代数式与整式复习总结
代数式与整式
本章知识结构框架图
中考要求
课时1 代数式、单项式、多项式
基础过关
代数式的定义:用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等) 把数或表示数的字母连结而成的式子叫做
代数式.
单独的一个数或字母也是代数式.
列代数式:列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.
列代数式的关键是正确地分析数量关系,要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 少、增加、增加到等数学概念和有关知识. 在列代数式时,应注意以下几点:
(1) 在同一问题中,要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示; (2) 字母与字母相乘时可以省略乘号;
(3) 在所列代数式中,若有相除关系要写成分数形式;
(4) 列代数式时应注意单位,单位名称在代数式后面写出来,如果结果为加减关系,必须用括号将代
数式括起来;
(5) 代数式中不要使用带分数,带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.
3x 2yz 122
单项式: 像-2a ,πr ,-x y ,-abc ,,……这些代数式中,都是数字与字母的积,这样
73
的代数式称为单项式. 也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系,特别的单项式的分母中不含未知数. 单独的一个字母或数也叫做单项式,例:a 、-3.
1
单项式的次数:是指单项式中所有字母的指数和. 例如:单项式-ab 2c ,它的指数为1+2+1=4,是四次
2
单项式. 单独的一个数(零除外) ,它们的次数规定为零,叫做零次单项式.
4x 2y 4
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项数的系数. 例如:我们把叫做单项式的系数.
77
同类项: 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.
7
多项式: 几个单项式的和叫做多项式. 例如:x 2-3x +1是多项式.
9
多项式的项: 其中每个单项式都是该多项式的一个项. 多项式中的各项包括它前面的符号. 多项式中不含
字母的项叫做常数项.
多项数的次数:多项式里,次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式: 单项式和多项式统称为整式.
例题精讲
1. 对单项式、多项式、整式进行判断
例1 判断下列各代数式,哪些是单项式,哪些是多项式,哪些不是整式. (1)-3xy 2;
(2)2x3+1;
(3)
1
(x+y +1) ; (4)-a 2; 2
(5)0;
(6)
2x ; y
(7)
2xy
; 3
(8)
1; 2x
(9)x2+
11-1; (10); x x +1
解:单项式有:(1)-3xy 2,(4)-a 2,(5)0,(7)多项式有:(2)2x3+1,(3)
2xy
; 3
1
(x+y +1) ; 2
不是整式的有:(6)
2x 111,(8),(9)x2+-1,(10). y 2x x x +1
知识体验:只有数字与字母的乘积,这样的代数式是单项式,几个单项式的和组成多项式,单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法(可转化为加法)的运算,这样的代数式就是整式。没有出现2÷x 即项式,而
x x 22
, 或x÷2即这样的式子,那么, 是整式吗?
22x x
x x 1
可以写成·x, 所以是单
222
2
是数字与字母的商,所以不是单项式,更不是整式,所以整式最显著的特征是字母不能作分母。x
所以(6)
2x 111;(8);(9)x2+-1;(10);这几个代数式分母中含有字母,就不是整式。 y 2x x x +1
易错提示: (6)
2x
y
和 (7)
22xy
这两个代数式常会误以为都是单项式,(7)可以看成∙xy ,所
33
以是单项式,而(6)是2x ÷y ,所以不是单项式也不是整式。(3)
1
(x+y +1) ;会误以为是单项式,其实2
1111
(x+y +1) =x+y+,所以是三个单项式的和,是一个多项式。 2222
2、说出单项式、多项式的次数和项
例2 指出下列各单项式的系数与次数:
3ab 24πx 2y 33
; (2)-mn ; (3)(1) (4)-3; 833ab 23
解:(1)的系数是,次数是3.
88
(2)-mn 3的系数是-1,次数是4.
4πx 2y 34π
(3)的系数是,次数是5.
