状态空间与simulink仿真

考虑以下系统

⎡-1-2-2⎤⎡2⎤⎢⎥⎢⎥X =⎢0-11⎥x +⎢0⎥u

⎢1⎢1⎥0-1⎥⎣⎦⎣⎦

y =[100]x

对系统设计一个状态反馈控制器使得闭环阶跃响应的超调量小于5%，且在稳态值1%范围的调节时间小于4.6S 。 1主导二阶极点方法配置极点 ○

分析：

超调量小于5%，即

-ξπ

e

1-ξ2

≤5%

算得ξ≥0. 69

稳态值1%范围的调节时间小于4.6S ，即

t s =

4. 6

σ

≤4. 6

σ≥1

下面首先对系统的能控性进行判断，以编程方式实现 a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];

b=[2;0;1]; %输入a ，b 矩阵 q=[b a*b a^2*b] rank(q)

计算结果为

⎡2-40⎤⎢⎥q =⎢010⎥

⎢11-5⎥⎣⎦

q 的秩为3

因此该系统为完全能控型系统，在满足系统要求的前提下，理论上能任意配置期望极点

下面根据具体的求解思路进行编程求解反馈控制器k

g=poly(a); %求原系统的特征方程

a2=g(2);a1=g(3);a0=g(4); w=[1 0 0;a2 1 0;a1 a2 1]; q1=[a^2*b a*b b];

p=q1*w; %求解转换矩阵 deta=1; zeta=0.75;

wn=deta/zeta; %输入满足条件的ζ和δ

den=conv([1 4],[1 2*deta wn^2]); %输入期望极点（-4,-1±0.88i ） aa2=den(2);aa1=den(3);aa0=den(4); k=[aa0-a0 aa1-a1 aa2-a2];

k1=k*(inv(p)) %输出配置矩阵k

得到k 1=[1. 47781. 64440. 0444] 下面对系统进行验证，是否满足条件 ahat=a-b*k1; bhat=b; chat=[1 0 0]; dhat=0;

sys=ss(ahat,bhat,chat,dhat); step(sys,'r'); sys1=ss(a,b,c,d); hold on; grid on;

step(sys1,'.-');

（其中sys1为未加控制器的原系统）

由图可知，系统在进行配置之前并未满足系统要求，在增加控制器之后，系统要求得到满足。

2对称根轨迹（SRL ）方法配置极点 ○

将SRL 方程写成标准的根轨迹形式 1+ρ

N (-s ) N (s )

=0

D (-s ) D (s )

由此，我们需要先将上面的状态空间形式转换为传递函数形式，编程实现如下： a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1]; b=[2;0;1]; c=[1 0 0];

d=0; [num,den]=ss2tf(a,b,c,d)

num=[ 0 2.0000 2.0000 -2.0000] den=[1.0000 3.0000 5.0000 5.0000]

下面再画出根轨迹图，寻找满足条件的ρ

num1=conv([2 2 -2],[2 -2 -2]); %此处计算的参数根据num(s)和num （-s) den1=conv([1 3 5 5],[-1 3 -5 5]); %此处计算的参数根据den(s)和den （-s) sys1=tf(num1,den1);

rlocus(sys1); %画根轨迹图

grid on;

根据系统要求ξ≥0. 69 和 σ≥1

如图所示，配置的极点将满足系统要求，现选取两组进行验证 1. ρ=2

p1=[-2.09 -1.42+0.845*1i -1.42-0.845*1i]; k1=acker(a,b,p1)

得k1=[ 0.7079 0.1931 0.5143]

如上题所写程序画出响应图（其中sys1为未加控制器的原系统）

2. ρ=3

得k1=[ 0.9271 0.2769 0.6857]

作出响应图如下（其中sys1为未加控制器的原系统）

将两个不同的ρ值阶跃响应图进行对比（sys2为ρ=3，sys 为ρ=2）

有比较可知：较小的ρ值的响应速度较慢，较大的ρ值响应速度快。

3全阶观测器的设计 ○

首先检验系统的是否完全能观 a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1]; c=[1 0 0];

q=[c;c*a;c*a*a] rank(q)

⎡100⎤⎢⎥q =⎢-1-2-2⎥

⎢-142⎥⎣⎦

rank(q)=3

说明系统是完全能观的

下面就是观测器期望极点选择，一般为了考虑观测器的响应速度要比闭环系统快，又要考虑干扰抑制，一般极点为闭环极点的2---5倍。

根据主导二阶极点方法所配置的极点为s1=-4 s2,3=-1±0.88i 选择观测器极点为s1=-12 s2,3=-3±0.88i

由此可进一步求出观测器增益矩阵l a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1]; c=[1 0 0];

pe=[-12;-3+0.88*i;-3-0.88*i]; lt=acker(a',c',pe); l=lt'

求得l=[15;1.872;-25.2592];

