2016年广东省梅州市中考数学试卷

2016年广东省梅州市中考数学试卷

一、选择题：每小题3分，共21分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．

1．（3分）（2016•梅州）计算：（﹣3）+4的结果是（ ）

A ．﹣7B ．﹣1C ．1D ．7

2．（3分）（2016•梅州）若一组数据3，x ，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为（ ）

A ．3B ．4C ．5D ．6

3．（3分）（2016•梅州）如图，几何体的俯视图是（ ）

A ．B ．C ．

2D ．3 4．（3分）（2016•梅州）分解因式a b ﹣b 结果正确的是（ ）

2222A ．b （a+b）（a ﹣b ）B ．b （a ﹣b ）C ．b （a ﹣b ）D ．b （a+b）

5．（3分）（2016•梅州）如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B=55°，则∠1等于（ ）

A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°

6．（3分）（2016•梅州）二次根式

A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ≥2D ．x ≤2

7．（3分）（2016•梅州）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b=，这里等式有意义，则x 的取值范围是（ ） 右边是实数运算．例如：1⊗3=．则方程x ⊗（﹣2）=﹣1的解是（ ）

A ．x=4B．x=5C．x=6D．x=7

二、填空题：每小题3分，共24分．

8．（3分）（2016•梅州）比较大小：﹣2﹣3．

9．（3分）（2016•梅州）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为，那么口袋中小球共有 个．

10．（3分）（2016•梅州）流经我市的汀江，在青溪水库的正常库容是6880万立方米．6880万用科学记数法表示为 ．

11．（3分）（2016•梅州）已知点P （3﹣m ，m ）在第二象限，则m 的取值范围是．

212．（3分）（2016•梅州）用一条长40cm 的绳子围成一个面积为64cm 的矩形．设矩形的一

边长为xcm ，则可列方程为 ．

13．（3分）（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，若S △DEC =3，则S △BCF =

14．（3分）（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x +2x+3与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 ．

2

15．（3分）（2016•梅州）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，

点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （，0），B （0，2），则点B 2016的坐标

为 ．

三、解答下列各题：本题有9小题，共75分．解答应写文字说明、推理过程或演算步骤．

16．（7分）（2016•梅州）计算：．

17．（7分）（2016•梅州）我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛，要求参赛学生

（1）表中x 的值为 ，y 的值为 ；（直接填写结果）

（2）将本次参赛作品获得A 等级的学生依次用A 1、A 2、A 3…表示．现该校决定从本次参赛作品获得A 等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，则恰好抽到学生A 1和A 2的概率为 ．（直接填写结果） 18．（7分）（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P ，连 接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．

（1）四边形ABEF 是

；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）

（2）AE ，BF 相交于点O ，若四边形

ABEF 的周长为40，BF=10，则AE 的长为 ，∠ABC= °．（直接填写结果）

19．（7

分）（2016•梅州）如图，已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （2，5）在反比例函数y=的图象上．一次函数y=x+b的图象过点A ，且与反比例函数图象的另一交点为B ．

（1）求k 和b 的值；

（2）设反比例函数值为y 1，一次函数值为y 2，求y 1＞y 2

时x 的取值范围．

20．（9分）（2016•梅州）如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．

2221．（9分）（2016•梅州）关于x 的一元二次方程x +（2k+1）x+k+1=0有两个不等实根x 1、

x 2．

（1）求实数k 的取值范围．

（2）若方程两实根x 1、x 2满足x 1+x2=﹣x 1•x 2，求k 的值．

22．（9分）（2016•梅州）如图，平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A=45°，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE=DF，连接EF 交BD 于O ．

（1）求证：BO=DO；

（2）若EF ⊥AB ，延长EF 交AD 的延长线于G ，当FG=1时，求AE 的长．

23．（10分）（2016•梅州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤5），连接MN ．

（1）若BM=BN，求t 的值；

（2）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；

（3）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．

224．（10分）（2016•梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x+bx+c过A ，B ，

C 三点，点A 的坐标是（3，0），点C 的坐标是（0，﹣3），动点P 在抛物线上．

（1）b= ，c= ，点B 的坐标为 ；（直接填写结果）

（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．

2016年广东省梅州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共21分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．

