三角形全等及动点问题的培优(刘老师)

一、填空题

1．_____的两个图形叫做全等形.

2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____上．

3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．

4．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．

图1－1

5．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____ （2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；

（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．

图1－2

图1－3

6．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．

7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 二、选择题

8．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是 （ ） A．DB B．BC C．CD D．AD 9．下列命题中，真命题的个数是 （ ）

①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A．4 B．3 C．2 D．1

10．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于 （ ）

A．6 B．5 C．4 D．无法确定

图1-4 图1-5 图1-6

11．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于 （ ）

A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC

12．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为 （ ）

A．40° B．35° C．30° D．25° 三、解答题

13．已知：如图1－7所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB

的度数．

图1－7 图1－8 图1－9 一、填空题

14．如图1－8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠

α的度数为______．

15．已知：如图1－9，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．

（1）求∠F的度数与DH的长；（2）求证：AB∥DE．

16．如图1－10，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．

图1－10

一、填空题1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等． 2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是_____

___________________________________________________________________________．

3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了．

图2－3

4．已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点． 求证：RM平分∠PRQ．

分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______， 只要证______≌______

证明：∵ M为PQ的中点（已知），∴______＝______在△______和△______中，

RPRQ(已知),

∴______≌______（ ）．∴ ∠PRM＝______（______）． PM______,

____________(),

即RM平分∠PRQ

5．已知：如图2－2，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF. 求证：∠A＝∠D．

分析：要证∠A＝∠D，只要证______≌______． 证明：∵BE＝CF （ ），∴BC＝______． 在△ABC和△DEF中，

AB______,

BC______,

AC______,

∴______≌______（ ）．∴ ∠A＝∠D （______）． 6．如图2－3，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB， 求证：△ABC≌△BAD．

证明：∵CE＝DE，EA＝EB，

∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC和△BAD中， ＝______（已知），

已知),____________(

已证), ____________(

____________(),

∴△ABC≌△BAD （ ）． 一、解答题

7．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.

图2－4

8．画一画．

已知：如图2－5，线段a、b、c．

求作：ΔABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．

图2－5

9．“三月三，放风筝”．图2－6是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．

图2－6

10．画一画，想一想：

利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角，你能说明其作法的理论依据吗？

1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”．

2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等

图3－2

一、填空题

1．全等三角形判定方法2——“边角边” （即______）指的是______

___________________________________________________________________________． 2．已知：如图3－1，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB． 求证：∠D＝∠B．

分析：要证∠D＝∠B，只要证______≌______ 证明：在△AOD与△COB中，

AOCO(),

____________(), OD______(),

∴ △AOD≌△______ （ ）．∴ ∠D＝∠B （______）． 3．已知：如图3－2，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC． 分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______， 又需证______≌______． 证明：∵ AB∥CD （ ）， ∴ ∠______＝∠______ （ ）， 在△______和△______中，

____________(),

____________(), ____________(),

∴ Δ______≌Δ______ （ ）．∴ ∠______＝∠______ （ ）． ∴ ______∥______（ ）．

一、解答题

4．已知：如图3－3，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD． 求证：∠B＝∠C．

图3－3

5．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD． 求证：∠B＝∠C．

图3－4

6．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2． 求证：BC＝DE．

图3－5

7．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．

图3－6

一、填空题 1．（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即______）指的是______

___________________________________________________________________________； （2）全等三角形判定方法4——“角角边” （即______）指的是______

___________________________________________________________________________．

图4－1

2．已知：如图4－1，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN． 分析：∵PM＝PN，∴ 要证AM＝BN，只要证PA＝______， 只要证______≌______．

证明：在△______与△______中，

____________(

____________(),____________(

),

),

∴ △______≌△______ （ ）．∴PA＝______ （ ）． ∵PM＝PN （ ），∴PM－______＝PN－______，即AM＝______． 3．已知：如图4－2，ACBD．求证：OA＝OB，OC＝OD． 分析：要证OA＝OB，OC＝OD，只要证______≌______． 证明：∵ AC∥BD，∴ ∠C＝______． 在△______与△______中，

AOC______(),

C______(),

____________(),

∴______≌______ （ ）．∴ OA＝OB，OC＝OD （ ）．

图4－2

二、选择题

4．能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ） A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E

5．如图4－3，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）

图4－3

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙

6．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（ ） A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 三、解答题

7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由． 答：△AOD≌△COB．

证明：在△AOD和△COB中，

图4－4

AC(已知),

OAOB(已知),

AODCOB(对顶角相等),

∴ △AOD≌△COB （ASA）．

问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？

8．已知：如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB． 求证：AD＝AC．

图4－5

9．已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ． 求证：HN＝PM

.

