赵凯华光学非线性光学_2
绪论
§4,非线性介质中的波方程
光与物质的相互作用:电磁相互作用 理论工具:Maxwell方程组+物质方程
D = ρ B = 0 B ×E = t D × H = j + t
D = ε 0E + P B = μ H + μ M 0 0 j = σ E j + ρ = 0 t
绪论
§4,非线性介质中的波方程
考虑均匀,非导电,非磁性,无自由电荷的介质 ρ = 0, j = 0 D = ε 0 E + P, B = μ 0 H 电极化强度 P = PL + PNL
波运动方程 2 E μ 0ε 0ε 2E 2P = μ0 2 t 2 t
绪论
§5,非线性光学的主要机制
电子的贡献 电子云的畸变 电子能级布局数的改变 分子的振动与转动 分子的重新取向与重新分布 电致伸缩 热效应
非线性极化的宏观描述(上)
§1引言
1. 极化 电介质在外场的作用下,由于静电感应,在介质内 部产生反方向电场,但不足以抵消外电场. 无极分子 正,负电荷中心重合分子本身电偶极矩为零. p=0 外场导致正,负电荷中心发生相对位移 分子本身电偶极矩不为零. p≠0 P=∑p≠0
第二章 非线性极化的宏观描述
a.
Ε 介质体现出总的极化强度.
非线性极化的宏观描述(上)
§1引言
b. 有极分子 正负电荷中心不重合,分子本身 p≠0 有电偶极矩 (1)无外场,热运动导致杂乱分布 P=∑p=0
(2)外光场,导致单个电偶极矩取 向相近介质表现出总的极化强度:
非线性极化的宏观描述(上)
§1引言
宏观描述 极化强度与外加电场之间的关系 (1)各向同性介质: 与 E 方向相同,简单的正比关系 P
P = χE
(2)各向异性介质: 与 E 方向不平行,正比关系 P P = (χ xx E x + χ xy E y + χ xz E z )x + (χ zx E x + χ zy E y + χ zz E z )z + (χ yx E x + χ yy E y + χ yz E z )y
E
P=∑p≠0
非线性极化的宏观描述(上)
§1引言
2. 非线性极化 非线性极化是非线性光学现象的产生原因之一 介质在外加光场的作用下产生非线性极化 (气体,液体,固体,液晶,聚合物,等离子体等) 特殊性:不同的微观机制与过程 电子能级,分子振动/转动,取向 共性:统一的宏观描述 线性 非线性: P = χ (1) E P = χ (1) E + χ (2) E 2 + χ (3) E 3 + 光场:频率,偏振等 非线性极化:频率,偏振特性
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
E 外加光场
(1)
P 介质的电极化
线性: P = χ E (1) ( 2) 2 ( 3) 3 非线性:P = χ E + χ E + χ E + 介质极化是介质对外加光场的响应
1. 1) 介质极化的线性响应函数 因果性原理 因: 外加光场 果: 介质极化 线性极化
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
t 任意时间段 τ 的光场 E (τ ) ,都会对其后时刻 t ≥ τ 的 介质极化产生贡献: dP (1) (t ) = Q (1) (t ,τ ) E (τ )dτ 其中, 是线性响应函数. t 的介质极化 P(t ) 时刻 是对所有 t 时刻以前的光场响应的累积效果 Q (1) (t ,τ )
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
2) 时间
不变原理 物理规律不依赖于参考系(空间,时间) 时刻 τ 的光场 E (τ ) 在 t 时刻引起的极化响应 相等
E (τ ) = E (τ + T0 )
P (1) (t ) = ∫ Q (1) (t ,τ ) E (τ )dτ
∞
t
时刻 τ + T0 的光场 E (τ + T0 )在 t + T0 时刻引起的极化响 应 dP (1) (t ) = Q (1) (t ,τ ) E (τ )dτ
E (τ ) = E (τ +T ) 0 dP (1) (t + T0 ) = Q (1) (t ,τ ) E (τ + T0 )dτ →
若定义:
t
(1)
则介质线性极化强度为: +∞ P (1) (t ) = ∫ Q (1) (t ,τ ) E (τ )dτ
∞
P (1) (t + T0 ) = ∫ Q (1) (t ,τ ) E (τ + T0 )dτ
+∞
得
∞
#
= ∫ Q (1) (t ,τ T0 ) E (τ )dτ
∞
+∞
##
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