1．（3分）（2016•梅州）计算：（﹣3）+4的结果是（ ）

A ．﹣7B ．﹣1C ．1D ．7

【考点】有理数的加法．

【分析】根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，可得答案．

【解答】解：原式=+（4﹣3）=1．

故选：C ．

【点评】本题考查了有理数的加法，先确定和的符号，再进行绝对值的运算．

2．（3分）（2016•梅州）若一组数据3，x ，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为（ ）

A ．3B ．4C ．5D ．6

【考点】众数；中位数．

【分析】根据众数的定义先求出x 的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案．

【解答】解：∵一组数据3，x ，4，5，6的众数是3，

∴x=3，

把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，4，5，6，

最中间的数是4，则这组数据的中位数为4；

故选B ．

【点评】本题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．

3．（3分）（2016•梅州）如图，几何体的俯视图是（ ）

A ．B ．C ．D ．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．

【解答】解：从上面看，几何体的俯视图是．

故选：D ．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．

4．（3分）（2016•梅州）分解因式a b ﹣b 结果正确的是（ ）

2222A ．b （a+b）（a ﹣b ）B ．b （a ﹣b ）C ．b （a ﹣b ）D ．b （a+b）

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】直接提取公因式b ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．

23【解答】解：a b ﹣b

22=b（a ﹣b ）

=b（a+b）（a ﹣b ）．

故选：A ．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．

5．（3分）（2016•梅州）如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B=55°，则∠1等于（ ）

23

A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°

【考点】平行线的性质．

【分析】根据垂直的定义得到∠ACB=90°，得到∠BCE=90°，根据平行线的性质求出∠BCD=55°，计算即可．

【解答】解：∵BC ⊥AE ，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCE=90°，

∵CD ∥AB ，∠B=55°，

∴∠BCD=∠B=55°，

∴∠1=90°﹣55°=35°，

故选：C ．

【点评】本题考查的是平行线的性质和垂直的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

6．（3分）（2016•梅州）二次根式有意义，则x 的取值范围是（ ）

A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ≥2D ．x ≤2

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：由题意得2﹣x ≥0，

解得，x ≤2，

故选：D ．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

7．（3分）（2016•梅州）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b=，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=．则方程x ⊗（﹣2）=﹣1的解是（ ）

A ．x=4B．x=5C．x=6D．x=7

【考点】分式方程的解．

【专题】新定义．

【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．

【解答】解：根据题意，得=﹣1，

去分母得：1=2﹣（x ﹣4），

解得：x=5，

经检验x=5是分式方程的解．

故选B ．

【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．

二、填空题：每小题3分，共24分．

8．（3分）（2016•梅州）比较大小：﹣2﹣3．

【考点】有理数大小比较．

【分析】本题是基础题，考查了实数大小的比较．两负数比大小，绝对值大的反而小；或者直接想象在数轴上比较，右边的数总比左边的数大．

【解答】解：在两个负数中，绝对值大的反而小，可求出﹣2＞﹣3．

故答案为：＞．

【点评】（1）在以向右方向为正方向的数轴上两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．

（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数．

（3）两个正数中绝对值大的数大．

（4）两个负数中绝对值大的反而小．

9．（3分）（2016•梅州）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为，那么口袋中小球共有 15 个．

【考点】概率公式．

【专题】计算题．

【分析】设口袋中小球共有x 个，根据概率公式得到=，然后利用比例性质求出x 即可．

【解答】解：设口袋中小球共有x 个， 根据题意得=，解得x=15，

所以口袋中小球共有15个．

故答案为15．

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

10．（3分）（2016•梅州）流经我市的汀江，在青溪水库的正常库容是6880万立方米．6880万用科学记数法表示为 6.88×107 ．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a ×10的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．

7【解答】解：6880万=68800000=6.88×10．

7故答案为：6.88×10．

n 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10的形式，其中1≤|a|

＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．

11．（3分）（2016•梅州）已知点P （3﹣m ，m ）在第二象限，则m 的取值范围是．

【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．

【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，求解即可．

【解答】解：∵点P （3﹣m ，m ）在第二象限， n

∴解得：m ＞3；

故答案为：m ＞3．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

12．（3分）（2016•梅州）用一条长40cm 的绳子围成一个面积为64cm 的矩形．设矩形的一边长为xcm ，则可列方程为 x （20﹣x ）=64 ．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】几何图形问题．

