二阶常微分方程的级数解法及本征值问题
对于 k 0,解 为 Rr ) ( Cr l D rl( ) 1;对 k于 0 可, 令x rk, (r ) R
2x
y( )x, 可以成写:
2 1 2 x y xy " x ' l 0 ,即y 得 l /1 2 的贝阶塞尔方。程 2
2b)(柱标系坐亥姆中霍方兹程的离分量变
1
u 1 2 u 2u 22 2 k 2v 2 0 z
令 (v ,, z ) (R ) ( )Z z )(, 离出分三个程:方
" 0 , ( 2) (
)
()1 () (3)
2Z " 2 Z 0 d R 12dR 2 k 2 2 R 0 2 d d
由1)式易(, 得 ( ) cAo sm Bs in , mm 01, 2,, 记数常 k2 2,做并换代x (3) 式以化为:
d可2 R 1R dm 2 y ' m 2 , m阶塞贝方尔程 。( 1 R 0 " 1 2 R 0 )y x dx x 2 dxx 2x
综上
所,述用球标和柱坐标对坐拉拉斯方普、波动方程程输运方程进、分 离变量,行一般来 说 ,会到得一特殊的变系些的数常微分程,方 如联关勒德让程、方 勒德让程、 贝方塞方程尔球和贝塞方尔等,程只有讨 了这些论程的解方和征本 问值题,才在正交能曲线坐系标中分离将量变进行到底。法书本 .9 2节-.49节 ,以 及第、十十章都一关于是这些特殊微分常程方的求问解题内容,对独相立而, 在求解且体的具理问题时,物往往需只用要这些到特函殊数的结论,故们我将最 进行简要介绍后。
本章
习题
2P7:13, 题3
0
1
E Fln () 1 0 ,Z ( z ) C Dz; R mm E F
m m 01 ,,3,2
2) (0 , Z z( ) C
e
ze D
z
d
2 dR R 令 , 则方(程)4化为 可 2 m 2 0R,称 为m 阶贝 塞2d d
2
尔方。 程3) ( 0 ,计 2 ,则方0(程3解):得Z (z ) Cc o zs D isn z , 于方对程(4)并,代作: 换 ,则 方(4)可程化 : 为2
d R2dR 2 m 2 R 0, 为称宗虚贝塞量尔程方2 dd
在交坐正标(球坐系标柱坐标系和中)亥姆的兹霍方程的分变离求量解。球 坐标:于 对 v k v2 0,代 入坐球的标拉拉普斯达表式:得
1 2 1v v 1 v s2n i k 2v 0 r 2rs n 2i 2 2r r r 2 ris n
v(r令, ,) R ( )Yr (, ,可得)
1 : 1Y 2 Y l( l1) Y 0 () 1sni in s is n2 2
d
2 d R22 r kr
l (l 1) R0 dr dr
(2)
(第)式可以进1一分离变步量得到: ( ) A c osm B isnm m , 01,, ,
d2 2d m 2 和连带 勒德让程: (方 1 ) 2 (l l ) 0 1 , co s1 2 d d2
2
连勒让带德程隐方含 1 ( 0 ,)的自然 界边条件成构征值问题本, 决定l 只能整取值数 第。2()式 r 2即
d
2R R 2r d 2 rk 2 l ( l1) 2 R 0,叫 做 l阶球塞贝尔程。 d方r rd
9
上次课回顾
:在正 交坐系(标球标和柱坐标系)中坐的普拉拉方程 u 斯 0 的分变量求解。
1 离 2 u 1 u1 2 uin s r 0 r 2r r r 2is n r 2 ins 2 2
球标坐中: u
分离
量变 u (:r ,, ) (R )Y r( , ) 可,得:
d2 Rd dr r d r l (l )1 R0 2 1 sin Y 1 Y l (l 1Y ) 0 sni 2 2 sin
第一式为解: R(r )Cr lD
r1 l 1
第二式球函数方程,进一为分步变离:量Y ( , ) ( )( ),得
:( 2 ) ( ), ' ' 0, d d 2 si nd si d n l ( l ) si1 n 0