回忆一下(#): (1) +∞ P (t + T0 ) = ∫ Q (1) (t + T0 ,τ ) E (τ )dτ ∞ 与##比较,得: Q (1) (t ,τ T0 ) = Q (1) (t + T0 ,τ ) 即:响应函数 Q (t ,τ ) 只与时间差 T = t τ 有关,与绝 对时间 t , τ 无关 记作: R (1) (T ) = Q (1) (t ,τ )
(1)
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
3) 频率展开(Fourier变换) 对光场进行频率展开
E (t ) =
变量代换
1 2
∫
∞
∞
E (ω )e iωt dω
1 2
P(t ) =
∫
∞
∞
P(ω )e iωt dω
*
代入(###) E (t T ) =
P (1) (t ) = ∫
+∞
∞ 1 2 ∞
∫
E (ω )e iωt dω e iωT
R (1) (T ) = 0
介质极化强度
for T
(1)
∞
R (1) (T ) ∫
+∞ +∞ ∞
+∞
∞
E (ω )e iωt dω eiωT dT **
P (t ) = ∫
(1)
+∞
∞
R (T ) E (t T )dT
###
=
1 2
∫ [∫
∞
R (1) (T )eiωT dT ]E (ω )e iωt d ω
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
对比(*)和(**)得 P (1) (ω ) = χ (1) (ω ) E (ω ) 其中,一阶线性极化系数
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
任意τ 1 时刻的光场 E (τ 1 ) 和 τ 2 时刻的光场 E (τ 2 ) 都会对其 后的 t ( t ≥ τ 1 , t ≥ τ 2 ) 时刻介质的二阶极化产生贡献
dP (2) (t ) = Q (2) (t ,τ 1 ,τ 2 ) E (τ 1 ) E (τ 2 )dτ 1dτ 2
χ (1) (ω ) = ∫ R (1) (T )eiωT dT
∞
+∞
2. 1)
介质极化的二阶非线性响应函数 因果关系原理 E E 因: (τ 1 ) , (τ 2 ) 果:二阶非线性极化响应.
t 时刻的二阶极化,是对 t 时刻之前所有光场二阶响应的 累积 t t P (2) (t ) = ∫ ∫ Q (2) (t ,τ 1 ,τ 2 ) E (τ 1 )E (τ 2 )dτ 1dτ 2
∞ ∞
t
P (2) (t ) = ∫
+∞
∞
∫
+∞
∞
Q (2) (t ,τ 1 ,τ 2 ) E (τ 1 )E (τ 2 )dτ 1dτ 2
(#)
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
2) 时间不变原理 任意 τ 1 时刻的光场 E (τ 1 ) 和 τ 2 时刻的光场 E (τ 2 ) 在其后 (2) 的 t 时刻引起的介质二阶极化响应 dP (t ) 相等 (条件)E (τ 1 ) = E (τ 1 + T0 ), E (τ 2 ) = E (τ 2 + T0 ) τ 1 + T0 时刻的光场 E (τ 1 + T0 ) 和 τ
2 + T0 时刻的光场 E (τ 2 + T0 ) (2) 在其后的 t + T0 时刻引起的介质二阶极化响应 dP (t + T0 )
dP (2) (t ) = Q (2) (t ,τ 1 ,τ 2 ) E (τ 1 ) E (τ 2 )dτ 1dτ 2
1 1 0 2 2 0 →
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
得
P (2) (t + T0 ) = ∫ =∫
+∞ ∞ +∞ ∞
∫
+∞
∞
Q (2) (t ,τ 1 ,τ 2 ) E (τ 1 + T0 )E (τ 2 + T0 )dτ 1dτ 2 (##)
∫
+∞
∞
Q (2) (t ,τ 1 T0 ,τ 2 T0 ) E (τ 1 )E (τ 2 )dτ 1dτ 2
而由(#)得 +∞ +∞ P (2) (t + T0 ) = ∫ ∫ Q (2) (t + T0 ,τ 1 ,τ 2 ) E (τ 1 )E (τ 2 )dτ 1dτ 2 ∞ ∞ 比较上两式,得 Q (2) (t ,τ 1 T0 ,τ 2 T0 ) = Q (2) (t + T0 ,τ 1 ,τ 2 ) 响应函数只与时间差有关
Q (2) (t ,τ 1 ,τ 2 ) = R (2) (T1 , T2 )
E (τ ) = E (τ +T ),
E (τ ) = E (τ +T )
dP (2) (t + T0 ) = Q (2) (t ,τ 1 + T0 ,τ 2 + T0 ) E (τ 1 + T0 ) E (τ 2 + T0 )dτ 1dτ 2
T1 = t τ 1 , T2 = t τ 2