33
(4)-3的系数是-3,次数是0。
3
知识体验:单项式的系数,包括前面的符号,当单项式的系数是1或-1时,“1”省略不写,如-nm
4πx 2y 3
中,系数是-1,则把“1”省略不写;圆周率只是一个常数符号,不能把它作为字母,如:的系数
3
是
14π
,次数是5。另外,像-3,,0等这样的常数,是零次单项式. 32
4πx 2y 34π3易错提示:-nm 的系数是-1;的系数是,次数是5,如写成系数是,次数是6就不
334
3
对了.
例3、 填空:
(1)多项式2x 4-3x 5-2π4是 次 项式,最高次项的系数是 ,四次项的系数是 ,常数项是 ,补足缺项后按字母x 升幂排列得 ;
(2)多项式a 3-3ab 2+3a2b-b 3是 次 项式,它的各项的次数都是 ,按字母b 降幂排列得 .
解:(1)五,三,-3,2,-2π4,-2π4+0x+0x2+0x3+2x4-3x 5; (2)三,四,3,-b 3-3ab 2+3a2b+a3.
应用体验:-2π4是常数项,不是4次项。确定多项式项时不要漏掉前面的符号,移动多项式的某一项的位置时,要连同前面的符号一起移动,这些都是容易犯错误的地方,要引起高度重视。另外,第(2)小题所给多项式各项次数都等于3,一般称这样的三次多项式为三次齐次式.
解题技巧:多项式应看作是省略括号的和的形式.因此,当确定多项式的项时,应包括符号.另外,圆周率π是一个常数.回答多项式是几次几项式时,数字要大写. 如五次三项式,不能写成5次3项式. ;补足缺项,是把升(或降)幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中. ,移动多项式的某一项的位置时,要连同前面的符号一起移动. ,对含有两个以上字母的多项式,一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列,本题是按规定的字母指数大小排列。
知识巩固:
例4. 用语言叙述下列代数式的实际意义。
a 2
(1)3a ;(2)a +b ;(3)(1-20%)x ;(4)πa -9
2
2
2
思维直现:列代数式要有一定的问题背景,用语言叙述下列代数式,就是要再现列出代数式的问题背景,问题背景可能设计的不同,只要能解释即可。 解:(1)如果用a 表示一支铅笔的价格,那么3a 表示3支铅笔的价格。
(2)如果用a ,b 分别表示两个正方形的边长,那么a 2+b 2表示这两个正方形面积之和。 (3)如果用x 表示过去的产量,那么(1-20%)x 表示减少20%以后的产量。
1a 22
表示 (4)如果用a 表示圆的半径,正方形的边长是它的,那么πa -
39
圆面积与正方形面积之差。
阅读笔记:要解释代数式,就要熟悉代数所能表示的问题背景,如a 可表示边长为a 的正方形的面积,
2
πa 2可表示半径为a 的圆的面积等。这样才能写出合理的代数式的意义。
题评解说:用语言叙述下列代数式是列代数式的逆向,要根据代数式写出问题的背景,可以写出不同的
问题背景,只要合理即可。
建议:要仔细体会本题的解答,理解这类问题的解题思路。
例5 说出下列各多项式分别是几次几项式. (1)3x-2;
3
(2)ab +2a -3b -4;
2
x 2-2x +8(3);
2
(4)(a3-b 3+1)×;
53
(5)x6-x 5+3x 2-12x +a ; (6)2(xy+
13
x -y +π4) . 3
思维直现:需要找出多项式的每一项,算出每一项的次数,然后回答是几次几项式。 解:(1)多项式3x -23是一次二项式; (2)多项式a 2b +2a -3b -4是三次四项式;
x 2-2x +812x 2-2x +8
(3)因为=x -x +4,所以多项式是二次三项式;
222
(4)因为(a3-b 3+1)×=
5
3535355
a -b +,所以多项式(a3-b 3+1)×是三次三项式; 3333
(5)多项式x 6-x 5+3x 2-12x +a 是六次五项式; (6)因为2(xy+
1321
x -y +π4) =2xy +x 3-2y +2π4,所以多项式2(xy+x 3-y +π4) 是三次四项式. 333
阅读笔记:当所给的多项式不能直观地辨别其次数和项数时,就需要对其整理变形,使其成为标准形
式的多项式.如第(3)、(4)、(6)小题,变形后便容易多了.另外,常数项中的指数,不能做为多项式的次数.如第(1)、(6)小题中23、π4,不影响多项式的次数.