解得: () Acos m Bsin m
d2 d 2m 令 cos 第,二式为 :1( ) 2 (ll 1 ) 0称为 l 阶关 1 2 2dd
2
(联连带勒)德方让程
。柱
标坐中 :u
1
u 12u 2 u 2 2 2 0 z
分变离量: u (, , )z (R )() Z ( z
)'' 0 2 2 d R dR 2 "Z dR 2 R d Z
(1)
()
2结合自
然期周件条解,: 得 () Acso m Bs i nmZ "
Z0
3) ((4
又,)
d
2R1 d R m2 R0 d d2 2
8对
于 k ,可0把自以量 r 和变 Rr ( )别分用 和xy (x) 代换做,
x k r, R r )(
2
x
(
注 x 和意y ( x 只是代换)式不形直是角坐标 ) y (。x) ,
2 1 2 阶l贝塞尔球方可程以写成 : xy" xy ' x l y 0,即得 l /1 2 的贝阶 2 2
塞方尔,程体求解后面具将体介具。绍 b()坐柱系中亥姆霍兹方程标的分变量
离1
u 12 u u 2 2 2 2 k 22 v 0 z
柱坐系标与球标系中坐讨的类似论令, ( v , ,
z R() ) ( ) Z( z) ,引入 个常数
两和 2, 不分难出三离个程:方
" 0 , ( 2 ) ( )
(1
(2))(3 )
Z
" 2 Z 0 2d 1 dRR 2 k 22 0 R2 d
d由(1)易式得, m 2,
m 0, , 1,2 ; ( ) A oc s mB s i nm
记数 常 k2 2, 即 k 2 2 ,(3)式改可写:
为d 2 R1 R d m2 R0 相,应作变量代换:地x ,以可为化:2 d 2d
d
2 1R d R 2 m ' m2y m ,贝塞尔阶程方 ( 。R y 10 " 1 2 R 0 ) d x 2x dx x 2 x x
7
第2()式偏是分方程,微称亥姆为霍方兹程。 样地同对于输,运程方 u t a 2u 0 同样 作分离量变换代,可得以:
到 ' T 2k a2 T 0 v kv 0
2
()3 4()2
2
(3第式)解 T为( )t Ce k
a
,第t4(式也)亥姆霍兹是方程。
若欲
用分离量法来变解求述上理方程, 则数必须对姆亥兹霍方和程拉普拉斯程 方进分行离量。变2、 亥霍兹方程姆的离分量变( a球坐标)系中亥霍兹姆程的方分离变 对于 量v k 2v ,代入球0坐的标普拉斯表达拉式得
1: 2 v 1 v 1 2 vk 2v 0r 2 is n2 2 2 2 rr r rs i n r sin
首先
离变量分 r变和 量 , ,令v(r , , ) (R )r (Y, ) 入上代,式用r 2 /R Y乘 并移遍得项
1: d 2 d 2R2 1 r Y r ks i R nd rd r siY n 1 2 Y 2 2 Y si n
上式
成立条件的为于某一等常,令为 l数 l (1 ,)可便分成两解个方:
程1 Y 1 2 Y l ( l1) Y0 1() s in si n s ni 2 2
d2 d R k 2 2r l l ( 1) r R 0dr d r
(2
第(1))式前在面球坐对标的普拉拉斯方程行进离变量分已时得到经,它以可 进一分离变量得步: (到) A co sm sBi mn m, 01, 2,,
d 2 dm 2 和连带勒德方程让 :1 ( ) 2 l (l 1) ,0 co s1 2 d2 d
2
连带勒让
方程隐德 含 1 ( 0 ),的自边界然条构件本征值成题问 ,定 l决 只取整能值。数 (2)第式即r 2
2d RdR 2 rk 2 r 2 l ( l ) 1 2 R 0 ,叫 做 阶l球塞尔方程。贝d rdr
对于
k 0 上式,是拉方欧程,解为 Rr() C rl D r l( ) ;