可得全维观测器的方程为

⎡-18. 9556⎢ =(a -bk -lc ) x x ~~+bu +ly =⎢-1. 872⎢24. 7814⎣

-5. 2888-1-1. 6444

⎡2⎤⎡⎤-2. 0888⎤15⎥⎢⎥⎢⎥-1⎥x ~+⎢0⎥u +⎢1. 872⎥y

⎢1⎥⎢-25. 2592⎥-1. 0444⎥⎦⎣⎦⎣⎦

下面可依据上式构建simulink 图，据此观察观测器的跟踪能力

跟踪效果图如下 X1

X2

X3

据此发现观测器跟踪效果较好。

4降阶控制系统设计 ○

从输出方程可以看出，此系统输出就等于第一个状态，即变换矩阵P 为单位阵，而最小阶观测器的阶次为2。

=a =b

=c =d

最小阶观测器的期望特征根选为-3±0.88i

=-1

=2

=1

⎡0⎤ ⎡0⎤ ⎡-11⎤

21=⎢⎥22=⎢2=2=[00]⎥⎢⎥

⎣1⎦⎣0-1⎦⎣1⎦

=[-2-2]

x x n -q +(21-l ) y +(2-l ) u +l y ~n -q =(22-l )

据此求观测器增益

a22=[-1 1;0 -1]; a12=[-2 -2];

pe=[-3+1i*2*7^(1/2)/3;-3-1i*2*7^(1/2)/3]; lt=acker(a22',a12',pe); l=lt'

⎡1. 5556⎤

求得l =⎢⎥

⎣-3. 5556⎦ 得到

n -q =⎢⎡2. 1112

⎡1. 5556⎤⎡-3. 1112⎤⎡1. 5556⎤4. 1112⎤

+y +u +⎥n -q ⎢⎥⎢⎥⎢⎥y

⎣-7. 1112-8. 1112⎦⎣-2. 5556⎦⎣8. 1112⎦⎣-3. 5556⎦

⎡1. 5556⎤

⎥y

⎣-3. 5556⎦

引入中间变量

η=x ~n -q -ly =x ~n -q -⎢

得最小阶观测器的状态方程为

=⎢η

⎡2. 1112

⎡-9. 778⎤⎡-3. 1112⎤4. 1112⎤η+y +⎥⎢⎥⎢⎥u

⎣-7. 1112-8. 1112⎦⎣15. 2224⎦⎣8. 1112⎦

⎡y ⎤⎢⎥x ~=⎢η1+2y ⎥

⎢η2+4y ⎥⎣⎦

下面可依据上式构建simulink 图，据此观察观测器的跟踪能力

X2

X3

由上面可见，观测器跟踪能力较好。

5带反馈观测系统的设计 ○

由分离定理可知，观测器与反馈可单独设计，互不影响。

反馈k =[1. 47781. 64440. 0444]

l=[15;1.872;-25.2592]

=(a -lc -bk ) x x ~~+bv +lcx

下面可依据上式构建simulink 图，据此观察观测器的跟踪能力

其中Gain7为增益调整设计

a=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];

b=[2;0;1];k1=[1.4778 1.6444 0.0444];

y=a-b*k1;

c=[1 0 0];

d=0;

k=1/dcgain(y,b,c,d)

k=-3.5554

或使用书本上的参考输入法计算k

⎡-1-2-2⎢⎡N x ⎤0-11⎢=⎢⎥⎢10-1⎣N u ⎦⎢00⎣12⎤⎥0⎥⎡0⎤⎢⎥ 1⎥⎣1⎦⎥0⎦-1

N U =-2. 5

N X ⎡1⎤⎢⎥ =⎢-1. 5⎥⎢-1. 5⎥⎣⎦

N =N U +KN X =3. 5554

结果相同

下面看一下系统输出对阶跃的跟踪曲线

一开始出现较大误差，但还是能跟踪上阶跃。

下面再看看系统对白噪声干扰的抑制能力

由上图可见，系统的抗干扰能力一般。

6积分控制器的设计 ○

积分控制相当于增加了额外状态，状态方程变为

i ⎤⎡x ⎡0c ⎤⎡x i ⎤⎡0⎤⎡1⎤⎡0⎤=+u -r +⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ω x 0a x b 0⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣b ⎦

由题意可知

原系统可等价于

⎡01⎡0⎤⎡1⎤00⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ i ⎤⎡x ⎡⎤0-1-2-2x 2⎢⎥i +⎢⎥u -⎢0⎥r =⎢⎥⎥⎢00-11⎥⎢⎢0⎥ ⎦⎣x ⎣x ⎦⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥010-11⎣⎦⎣⎦⎣0⎦

积分控制器的极点配置为s1=-12 s2,3=-3±0.88i s4=-4

利用编程求出k

a=[0 1 0 0;0 -1 -2 -2;0 0 -1 1;0 1 0 -1];

>> b=[0;2;0;1];

>> pe=[-12;-3+0.88*i;-3-0.88*i;-4];

>> k=acker(a,b,pe)

K=[-234.5856 -77.4275 77.3805 173.8550]

构建simulink 图有

分别加入两个阶跃，先加step1，阶跃图有

再加入step, 响应图有

在一起加step 和step1，响应如图

由此可见，积分控制系统对于干扰有很好的抑制作用，并且具有很好的跟踪效果，动态特性也相对于简单的参考输入设计有了一定的改善。

总结

从以上的设计可总结出状态空间的控制器的设计思路。

1. 首先对观测器的能观性与能控性进行判断；

2. 如果完全能观或能控，则进行以下分析；如果不是，可以进行能控与能观分解出来；

3. 如果使用原系统状态反馈，可以根据系统要求进行极点配置，进而设计出控制器；如果还需要设计观测器，可合理配置观测器极点，进而设计整个系统。

4. 如果使用观测器状态反馈，由于分离定理，观测器与反馈可分别设计，所以设计过程基本和上面一样；

5. 对于以上系统都存在较大的余差，故需设计参考输入，或者采取积分控制器都可以很好的消除稳态余差。