题评解说:判断多项式是几次几项式的问题,是理解多项式概念中的常规题,具体在解答时会遇到具体困难,如多项式给出不规范要先变形,有常数项中有指数的干扰,这增加了本题的难度。
建议:要概念清晰,排除干扰。
例6 若-3axy m 是关于x 、y 的单项式,且系数为-6,次数为3,则a =________,m =________. 思维直现:“关于x 、y 的单项式”说明只有x 、y 才是单项式中的字母,a 只是系数的一部分,所以-3a 是系数,也就是-6,即-3a =-6,解得:a =2.而单项式的次数是x 、y 的指数和:(1+m ),也就是3.因此1+m =3得m =2.
解:a =2,m =2
阅读笔记:单项式是数与字母的积,数字因数是单项式的系数,所有字母的指数和是单项式的次数。在本题中x 、y 才是单项式中的字母,a 只是系数的一部分,这两点一定要理解到位。
题评解说:本题是已知单项式的系数和次数,求参数的值。这样的参数问题,不理解题意的人不知道该如何下手,其实只要搞清说代表单项式的系数,谁代表单项式的次数,就可列出方程解决,虽然学生还没有学习解一元一次方程,但简单的一元一次方程,学生在小学是见过并会解的。
建议:正确理解多项式的系数和次数,不要受字母参数的影响。 例7 当x 为何值时,下列多项式可化简为关于y 的一次单项式.
(1)
2
x -5y -5; 3
(2)
x +3y -4
+6. 2
2
x -5y -5化简为关于y 的一次单项式,只保留-5y 这一项,其余3
思维直现:把一个多项式转化为关于某一字母的单项式,就是指除符合题目要求的项保留外,其余各项的和等于0.如(1)中,要使多项式各项的和为0,即使
2
x -5=0的x 的值即为所要求的x 的值. 32215
解:(1)由x -5=0,即x =5,得x =.
332152
所以当x =时,多项式x -5y -5可化简为关于y 的一次单项式.
23x +3y -41311
(2)多项式+6可化为x +y +4.由x +4=0,即x =-4,得x =-8.
22222
x +3y -4
所以当x =-8时,多项式+6可化简为关于y 的一次单项式.
2
阅读笔记:理解题意很重要,本题把一个多项式转化为关于某一字母的单项式,就是指除符合题目要求的项保留外,其余各项的和等于0.这是解此题的关键。
题评解说:本题理解题意后就是一个整理代数式,构造一元一次方程的过程,所以理解把一个多项式转化为关于某一字母的单项式,就是指除符合题目要求的项保留外,其余各项的和等于0,这是本题的关键。
建议:要多项式可化简为关于y 的一次单项式,就要能够将含y 的项从多项式中分离出来,其它部分的和是0即可。
课时2 整式加减
合并同类项: 把多项式中同类项合并成一项,叫做合并同类项.
合并同类项时,只需把系数相加,所含字母和字母指数不变.