61
对方程于4)(通常先作代换:, ,则
d dR R d d R
, d dd d
d dd2 dR dR dR d 2 R d 2 d d d d2 d d
故方 (程4)可化:
为d 2R 1d R 2m 1 R 0 d2 d 2
即:
2
d2R Rd 2 m 2 R 0 ,称为 m 贝塞尔阶方。 程2d d
(程形式为: x 2方 y " yx' x 2m 2 0 ) (y)3 0 计 , 2 0,则方程3)(写成:可 Z" Z 2 0 ,解得 : Z( z ) Cc os z Dinsz ,若附加柱体上 底面下 z (z1和 z z2 的)次齐 界边件,条构便成本征值问,决定题 的能可数值,而从定决 2 本的值。 证对于方(4程)以, 2代 入,作并代换: ,则方(程)可化4:为d
2 R 1 d R m 2 1 R ,0 d2 d 2 2d Rd R: 即 2m 2 R 0 称为,虚量宗贝塞尔方 程2d d
2(方程
形为:式 x2y " xy ' x 2 m y2 0 )。
、亥姆霍二方兹程
1、亥霍姆方兹程形式 的察三考的齐维次波动方程: utt a2 u 0,如我们把时果变间量 t的 元函数离分出 来,令 即 u( x y,,z ; t) (tT) ( v, yx , z) 则,入波动代程方得可 T : " av T2v 0, 即:
T" v 2 k分,为解两微分方个程 2 aT :v
T "k 2a T2 0 2v k v
(1)0( )2k
0 k
0
T ( t) Ct 第D()式1为悉熟形,解式: 为ika tikt aT(t ) Ccso kat sDnika t , Ce 或D
e
5(
1 )2
d2 d 2 l (l 1) , 0 l 为阶 勒 让 德 方 程。 方程形式为(:2 d
d(1 x 2)y "2 yx' l ( l1 )y 0具 解及解体性质在的特殊函部分介数)绍
、柱3标坐系中u 0 的离分量法变 坐标柱普拉拉斯程方: u
1 u 1 u2 2 u 22 2 0 z
试
分以离量的变形式: u (, , z ) R( ) ( ) Z( z 代)拉普拉斯入程方得 :Z
d 2R Z dR R Z ' R'Z " 0 d2 d
2
2d 2 R d Z" 'R ' 用/ R Z 乘遍项并各项得移 : 2 R2 dR d Z
2
两边实际
对应同上一个常数记为, ,则得可个两微常方程分:
'' 0 22 d R d R 2" Z d R 2 R d Z
(1)
( 2)
第()式1结自然合周条件 期 (2 ) ( ),求可出本征值本征函数和
:
m2 ( m 1, ,2, )3
2,
( ) A co sm siB nm
21
d R2 1d m 2 RZ"将 m入代(2式并遍乘)1/ 移,项: 得 2 2 R d dR Z
等式边两对不同的应独函数立因此,只等于有数常才保证能等相记为, ,可
Z " Z 0(
)3(4)
得 两个常分微方程
:d2 R 1d R m2 R 0 d2 d 2
分 0, 0, 0三情况分别种考虑: 1)( 0 ,程方3)(得解 : ( Zz) C Dz ;
E F l n 方(4)为欧程拉程,解方得: R mm E F m0 m1, ,3,
2
z(
2 0 )方程,(3)解得 : Z( ) z Ce
z
e
D4
第
式为:一r 2
d
R 2Rd r 2l(l 1 )R 0,2 r dr d1r l
是欧拉型1常分微方程解为: R (, r) C l r
第二D为式函数方程球,含有 和 两个变,可以进量一步分离量变
:Y (
, ) ( ) ( ) 代,入函求数程方得:
d d d2 si n l (l 1) 0 sin d d sn i2 d 2
用
sin2 sin d d 1 d 22 ll is ( 1) nsin遍 各项并乘移得项: d d d2