【分析】本题可根据长方形的周长可以用x 表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．

【解答】解：设矩形的一边长为xcm ，

∵长方形的周长为40cm ，

∴宽为=（20﹣x ）（cm ），

得x （20﹣x ）=64．

故答案为：x （20﹣x ）=64．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法．

13．（3分）（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，若S △DEC =3，则S △BCF =

2

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 和△DEF ∽△BCF ，由已知条件求出△DEF 的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．

【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ∥BC ，AD=BC，

∴△DEF ∽△BCF ， ∴，=（）， 2

∵E 是边AD 的中点，

∴DE=AD=BC ， ∴=，

∴△DEF 的面积=S △DEC =1， ∴=，

∴S △BCF =4；

故答案为：4．

【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．

14．（3分）（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x +2x+3与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 （1+\sqrt{2}，

．

2

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．

【专题】动点型．

【分析】当△PCD 是以CD 为底的等腰三角形时，则P 点在线段CD 的垂直平分线上，由C 、D 坐标可求得线段CD 中点的坐标，从而可知P 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标．

【解答】解：

∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，

∴点P 在线段CD 的垂直平分线上，

如图，过P 作PE ⊥y 轴于点E ，则E 为线段CD 的中点，

∵抛物线y=﹣x +2x+3与y 轴交于点C ，

∴C （0，3），且D （0，1），

∴E 点坐标为（0，2），

∴P 点纵坐标为2，

22在y=﹣x +2x+3中，令y=2，可得﹣x +2x+3=2，解得x=1±，

∴P 点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），

故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P 点纵坐标是解题的关键．

15．（3分）（2016•梅州）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，

点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （，0），B （0，2），则点B 2016的坐标

为 （6048，2） ．

2

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【专题】规律型．

【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B 、B 2、B 4…，即可得每偶数之间的B 相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B 2016的坐标．

【解答】解：∵AO=，BO=2，

∴AB=

=，

∴OA+AB1+B1C 2=6，

∴B 2的横坐标为：6，且B 2C 2=2，

∴B 4的横坐标为：2×6=12，

∴点B 2016的横坐标为：2016÷2×6=6048．

∴点B 2016的纵坐标为：2．

∴点B 2016的坐标为：（6048，2）．

故答案为：（6048，2）．

【点评】此题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是本题的关键．

三、解答下列各题：本题有9小题，共75分．解答应写文字说明、推理过程或演算步骤．

16．（7分）（2016•梅州）计算：

．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题．

【分析】

根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式

的值是多少即可．

【解答】解：

=1+×﹣3+2 =1+1﹣3+2

=1

【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

0（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a =1（a ≠0）；

0②0≠1．

﹣p

（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a =

（a ≠0，p 为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．

17．（7分）（2016•梅州）我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛，要求参赛学生

（1）表中x 的值为 4 ，y 的值为 0.68 ；（直接填写结果）

（2）将本次参赛作品获得A 等级的学生依次用A 1、A 2、A 3…表示．现该校决定从本次参赛作品获得A 等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，则恰好抽到学生A 1和A 2的概率为 \frac{1}{6} ．（直接填写结果）

【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表．

【专题】计算题．

【分析】（1）利用频（数）率分布表，利用频数和分别减去B 、C 等级的频数即可得到x 的值，然后用B 等级的频数除以总数即可得到y 的值；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到学生A 1和A 2的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）x=50﹣12﹣34=4，y=

故答案为4，0.68； =0.68；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到学生A 1和A 2的结果数为2，

所以恰好抽到学生A 1和A 2的概率=故答案为4，0.68；．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了频（数）率分布表．

18．（7分）（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P ，连 =， 接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．

（1）四边形ABEF 是 菱形 ；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）

（2）AE ，BF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为40，BF=10，则AE 的长为 10\sqrt{3} ，∠ABC= 120 °．（直接填写结果）