例8、 a 是绝对值等于2的负数,b 是最小的正整数,c 的倒数的相反数是-2。求代数式
4a 2b 3-[2abc +(5a 2b 3-7abc )-a 2b 3]的值。
分析:由已知条件可知a =-2,b =1,c = 解:∵a 是绝对值等于2的负数,∴a =-2 ∵b 是最小的正整数,∴b =1 再∵c 的倒数的相反数是-2,∴c =
1
,然后化简代数式,最后将已知条件代入求值。 2
1 2
2
3
4a 2b 3-[2abc +(5a 2b 3-7abc )-a 2b 3]
=4a b -2abc -5a b +7abc +a b
2
3
2
3
=5abc
12
1
∴原式=5⨯(-2)⨯1⨯=-5
2
a =-2,b =1,c =
点拨:求代数式值的题目,一般是找到代数式中的字母的值,将代数式化简后代入求值。 例9. 当
2(a -b ) 4(a +b ) a -b
的值。 -=4时,求
a +b 3(a -b ) a +b
分析:本题中根据已知条件很难求出a ,b 的值,观察到
a -b a +b a -b a +b
互为倒数,可把与,
a +b a -b a +b a -b
分别看作一个“整体”,将“整体”的值直接代入求值式,这样就可以避免求其中字母的值,简化了求值过程。这种求代数式值的方法叫整体代入法。
解:∵
a -b a +b 1
=4,∴= a +b a -b 4
∴
2(a -b ) 4(a +b ) 4112
-=2×4-×=8-=7。
a +b 3(a -b ) 3433
点拨:求代数式的值,一般用化简求值法,但当代数式中字母的值很难求,而所给的题目又有一定的特殊性时,我们观察到含未知数的部分可以看成一个整体时,我们用整体代入法,这样会使运算简便,问题得解。
1⎫y 3⎛22
的值。 例10 已知(x +1(+ y -⎪=0,求代数式x y +xy +
24⎝⎭
分析:根据所给已知条件先求出代数式中字母的值,再代入求值。求字母的值时要根据绝对值是非负数,完全平方也是非负数,两个非负数的和为0,这两个非负数都是0来列方程,求字母的值。
2
1⎫⎛
,y - 解: (x +1(≥0 ⎪≥0
2⎝⎭
2
⎧x +1=0
⎪ ∴⎨ 1
y -=0⎪2⎩⎧x =-1⎪ ∴⎨1
y =⎪2⎩
把x =-1,y =
2
2
1
代入得: 2
y 3
x y +xy +
4
11⎛1⎫⎛1⎫
=(-1)⨯+(-1)⨯ ⎪+· ⎪
⎝2⎭24⎝2⎭
2
2
3
1111
-1⨯+⨯ 2448111 =-+
243211 =+
4329
=
32
=1⨯
点拨:绝对值和完全平方数是非负数,这个知识点常考到,要注意体会本题是如何用这个非负性的。
例11 用代数式表示阴影部分面积。
分析: (1)用大半圆的面积减去两个小半园的面积就是阴影部分的面积。(2)阴影部分的面积分两部分,上半部分是长方形的面积减去三角形的面积,下半部分的面积是长方形的面积减去半圆的面积。
解:(1)大半圆减去两个小半圆的面积
111
π(R +r ) 2-πr 2-πR 2 222
121212
a -a =a 244
(2)上半部分长方形减去三角形面积 S =
下半部分长方形面积减去半圆面积
1212a -πa 28
3212
∴S 阴影=a -πa
48
S =
点拨:注意观察图形的特征,有时计算面积,要用割补法。
1
例12、 设A =x 2-3xy -y 2,B =-2x 2+xy -y 2,当x =-,y =-4时,试比较A 与B
2
的值的大小。
分析: 方法一:先分别求出代数式A 与B 当x =-这种比较大小的方法叫求值比大小。
方法二:我们知道,
如果A -B >0,那么A >B ; 如果A -B =0,那么A =B ; 如果A -B
根据上述规律,我们可以先计算A -B (注意合并同类项),再当x =-
1
,y =-4时的值,再比较这两个值的大小;2
1,求代数式A -B y =-4时,2