'' 0 d d (l l) 1sn i 2 sin sni 0 d d (2 ) ( ), 然自期周条件
到得微分常方程
可:解本得征:值 =m 2(m 01, ,, 2 本征)函数:为 ( ) Aco sm Bsin m
1d d m 2将本征 值 入 代的 方,程: 得ins l l( 1 2) 0 in sd ins d
们我 用 a rcosc 即 , c os ,而得从:
到 d dd d in sd dd d
d1 d 1 d d d d d 2 1 ( 2 ) sin sn i ins d sind dd d d d
(利用
d
in s )d
dd 2 m d2 0,(1 () 1 l )l 1 2 d
所
以 的程为方:
:即( 12)
d
2 d m2 0 2( 1) l l1 2 d2 d
称为l 阶 关(连联带)让勒方德程其, m中 0 为时
3
:(
)
3
21
2)( 得:
2u 1 2 u 2 u2u1 u u 2 22 os c sin 2 2 x x y y
上
两边式上加
2
u并 合(结1)式:得 z2
1 u 2 u 1 2 2uu 2u 2u 2u 1 u 22 2 2 2 u 2 2 z x y z
即得
:u
2u 1u 1 2u 2u , 2 2 2
z2
或u
1 u 1 2 u2 u 2 2 2 ,即 为柱标坐中u 的 表式。达 z
1
u 1 2u 极坐即为标z 0 时的特例,: 即u 22
类用似的方法可得坐标中的 球 表达式u
:u 1 2 u 1 u 1 2 u sin r r2 si n 2 2r 2 r r 2r sin
2
、坐球标中 系 u 0的分变离法量 首,把先离距量和变方向量分离:变
u( r ,, ) (r )YR (, ) 代入球
标坐的 u 中表达得:式
Y 2Y Y d 2 dR R R in s 0 r r si2n2 r22 dr d r r2 sin
用
r 2遍各乘项并移项得: RY,
( 令 l( l 1 ))
1 d2 Rd 1 Y 1 Y 2si n r Ysin 2 2R dr d r Y isn
两
含边不有同变量的,式等成的条立为件等于一个同数常,为即 ll( 1) 即,得:
d 2 d R d r rdr l (l 1) R 0 2 1 in sY 1 Y l(l 1 Y ) 0 isn 2 2 isn
2
.9 正1坐交标系的下分离量
分离变量变法往是在往直坐角系标和平极面标系中坐来定求问题解 有边,条界件确 的本定征数都是函角函数三 但实际问题不,可能都是样这的平面坐标系,往 边往 界条多种件多,样 比真实的如理体物往往系三是的维 圆,型和球柱型就是很圆常 见的界,边相地应我们采要球坐标用和柱坐标求解比较来方便。球 坐与直角坐标标关的:
系
2 22 0 r , x ry z, x r isn co s x 2 y 2 arcta ,n0 , , y r si sin n z z r co s y . arctan , x 柱
标与直坐坐标角关的
系x cos y sin , zz 2x y y2 arctnax z z
0
, , z .
注意 z
0时 为即极坐。球标标坐和坐柱标种这由族三相互交正曲面的而定义的坐标 系为正交称线坐曲系标
。
一、普拉拉方斯 u 程 01、
交正面坐标曲下系的u 表的式达 柱以坐标为:例
uu x u y u cuso in s x y x y
1(
) 2ux 2u y u2 2u x 2u y 2 cos sin 2 x 2 xy y x y 2 u
2u 2u2 22 osc 2 s i ncso 2sin x xy y
(
2)
类地似
:uu u sin co s y
x
22 u 2 2 2 u2 u si n 2 sni cos 2 x 2xy
u 2u uc o s 2 oc ssin 2y y x
2
(3
)
1