图4－6

10．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE＝4．求BM、CF的长． 11．填空题

（1）已知：如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，

理由为______．

（2）已知：如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是

______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．

图4－7 图4－8

12．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．

（1）请证明AD＝A'D'；

（2）把上述结论用文字叙述出来；

（3）你还能得出其他类似的结论吗？

图4－9

13．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，

E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．

图4－10

（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．

①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

图4－11

一、填空题

1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是_____． 2．直角三角形全等的判定方法有_____ （用简写）．

3．如图5－1，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．

图5－1

4．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（4）两直角边对应相等； （ ）

（5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） 二、选择题

5．下列说法正确的是 （ ）

A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D．一边长相等的两等腰直角三角形全等

6．如图5－2，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（ ）对全等三角形． A．3 B．4 C．5 D．

6

图5－2

三、解答题

7．已知：如图5－3，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC． 求证：（1）AB＝DC： （2）AD∥BC．

图5－3

8．已知：如图5－4，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD． 求证：AD＝BC；

图5－4

9．已知：如图5－5，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC． 求证：ED⊥AC．

图5－5

10．已知：如图5－6，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.

求证：AB∥DC.

11．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON （如图5－7），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．

图5－7

12．下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并作图举出反例．

（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） 13．（1）已知：如图5－8，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝

CF．

求证：BO＝DO．

图5－8

（2）若∠AOB为锐角，其他条件不变，请画出图形并判断 （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 一、填空题

1．两个三角形全等的判定依据除定义外，还有①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．

2．如图6－1，要判定ΔABC≌ΔADE，除去公共角∠A外，在下列横线上写出还需要的两个条件，并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据． （1）∠B＝∠D，AB＝AD（ ）；（2）_____，_____（ ）；（3）_____，_____（4）_____，_____（ ）；

（5）_____，_____（ ）；（6）_____，_____（ ）；（7）_____，_____（ ）．

3．如图6－2，已知AB⊥CF，DE ⊥CF，垂足分别为B，E，AB＝DE．请添加一个适当条件，使ΔABC≌ΔDEF，并说明理由

添加条件：_________________________________________________________________， 理由是：___________________________________________________________________．

4．在ΔABC和ΔDEF中，若∠B＝∠E＝90°，∠A＝34°，∠D＝56°，AC＝DF，贝ΔABC和ΔDEF是否全等？答：______，理由是______． 二、选择题

5．下列命题中正确的有 （ ）个

①三个内角对应相等的两个三角形全等； ②三条边对应相等的两个三角形全等；

③有两角和一边分别相等的两个三角形全等； ④等底等高的两个三角形全等． A．1 B．2 C．3 D．4

6．如图6－3，AB＝CD，AD＝CB，AC、BD交于O，图中有 （ ）对全等三角形． A．2 B．3 C．4 D．

5

图6－3

7．如图6－4，若AB＝CD，DE＝AF，CF＝BE，∠AFB＝80°，∠D＝60°，则∠B的度数是 A．80° B．60° C．40° D．20°

8．如图6－5，△ABC中，若∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF，则∠EDF＝ （ ） A．90°－∠A B．90o



1

2A C．180°－2∠A

D．45o

12

A

图6－4 图6－5 图6－6

9．下列各组条件中，可保证△ABC与△A'B'C'全等的是 （ ） A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C' B．AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠B＝∠B' C．AB＝C'B'，∠A＝∠B'，∠C＝∠C' D．CB＝A'B'，AC＝A'C'，BA＝B'C'

10．如图6－6，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是 （A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 一、解答题

11．已知：如图6－7，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．

求证：BD＝CE．

） ）

（

12．已知：如图6－8，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．

（1）求证：AC与BD互相平分；

图6－8

（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.