的值,于是,根据这个值的符号(正、零或负),就能断定A 与B 的大小。这种比较大小的方法叫求差比
较法
解法一:
1
x =-,y =-4
2
∴A =x 2-3xy -y 2
1⎫21⎛ -⎫⎪⋅(-4)-(-4)2= -⎪-3⋅⎛⎝2⎭⎝2⎭=-
874
2
2
B =-2x +xy -y
1⎫2⎛1⎫⎛=-2⋅ -⎪+ -⎪⋅(-4)-(-4)2⎝2⎭⎝2⎭
29=-
2
8729
44
∴A
-
解法二:
A -B =(x -3xy -y
2
2
)-(-2x 2+xy -y 2)
=x 2-3xy -y 2+2x 2-xy +y 2=3x -3xy
2
当x =-
1
,y =-4时, 2
1⎫2121⎛ -⎫⎪⋅(-4)=- 原式=3⋅ -⎪-3⋅⎛⎝2⎭⎝2⎭4
∴A -B
点拨:求差比较法不仅体现了一个重要的数学思想,而且使用起来常常比求值比较法更为简便。 知识巩固
例13 从某整式减去xy -2yz +3zx ,因误认为加上此式,则答案为2yz -3zx +2xy ,试求正确答案。 分析:若设某整式为A ,令B =xy -2xy +3zx ,C =2yz -3zx +2xy 。本题要求是A -B ,而误作为A +B =C 了,这可由A -B =(A +B )-2B =C -2B 得到正确答案。此技巧也是整体思想的又
一体现。
解:(2yz -3zx +2xy )-2(xy -2yz +3zx )
=2yz -3zx +2xy -2xy +4yz -6zx =6yz -9zx
故正确答案是6yz -9zx 。
点拨:要清楚:本题要求是A -B ,而误作为A +B =C 了,这可由A -B =(A +B )-2B =C -2B 来求解。这个变形要能理解,这是解本题的关键。
例14、设A =5x +4x -1,B =-x -3x +3,C =8-7x -6x ,请说明A -B +C 的值与x 的取值无关。
分析:所给多项式的值与x 无关的值不含x ,所以要将A 、B 、C 所表示的代数式代入进行加减运算,最后所得的结果中不含x ,就能说明A -B +C 的值与x 的取值无关。
解: A -B +C =(5x +4x -1)-(-x -3x +3)+(8-7x -6x
2
2
2
222
)
=5x 2+4x -1+x 2+3x -3+8-7x -6x 2
=(5+1-6)x +(4+3-7)x -1-3+8
2
=4
∵4为常数项 ∴结论成立
点拨:把A 、B 、C 表示的多项式看成一个整体,用括号括起来,以减少符号方面的错误。 例15. 比较a +b 与a 的大小。
分析:在代数式a +b 和a 中,都有同一字母a ,所以,不论a 为何值,都不会影响a +b 与a 的大小关系,因此,只要分情况讨论b 就可以了。
解一:当b >0时,a +b >a ; 当b =0时,a +b =a ; 当b 解二、a +b -a =b ,所以,当b >0时,a +b -a>0,即a +b >a ; 当b =0时,a +b =a ; 当b 点拨:本题分析比大小和做差比较大小时都发现要进行分类讨论,注意分类要既不重复也不遗漏。
中考题型分析
题型一:去括号、合并同类项的题
例1、(2006年长春市) 化简m -n -(m +n )的结果是 ( )
(A )0. (B )2m . (C )-2n . (D )2m -2n .
分析:本题是去括号、合并同类项的基础题,只要按去括号法则运算即可。
解:。m -n -(m +n )=m -n -m -n =-2n , 所以选C
题型二:求值题
例2、(苏州市2006年) 若x=2,则
(A )13x 的值是 ( ) 81 (B )1 (C )4 (D )8 2
1⨯8=1;所以选B 。 8
22分析:本题也是求值题中的基本题,直接代入求值即可。 解:⨯2=183例3、(张家界市2006年)13.已知x -2y =1,那么:2x -4y +3=______.