【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质；作图—基本作图．

【分析】（1）先证明△AEB ≌△AEF ，推出∠EAB=∠EAF ，由AD ∥BC ，推出

∠EAF=∠AEB=∠EAB ，得到BE=AB=AF，由此即可证明．

（2）根据菱形的性质首先证明△AOB 是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．

【解答】解：（1）在△AEB 和△AEF 中，

，

∴△AEB ≌△AEF ，

∴∠EAB=∠EAF ，

∵AD ∥BC ，

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB ，

∴BE=AB=AF．

∵AF ∥BE ，

∴四边形ABEF 是平行四边形

∵AB=AF，

∴四边形ABEF 是菱形．

故答案为菱形．

（2）∵四边形ABEF 是菱形，

∴AE ⊥BF ，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO ，

∵AB=10，

∴AB=2BO，∵∠AOB=90°

∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，

∴AO=BO=5，∠ABC=2∠ABO=120°． 故答案为，120．

【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．

19．（7分）（2016•梅州）如图，已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （2，5）在反比例函数

y=的图象上．一次函数y=x+b的图象过点A ，且与反比例函数图象的另一交点为B ．

（1）求k 和b 的值；

（2）设反比例函数值为y 1，一次函数值为y 2，求y 1＞y 2时x 的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）把A （2，5）分别代入和y=x+b，即可求出k 和b 的值；

（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，求出交点坐标，进而结合图形求出y 1＞y 2时x 的取值范围．

【解答】解：（1）把A （2，5）分别代入和y=x+b， 得，

解得k=10，b=3；

（2）由（1）得，直线AB 的解析式为y=x+3， 反比例函数的解析式为． 由，解得：或．

则点B 的坐标为（﹣5，﹣2）．

由图象可知，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是x ＜﹣5或0＜x ＜2．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出k 和b 的值，此题难度不大．

20．（9分）（2016•梅州）如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．

【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）连接OC ．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD 的面积减去扇形COB 的面积．

【解答】（1）证明：连接OC ．

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°﹣∠A ﹣∠D ﹣∠2=90°．即OC ⊥CD ，

∴CD 是⊙O 的切线．

（2）解：∵∠A=30°，

∴∠1=2∠A=60°．

∴S 扇形BOC =

在Rt △OCD 中， ∵

∴

∴

∴图中阴影部分的面积为：． ， ． ．

．

【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．

21．（9分）（2016•梅州）关于x 的一元二次方程x +（2k+1）x+k+1=0有两个不等实根x 1、x 2．

（1）求实数k 的取值范围．

（2）若方程两实根x 1、x 2满足x 1+x2=﹣x 1•x 2，求k 的值．

【考点】根的判别式；根与系数的关系．

【分析】（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可； 22

（2）根据根与系数的关系得出x 1+x2=﹣（2k+1），x 1•x 2=k+1，根据x 1+x2=﹣x 1•x 2得出﹣

2（2k+1）=﹣（k +1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．

【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

22∴△=（2k+1）﹣4（k +1）＞0，

解得：k ＞，

即实数k 的取值范围是k ＞；

（2）∵根据根与系数的关系得：x 1+x2=﹣（2k+1），x 1•x 2=k+1，

又∵方程两实根x 1、x 2满足x 1+x2=﹣x 1•x 2，

2∴﹣（2k+1）=﹣（k +1），

解得：k 1=0，k 2=2，

∵k ＞，

∴k 只能是2．

【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．

22．（9分）（2016•梅州）如图，平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A=45°，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE=DF，连接EF 交BD 于O ．

（1）求证：BO=DO；

（2）若EF ⊥AB ，延长EF 交AD 的延长线于G ，当FG=1时，求AE 的长．

22

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS 证明△OBE ≌△ODF ，得出对应边相等即可；

（2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴DC ∥AB ，

∴∠OBE=∠ODF ．

在△OBE 与△ODF 中，

∴△OBE ≌△ODF （AAS ）．

∴BO=DO．

（2）解：∵EF ⊥AB ，AB ∥DC ，

∴∠GEA=∠GFD=90°．

∵∠A=45°，

∴∠G=∠A=45°．

∴AE=GE

∵BD ⊥AD ，

∴∠ADB=∠GDO=90°．

∴∠GOD=∠G=45°．

∴DG=DO，

∴OF=FG=1，

由（1）可知，OE=OF=1，

∴GE=OE+OF+FG=3，

∴AE=3．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．

23．（10分）（2016•梅州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤5），连接MN ．

（1）若BM=BN，求t 的值；

（2）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；

（3）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）由已知条件得出AB=10，． 由题意知：BM=2t，