13．如图6－9，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？

图6－9

14．如图6－10，△ABC的三个顶点分别在2×3方格的3个格点上，请你试着再在格点上找出三个点D、E、F，使得△DEF≌△ABC，这样的三角形你能找到几个？请一一画出来．

图6－10

15．请分别按给出的条件画△ABC （标上小题号，不写作法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？

①∠B＝120°，AB＝2cm，AC＝4cm；②∠B＝90°，AB＝2cm，AC＝3cm； ③∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝3cm；④∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝2cm； ⑤∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝1cm；⑥∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝1.5cm． 解答题

1．如图7－1，小明与小敏玩跷跷板游戏．如果跷跷板的支点O （即跷跷板的中点）到地面的距离是50 cm，当小敏从水平位置CD下降40 cm时，小明这时离地面的高度是多少？请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理．

图7－1

2．如图7－2，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35 cm，B点与O点的铅直距离AB长是20 cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35 cm，画CD⊥OC，使CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．

图7－2

3．如图7－3，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试判断三只石凳E，M，F恰好在一直线上吗？为什么？

图7－3

4．在一池塘边有A、B两棵树，如图7－4．试设计两种方案，测量A、B两棵树之间的距离． 方案一： 方案二：

图7－4

一、填空题

1．_____叫做角的平分线．

2．角的平分线的性质是___________________________． 它的题设是_________，结论是_____．

3．到角的两边距离相等的点，在_____.所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是_____． 4．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系． （1）如果一个点在角的平分线上，那么_____；

（2）如果一个点到角的两边的距离相等，那么_____； （3）综上所述，角的平分线是_____的集合． 5．（1）三角形的三条角平分线_____它到___________________________． （2）三角形内，到三边距离相等的点是_____． ．．．．6．如图8－1，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为_____cm．

图8－1

二、作图题

7．已知：如图8－2，∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC．

作法：

8．已知：如图8－3，直线AB及其上一点P．求作：直线MN，使得MN⊥AB于P．作法：

图8－3

9．已知：如图8－4，△AB C．

求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等． 作法：

图8－4

10．已知：如图8－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求证：DE＝DF．

图8－5

11．已知：如图8－6，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．

求证：OB＝OC

.

图8－6

12．已知：如图8－7，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）

图8－7

13．已知：如图8－8，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都

相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？

图8－8

14．已知：如图8－9，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？若存在，请找出此点，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．

图8－9

一、选择题

1．如图9－1，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是 （ ） A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC

图9－1

2．如图9－2，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（ ）

1

A．mn

3C．mn

1

B．mn

2D．2

mn

图9－2

二、填空题

3．已知：如图9－3，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．

图9－3

4．已知：如图9－4，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．

图9－4三、解答题

5．已知：如图9－5，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.

求证：CM＝CN．

图9－5

6．已知：如图9－6，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F. 求证：一点F必在∠DAE的平分线上．

图9－6

7．已知：如图9－7，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△PAB的面积与△PCD的面积相等．

求证：射线OP是∠MON的平分线．

图9－7

8．如图9－8，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．

图9－8

9．已知：如图9－9，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）求证：AM平分∠DAB；

（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．

图9－9

10．已知：如图9－10，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．

图9－10

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． C M

C

B A B

D 图3 图1 N 图2

2 （锦州）如图A，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE． （1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；

（2）将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； （3）若将图A中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；

（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．

3.如图（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；

（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其

他条

件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°； （3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他

条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．

4、

如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．

（1）如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC=PD．

（2）如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．

（3）如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD相等吗？直接写出你的结论，不需证明．

5.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60

°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的

60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），

你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

6.如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图，B点与C点重合时，如图，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说 明理由

7.如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，求证：AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？请说明理由．

8.在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF． （1）求证：△ADF≌△CEF

（2）试证明△DFE是等腰直角三角形

9.、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角

形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

图1 图2 图3

10、如图，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

11.在△ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，．．使ADAE，DAEBAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC90°，则BCE 度； （2）设BAC，BCE．

①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在BC边的延长线上时有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

A

A

E

图1

A C D 图2 A E

B

备用图 C B 备用图 C

12、已知，点O为等边三角形ABC的内心，直线m过点O，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F．当直线m与BC平行时（如图1），易证：BE+CF=AD

图1：图2：图3：

13、将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45°和30°的两个角顶点重合在一起．

(1)如图1所示，边OA与OC重合，此时，AB∥CD，则∠BOD______；

(2)三角板△COD的位置保持不动，将三角板△AOD绕点O顺时针方向旋转，如图2，此时OA∥CD ，求出∠BOD的大小；

(3)在图2中，若将三角板△AOB绕点O按顺时针方向继续旋转，在转回到图1的过程中，还存在△AOB中的一边与CD平行的情况，请针对其中一种情况，画出图形，并直接写出∠BOD的大小．

21