分析:本题根据已知条件很难求得x 和y 的值,所以考虑用整体代入法求值。
解:因为x -2y =1,所以2x -4y +3=2(x -2y ) +3=2⨯1+3=5 222
点拨:求代数式值的题型,一般的解题思路是先化简再代入计算求值。但代数式中字母值很难求时考虑用整体代入法。一般整体代入法求值的题目有一定的特征,就是含未知数的部分可以看成一个整体。
题型三:列代数式题
例4(湖北省荆门市二00六年)6. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b ), 再沿虚线剪开, 如图(1),然后拼成一个梯形, 如图(2),根据这两个图形的面积关系, 表明下列式子成立的是( )
(A)a 2-b 2=(a +b )(a -b ). (B)(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2.
(C)(a -b ) 2=a 2-2ab +b 2. (D)a 2-b 2=(a -b ) 2.
分析:图(1)阴影部分的面积是a 2-b 2,图(2)阴影
是:部分的面积面积相等,1(2a +2b )(a -b ) =(a +b )(a -b ) ,由于阴影部分
2
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所以选A 。
解:选A 。
题型五 找规律题型
例5、(常德市,2005)找规律:如图,第(1)幅图中有1个菱形,第(2)幅图中有3个菱形,第(3)幅图中有5个菱形,则第(n )幅图中共有___________个菱形。
分析:第(1)幅图中有1个菱形,第(2)幅图中有3个菱形,第(3)幅图中有5个菱形,第(4)幅图中有7个菱形,所以第(n )幅图中有(2n -1)个菱形。
解:有(2n -1)个
第二章 代数式与整式单元测试题
一、选择题(本大题共12题,每小题2分,共24分,每小题只有一个正确选项,把正确选项的代号填在题后的括号里)
1、在下列代数式:ab 23, -4, -abc , 0, x -y , 中,单项式有( ) 33x
121多项式有( )(A )2个 (B )a +b , ab 2+b +1, π+3, +, x 2-x +1中,2π2(A )3个 (B )4个 (C )5个 (D )6个 2、ab , 1
2
3个 (C )4个 (D )5个
3. 若多项式4a 2m +1b -9a 3b 2+6a 2b 3-5ma 2b 4为八次四项式,则正整数m 的值
为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4、下列说法中正确的是( )
A. 5不是单项式 B . a bc 没有系数
第 12 页 共 20 页 3
1x z 不是整式 D . -y +不是整式 x 26
x -y 5. 代数式的意义是() 2 C . 4-
A. x与y 的一半的差 B. x与y 的差的一半
C. x减去y 除以2的差 D. x与y 的1的差 2
6. 化简(a 2-ab +2b 2)-2(-a 2+b 2)的结果是()
A . 3a 2-ab B . a 2-3ab C . 2a 2+ab D . a 2+3ab
7. 下列各组中,当n =3时是同类项的是( )
A . 1n x y 与x 3y 3
2B . -x 2y 与3x n -2y
D . -12n x y 与2x n -1y 3 2C . x n y 与xy n
8、下列整式加减正确的是【 】
(A )2x -(x 2+2x )=-x 2 (B )2x -(x 2-2x )=x2
(C )2x +(y +2x )=y (D )2x -(x 2-2x )=x2
9、减去-2x 后,等于4x 2-3x -5的代数式是【 】
(A )4x 2-5x -5 (B )-4x 2+5x +5 (C )4x 2-x -5 (D )4x 2-5
10. 、一个多项式加上3x 2y -3xy 2得x 3-3x 2y ,这个多项式是【 】
(A )x 3+3xy 2 (B )x 3-3xy 2
(C )x 3-6x 2y +3xy 2 (D )x 3-6x 2y -3xy 2
11、把a =1,b =11代入(3a -2b ) 2,正确的是( ) 22
112112 A. (31-2) B. (3-21) 2222
112112 C. (3×-2×1) D. (3×1-2×) 2222
12、今天,和你一起参加全省课改实验区初中毕业学业考试的同学约有15万人,其中男生约有a 万人,则女生约有( )
A 、(15+a)万人 B、(15-a )万人 C、15a 万人 D、
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
13. 一个三位数,它的个位数字是0,十位数字是a ,百位数字是b ,用代数式表示这个三位数是__________。
14. 若单项式-2x 3y n
第 13 页 共 20 页 -315万人 a 是一个关于x ,y 的5次单项式,则n=_________.