，

，由BM=BN得出方程，解方程即可；

（2）分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出tt 的值；

②当△NBM ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出tt 的值；

（3）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，证出△BMD ∽△BAC ，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM 的面积y=△ABC 的面积﹣△BMN 的面积，得出y 是t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．

【解答】解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=10，．

由题意知：BM=2t，， ∴

∵BM=BN， ∴

解得：， ， ．

（2）分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时， 则解得：，即． ， ②当△NBM ∽△ABC 时， 则解得：，即． 或时，△MBN 与△ABC 相似． ， 综上所述：当（3）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，

∴△BMD ∽△BAC ， ∴

即， ，

解得：MD=t．

设四边形ACNM 的面积为y ，

∴=∴根据二次函数的性质可知，当

此时，． =时，y 的值最小． =．

【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．

24．（10分）（2016•梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x+bx+c过A ，B ，C 三点，点A 的坐标是（3，0），点C 的坐标是（0，﹣3），动点P 在抛物线上．

2

（1）b= ﹣2 ，c= ﹣3 ，点B 的坐标为 （﹣1，0） ；（直接填写结果）

（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b 、c 的值，然后令y=0可求得点B 的坐标；

（2）分别过点C 和点A 作AC 的垂线，将抛物线与P 1，P 2两点先求得AC 的解析式，然后可求得P 1C 和P 2A 的解析式，最后再求得P 1C 和P 2A 与抛物线的交点坐标即可；

（3）连接OD ．先证明四边形OEDF 为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D 的纵坐标，从而得到点P 的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P 的坐标．

【解答】解：（1）∵将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得：

﹣2，c=﹣3．

2∴抛物线的解析式为y=x﹣2x ﹣3．

2∵令x ﹣2x ﹣3=0，解得：x 1=﹣1，x 2=3．

∴点B 的坐标为（﹣1，0）．

故答案为：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．

（2）存在．

，解得：b=

理由：如图所示：

①当∠ACP 1=90°．

由（1）可知点A 的坐标为（3，0）．

设AC 的解析式为y=kx﹣3．

∵将点A 的坐标代入得3k ﹣3=0，解得k=1，

∴直线AC 的解析式为y=x﹣3．

∴直线CP 1的解析式为y=﹣x ﹣3．

2∵将y=﹣x ﹣3与y=x﹣2x ﹣3联立解得x 1=1，x 2=0（舍去），

∴点P 1的坐标为（1，﹣4）．

②当∠P 2AC=90°时．

设AP 2的解析式为y=﹣x+b．

∵将x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3．

∴直线AP 2的解析式为y=﹣x+3．

2∵将y=﹣x+3与y=x﹣2x ﹣3联立解得x 1=﹣2，x 2=3（舍去），

∴点P 2的坐标为（﹣2，5）．

综上所述，P 的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）如图2所示：连接OD ．

由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD=EF．

根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．

由（1）可知，在Rt △AOC 中，

∵OC=OA=3，OD ⊥AC ，

∴D 是AC 的中点．

又∵DF ∥OC ， ∴．

． ，解得：．

，）或（，）． ∴点P 的纵坐标是∴∴当EF 最短时，点P 的坐标是：（【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、矩形的性质、垂线的性质，求得P 1C 和P 2A 的解析式是解答问题

（2）的关键，求得点P 的纵坐标是解答问题（3）的关键．

参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；HLing ；HJJ ；sd2011；1286697702；csiya ；心若在；gsls ；王学峰；[email protected]；522286788；zcx ；放飞梦想；弯弯的小河；733599；Linaliu ；kuaile ；zjx111；梁宝华（排名不分先后）

菁优网

2016年7月13日

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