无穷级数公式
常数项级数：
等比数列：1+q +q + +q
调和级数：1+
级数审敛法： 2n -11-q n (n +1) n =等差数列：1+2+3+ +n =1-q 2 111++ +是发散的23n
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：
⎧ρ1时，级数发散n →∞⎪ρ=1时，不确定⎩
2、比值审敛法：
⎧ρ1时，级数发散n →∞U n ⎪ρ=1时，不确定⎩
3、定义法：
s n =u 1+u 2+ +u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发散。n →∞
交错级数u 1-u 2+u 3-u 4+ (或-u 1+u 2-u 3+ , u n >0) 的审敛法——莱布尼兹定理：
⎧⎪u n ≥u n +1如果交错级数满足s ≤u 1, 其余项r n r n ≤u n +1。⎨lim u =0，那么级数收敛且其和⎪⎩n →∞n
绝对收敛与条件收敛：
(1) u 1+u 2+ +u n + ，其中u n 为任意实数；
(2) u 1+u 2+u 3+ +n +
如果(2) 收敛，则(1) 肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
如果(2) 发散，而(1) 收敛，则称(1) 为条件收敛级数。
1(-1) n
调和级数：∑n 发散，而∑n 1 级数：∑n 2收敛；
≤１时发散1 p 级数：∑n p p >1时收敛
幂级数：
1x
对于级数(3) a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n + ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x
数轴上都收敛，则必存在R ，使x >R 时发散，其中R 称为收敛半径。
x =R 时不定
1ρ≠0时，R =
求收敛半径的方法：设lim n →∞a n +1=ρ，其中a n ，a n +1是(3) ρ=0时，R =+∞a n ρ=+∞时，R =0ρ函数展开成幂级数：
f ''(x 0) f (n ) (x 0) 2函数展开成泰勒级数：f (x ) =f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) + +(x -x 0) n + 2! n !
f (n +1) (ξ) 余项：R n =(x -x 0) n +1, f (x ) 可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R n =0n →∞(n +1)!
f ''(0) 2f (n ) (0) n x 0=0时即为麦克劳林公式：f (x ) =f (0) +f '(0) x +x + +x + 2! n !
一些函数展开成幂级数：
m (m -1) 2m (m -1) (m -n +1) n x + +x + (-1
欧拉公式：
⎧e ix +e -ix
cos x =⎪⎪2ix e =cos x +i sin x 或⎨ix -ix ⎪sin x =e -e
⎪2⎩
三角级数：
a 0∞
f (t ) =A 0+∑A n sin(n ωt +ϕn ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx ) 2n =1n =1
其中，a 0=aA 0，a n =A n sin ϕn ，b n =A n cos ϕn ，ωt =x 。
正交性：1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x sin nx , cos nx 任意两个不同项的乘积在[-π, π]上的积分＝0。
傅立叶级数： ∞
∞a 0f (x ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx ) ，周期=2π2n =1
π⎧1(n =0, 1, 2 ) ⎪a n =⎰f (x ) cos nxdx π⎪-π其中⎨π⎪b =1f (x ) sin nxdx (n =1, 2, 3 ) ⎪n π⎰-π⎩
11π2
1+2+2+ =835 111π2
+++ =24224262
正弦级数：a n =0，b n =
余弦级数：b n =0，a n =111π21+2+2+2+ =6234111π21-2+2-2+ =122342ππ2⎰f (x ) sin n xdx n =1, 2, 3 f (x ) =∑b 0n sin nx 是奇函数π
π⎰0f (x ) cos nxdx n =0, 1, 2 f (x ) =a 0+∑a n cos nx 是偶函数2
周期为2l 的周期函数的傅立叶级数：
∞a 0n πx n πx f (x ) =+∑(a n cos +b n sin ) ，周期=2l 2n =1l l
l ⎧1n πx dx (n =0, 1, 2 ) ⎪a n =⎰f (x ) cos l l ⎪-l 其中⎨l ⎪b =1f (x ) sin n πx dx (n =1, 2, 3 ) ⎪n l ⎰l -l ⎩