m 2-115. 若多项式(m+2)x y 2-3xy 3是五次二项式,则m=___________.
16. 化简2x -(5a -7x -2a )=__________。
17、. 当x =-2时,代数式2x 2+9x -3的值是____________。
18、 已知2(a -b )5(a +b )a -b -=____________。 =-3,则代数式a +b a -b a +b
19、 已知x +y =15,xy =-10,则代数式8x +5xy +8y =____________。
20、 已知长方形的长为a ,面积是16,它的宽为________。
三、解答题:(21、22、23、25、26、27每题8分,24题6分)
21、补入下列各多项式的缺项,并按x 的升幂排列:
(1)-x 3+x -2; (2)x 4-5-x 2; (3)x 3-1; (4)1-x 4
22、比较下列各式的大小:
(1)比较x -2x -15和x -2x -8的大小。(2)比较a +b 与a -b 的大小.
23、已知A =2x -5x +3,B =x +2x -1,求(1)A +B ;(2)3B -A 。
24、已知长方形ABCD 中,AB=4cm,AD=2cm,以AB 为直
径作一个半圆,求阴影部分面积。
第 14 页 共 20 页 22121522
25、. 若代数式(x 2+ax -2y +7)-(bx 2-2x +9y -1)的值与字母x 的取值无关,求a 、b 的值。
26、 已知a -b =5,ab =-1,求(2a +3b -2ab )-(a +4b +ab ) -(3ab +2b -2a ) 的值.
27、某移动通讯公司开设了两种通讯业务:①“全球通”用户先交50元月租费,然后每通话一分钟,付话费0.6元(市内通话);②“快捷通”,用户不交月租费,每通话一分钟,付话费0.8元(市内通话)。
(1)按一个月通话x 分钟计,请你写出两种收费方式下客户应支付的费用;
(2)某用户一个月内市内通话时间为200分钟,选择哪种通讯业务较省钱?
第 15 页 共 20 页
答案:
一、选择题:
1、 B ;分析:数与字母的积叫单项式,单独一个字母或数也是单项式。所以ab 2, -4, -abc , 0 是33
单项式,故选B 。点拨:注意单项式的定义,代数式中只有数与字母的积,单独一个数字和字母也是单项式。
2、B ;分析:几个单项式的和是多项式,要注意π+3, 1+, 分别是一个常数,所以这两个都是单项π22
式;多项式是:a +b , ab +b +1, x -x +1,故选B 。点拨:由于单独一个数和字母也是单项式,所以1
222
π+3, 1+, 是单项式而不是多项式。 π22
3. B ;分析:多项式为八次四项式,就是说有四项,最高次项是八,所以2m+1=7,m=3,所以选B 。点拨:多项式的次数是多项式中次数最高项的次数,所以要把每一项的次数都算出来,本题字母是a 和b ,m 是常数,所以只有4a 2m +1b 这一项的次数可能是八次。
4、C 。 分析:单项式和多项式统称整式,数与字母的积叫单项式,数字因数叫单项式的系数,所以5是单项式,. a 3bc 的系数是1,x z -y +是多项式当然是整式26,只有
14-分x 母C 。式点拨:单项式和多项式统称整式,而单项式和多项式中只中x 所含以有不。故选是整
有加、减、乘的运算,当分母中含有字母时一定有除法运算,所以分母中含有字母的代数式决不是整式。
5. B ;分析:代数式
第 16 页 共 20 页 x -y 点拨:根据一些语句列代数式,的意义是(x -y ) ÷2, 即x 与y 差的一半。2
或根据代数式说出代数式的意义,都要求我们要注意描述运算的关联词。