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
(#)可以写成 3)
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
P (2) (t ) =
1 2
R ( 2 ) (T1 , T2 ) = 0
for T1
∫ ∫
∞
+∞
+∞
∞
χ (2) ((ω1 + ω2 ),ω1 , ω2 ) E (ω1 ) E (ω2 )e i (ω +ω )t dω1d ω2
1 2
频率展开(Fourier变换) 把 ∞ E (t T1 ) = 1 ∫ E (ω1 )e iω1t dω1 eiω1T1 2
∞
其中,二阶非线性极化系数 +∞ +∞ χ (2) ((ω1 + ω2 ), ω1 , ω2 ) = ∫ ∫ 1 R (2) (T1 , T2 )eiω1T1 eiω2T1 dT1dT2 2 回忆 δ 函数的性质
∞ ∞
E (t T2 ) =
∞ 1 2 ∞
∫
E (ω 2 )e iω 2t dω 2 e iω 2T2
∫
+∞
∞
f ( x)δ ( x x' )dx = f ( x' )
可以得到如下形式的表示:
代入下式并展开:
χ (2) ( (ω1 + ω ) , ω1 , ω2 )
+∞ +∞ 1 ∞ 2
χ (2) ((ω1 + ω2 ), ω1 , ω2 )e i (ω +ω )t
1 2
P (2) (t ) = ∫ =
+∞
∞
∫
+∞
∞
R (2 ) (T1 , T2 ) E (t T1 )E (t T2 )dT1dT2
+∞ ∞
=
P (2) (t ) =
1 2 +∞ +∞ ∞ ∞
1 2
∫
∞
+∞
∞
χ (2) (ω , ω1 , ω2 )e iωtδ (ω , ω1 + ω2 )d ω
1 2
∫ ∫ ∫ ∫
+∞ ∞ ∞
R (2 ) (T1 , T2 )eiω1T1 eiω2T1 dT1dT2 i (ω1 +ω2 ) t d ω1dω2 E (ω1 ) E (ω2 )e
∫ ∫ ∫
+∞
χ (2) (ω ,ω1 , ω2 ) E (ω1 ) E (ω2 )δ (ω ω1 ω2 )e iωt d ω1d ω2 d ω
非线性极化的宏观描述(上)
§2介质对光场的非线性响应
P(t ) =
P (2) (ω ) = ∫
+∞ ∞
非线性极化的宏观描述(上)
§3非线性极化的一般表示方法
1. 光场的频率展开 光场,电磁场
1 2
∫
∞
∞
P(ω )e iωt dω
∫
+∞
∞
χ (2) (ω , ω1 , ω2 ) E (ω1 ) E (ω2 )δ (ω ω1 ω2 )d ω1d ω2
实数
单频光场 频率为 ω 的单色波 E (r , t ) = E cos(ωt k r + φ ) E ( r , t ) = 1 ε e i ( ω t k r ) + 1 ε * e i ( ω t k r ) 2 2
= 1 E (ω ) + 1 E *(ω ) 2 2
3.
介质极化的三阶非线性响应函数
P(t ) = P (3) (ω ) =
1 2 +∞ ∞
1 2
∫
∞
∞
P(ω )e iωt dω
+∞
∫ ∫ ∫
∞
+∞
∞
χ (3) (ω , ω1 , ω2 , ω3 )
E (ω1 ) E (
ω2 ) E (ω3 )δ (ω ω1 ω2 ω3 )d ω1d ω2 d ω3
χ (3) ((ω1 + ω2 + ω3 ), ω1 , ω2 , ω3 ) =
记
E (ω ) = E * (ω )
∫ ∫ ∫
∞ ∞
+∞
+∞
1 ∞ 4
+∞
R (3) (T1 , T2 , T3 )eiω1T1 eiω2T1 eiω3T3 dT1dT2 dT3
E (r , t ) = 1 E (r , ω ) + 1 E (r , ω ) 2 2
非线性极化的宏观描述(上)
§3非线性极化的一般表示方法
多频光场 频率为
非线性极化的宏观描述(上)
§3非线性极化的一般表示方法
2. 介质极化
P = ∑ [ 1 Pi e i (ωi t ki r ) + 1 Pi * ei (ωit ki r ) ] 2 2 = ∑ [ 1 P(ω ) + 1 P *(ω )] 2 2
i i
ω1 , ω 2 , ω 3 ,
1 2 i
,ωi ,
i (ωi t ki r )
,ωn
E (r , t ) = ∑ [ ε i e
1 2 i
+ εi * e
1 2
i (ωi t ki r )
]
= ∑ [ E (ω ) + E *(ω )]
1 2
引入负频率
E (ω i ) = E * (ω i )
P(ω ) = P *(ω )
E (r , t ) = ∑ [ E (ωi ) + E (ωi )]
1 2 1 2
P = ∑ 1 P(ωi ) 2
i
E (r , t ) = ∑ 1 E (ωi ) 2
i
i