x ≤-2}.
由1-|x-m|>0得,B={x|m-1
二.4.
解析:由得≤x ≤1.
5.
解析:当m=0,,定义域为R ,当m ≠0,由的定义域为R 知抛物线y=mx2+4mx +3与x 轴无交点,即Δ=16m2-12m
6. 解:①. ②.
③ ∵a x -2·3x >0,∴() x >2.
当a >3时,此函数的定义域为(log2,+∞) ;
当0<a <3且a ≠1时,函数定义域为(-∞,log 2).
当a =3时,函数无意义.
7. 解:(1)设的定义域为[0,1],∴0≤t ≤1.
当t=x2,可得0≤x 2≤1,∴-1≤x ≤1,∴的定义域为[-1,1].
同理,由得, ∴的定义域是.
(2)∵的定义域是[-2,3),
∴-2≤x
8. 解:须使和都有意义. 使有意义则;使有意义则. 当时,,的定义域为;
当时,,的定义域为.
9. 解:由题设可知,不等式1+2x +4x ·a>0在x ∈(-∞,1]上恒成立,
即() 2x +() x +a>0在x ∈(-∞,1]上恒成立.
设t =() x ,则t ≥,又设g(t)=t 2+t +a ,其对称轴为t =-.
只需g() =() 2++a>0,得a>-,
所以a 的取值范围是a>-.