2011年宁夏高考数学(理科)试卷及答案.doc
2011年宁夏理科数学
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)复数
(A)
35
2i12i
的共轭复数是
35
i (C)i (D)i
i (B)
(2)下列函数中,既是偶函数哦、又在(0,)单调递增的函数是 (A)yx2 (B) yx1 (C)yx21 (D) y2x (3)执行右面的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040
(4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A) (B)
334
1
12
(C) (D)
3
2
(5)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y2x上,则
cos2=
(A)
45
45
(B) (C) (D)
5
5
33
(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的俯视图可以为
(7)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于 A,B两点,AB为C的实轴长的2倍,则C的离心率为
(A
(B
(C)2 (D)3
a1
(8)x2x的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为
xx
5
(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40 (9
)由曲线y(A)
103
yx2及y轴所围成的图形的面积为
163
(B)4 (C) (D)6
(10)已知a与b均为单位向量,其夹角为,有下列四个命题
22
P1:ab10,P:ab1,233
P3:ab10, P4:ab1,
33
其中的真命题是
(A)P1,P4 (B)P1,P3 (C)P2,P3 (D)P2,P4 (11)设函数f(x)sin(x)cos(x)(0,且f(x)f(x),则 (A)f(x)在0,
2
)的最小正周期为,
2
单调递减 (B)f(x)在
3
44
,
单调递减
(C)f(x)在0,
2
单调递增
(D)f(x)在
3
,
4
4
单调递增
(12)函数y之和等于
1x1
的图像与函数y2sinx(2x4)的图像所有焦点的横坐标
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题—第24题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)若变量x,y满足约束条件
32xy9,6xy9,
则zx2y的最小值为 。
(14)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在 x轴上,
离心率为
2
。过l的直线 交于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程
为 。
(15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,
且AB6,BC,则棱锥OABCD的体积为 。
(16)在
ABC中,B60,ACAB2BC的最大值为 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分)
等比数列an的各项均为正数,且2a13a21,a329a2a6. 求数列an的通项公式.
1
blogaloga......loga,设 n的前项和. 31323n求数列
bn
(18)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四
边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面
ABCD.
(Ⅰ)证明:PA⊥BD;
(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。 (19)(本小题满分12分)
某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
(Ⅰ)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;
(Ⅱ)已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) (20)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足MB//OA, MA•AB = MB•BA,M点的轨迹为曲线C。 (Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。 (21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)。 x2y30
alnxx1
bx
,曲线yf(x)在点(1,f(1处)的切线方程为
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)如果当x0,且x1时,f(x)
lnxx1
kx
,求k的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,D,E分别为ABC的边AB,AC上的点,且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根。
(Ⅰ)证明:C,B,D,E四点共圆;
(Ⅱ)若A90,且m4,n6,求C,B,D,E所在圆的半径。 (23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为
x2cos
y22sin
(为参数)
M是C1上的动点,P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB. (24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f(x)xa3x,其中a0。
(Ⅰ)当a1时,求不等式f(x)3x2的解集
3
与C1的异于
(Ⅱ)若不等式f(x)0的解集为x|x1 ,求a的值。
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题
(1)C (2)B (3)B (4)A (5)B (6)D (7)B (8)D (9)C (10)A (11)A (12)D 二、填空题
(13)-6 (14)三、解答题 (17)解:
(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由a329a2a6得a339a42所以q2可知a>0,故q
13
19
x
2
16
y
2
8
1 (15
) (16
)
。有条件
。
13
由2a13a21得2a13a2q1,所以a1(Ⅱ )bnlog1a1log1a1...log1a1
(12...n)
n(n1)2
。故数列{an}的通项式为an=
13
n
。
故
1b1
1bn
2n(n1)
1bn
2(
1n
1n1
)
1b2
...2((1
12
)(
12
13
)...(
1n
1n1
))
2nn1
所以数列{的前n项和为
bn
12nn1
(18)解:
(Ⅰ )因为DAB60,AB2AD,
由余弦定理得BD 从而BD2+AD2= AB2,故BDAD 又PD底面ABCD,可得BDPD
所以BD平面PAD. 故PABD
(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则
A
1,0,0,B0
0,C0,P0,0,1。
AB(0),PB(0,1),BC(1,0,0)
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则
0
z0
因此可取n= 设平面PBC
mPB0
的法向量为m,则
mBC0
可取m=(0,-1,) cosm,n
7
7
故二面角A-PB-C的余弦值为 (19)解
(Ⅰ)由实验结果知,用A配方生产的产品中优质的平率为以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由实验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
228100
=0.3
,所
3210100
0.42,所以
(Ⅱ)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间
90,94,94,102,102,110
的频率分别为0.04,,054,0.42,因此
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为
X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解:
MB
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以
MA
=(-x,-1-y),
=(0,-3-y), AB=(x,-2).再由愿意得知(MA+MB)• AB=0,即
(-x,-4-2y)• (x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=
14
x2-2.
14
(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C:y=率为
12
x2-2上一点,因为y'=
12
x,所以l的斜
x0
12
2
因此直线l的方程为yy0则O点到l
的距离d
1dx0(xx0),即x0x2y2y0x0。
2
又y0
14
x02
2
,所以
x042
12
2,
当x02=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2. (21)解:
(x1
lnx)
bx
2
(Ⅰ)f'(x)
2
(x1)
f(1)1,
1
由于直线x2y30的斜率为,且过点(1,1),故1即
2f'(1),
2
b1,a1 b,22
lnxx1
1x
解得a1,b1。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,所以
kx
2
f(x)(
lnxx1
)
11x
2
(2lnx
(k1)(x1)
x
2
)
。
2
考虑函数h(x)2lnx
(k1)(x1)
x
2
(x0),则h'(x)
(k1)(x1)2x
x
2
。
(i)设k0,由h'(x)故
k(x1)(x1)
x
2
2
知,当x1时,h'(x)0。而h(1)0,
当x(0,1)时,h(x)0,可得
11x
2
h(x)0;
1
2
当x(1,+)时,h(x)0,且x1时,f(x)-((ii)设0
11k
11k
1x
lnxk
h(x)>0 )>0,即f(x)>
lnxx1
x1
+
x
+
kx
.
)时,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故h’ (x)>0,
11x
2
)时,h(x)>0,可得h(x)
(iii)设k1.此时h’ (x)>0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得
11x
2
h(x)
综合得,k的取值范围为(-,0] (22)解:
(I)连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中, AD×AB=mn=AE×AC, 即
ADAC
AEAB
.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。
(Ⅱ)m=4, n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故 AD=2,AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.
由于∠A=900,故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 (23)解:
(I)设P(x,y),则由条件知M(
X2,Y2
12
(12-2)=5.
).由于M点在C1上,所以
x4cos
即
y44sin
x
2cos,2
y22sin2
从而C2的参数方程为
x4cosy44sin
(为参数)
(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为4sin,曲线C2的极坐标方程为8sin。 射线射线
3
与C1的交点A的极径为14sin与C2的交点B的极径为28sin
3
, 。
3
3
所以|AB||21|(24)解:
(Ⅰ)当a1时,f(x)3x2可化为|x1|2。 由此可得 x3或x1。
故不等式f(x)3x2的解集为{x|x3或x1}。 ( Ⅱ) 由f(x)0的 xa3x0 此不等式化为不等式组
xaxa或 xa3x0ax3x0
xaxa即 xa 或aa 42
a
2因为a0,所以不等式组的解集为x|x
由题设可得a
2 = 1,故a2