6. A ;分析:去括号合并同类项就可得结果。点拨:注意第二个括号前是-2,表示-2与括号中的每一项相乘,再把所得的积相加。
7. D ;分析:把n=3代入每一个答案中看相同字母的指数是否相同,如果相同字母的指数也相同就是同类项。点拨:本题也可以一个答案一个答案的看,如果是同类项那么n 应该取什么值,看哪个n 取3就选哪个,不过这个方法不如第一个方法简单。
8、A ;分析:把每个答案去括号合并同类项,看是否等于右边。点拨:注意去括号法则,括号前面是负号,把负号和括号去掉,括号中的每一项都要改变符号。
9、A ;分析:设所求代数式为A ,则有:A -(-2x )=4x 2-3x -5,所以A=4x2-3x -5+(-2x )=4x 2-3x -5-2x =4x 2-5x -5,所以选A 。点拨:已知差和减数,求被减数用加法,被减数=差+减数。所以所求代数式是差的代数式加上减去的代数式。
10、C ;分析:设所求代数式为A ,则有A+3x2y -3xy 2=x 3-3x 2y ,所以A =x 3-3x 2y -(3x 2y -3xy 2)=x 3-3x 2y -3x 2y +3xy 2=x 3-6x 2y +3xy 2,所以选C 。点拨:已知和和其中一个加数,求另一个加数用减法,另一个加数=和-其中一个加数。
11、D 。 分析:注意字母换成数,运算顺序和符号不变,所以选D 。点拨:代入求值要把代数式的含义搞清楚,要理解代数式中的运算。
12、 B;分析:参加全省课改实验区初中毕业学业考试的学生人数=男生人数+女生人数,所以女生人数=总人数-男生人数。点拨:多项式后面跟单位,要给多项式加括号。
二、填空题
13. 100b +10a ;分析:三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字;点拨:三位数的表示方法不是abc ,这样写的abc 式相乘的关系,不表示三位数,所以三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字。
14、n =5;分析:单项式的次数是所有字母的指数和,因为单项式-2x 3y n -3是一个关于x ,y 的5次单项式,所以3+n-3=5,n=5。点拨:单项式的次数是所有字母的指数和,当已知单项式次数时,可根据单项式的次数列方程,从而求出字母指数的值。
m 15、m =±2;分析:多项式(m+2)x 2-1y 2-3xy 3是五次二项式,所以m -1+2=5, m =4, m =±2;
2222点拨:多项式的次数是多项式中次数最高项的次数,所以可得方程:m -1+2=5, m =4, 到这里考虑
平方为4的数有几个?因为(±2) =4,所以m =±2。
第 17 页 共 20 页 2
16、11x-3a ;解析:2x -(5a -7x -2a )=2x-5a+7x+2a=11x-3a;点拨:去括号合并同类项时要注意括号前是负号,把括号和负号去掉,括号中的每一项都要变号。
17、-13;分析:因为x =-2,所以2x 2+9x -3=2⨯(-2) +9⨯(-2) -3=8-18-3=-13;点拨:把字母的值代入代数式中,代数式所表示的运算不变,即注意字母换成数,运算顺序和符号不变。
18、 -2a -b 13a +b 1,解析:因为=-3,它的倒数=-, a +b 3a -b 3
-5(a +b )所以2(a -b )
a +b 1513=2⨯(-3) -5⨯(-) =-6+=-; a -b 333
点拨:所给的已知条件很难求出a 与b 的值,观察代数式中出现a 、b 的地方都有一定的特点,所以考虑用整体代入法求值。
19、73;解析: 8x +5xy +8y =(8x+8y)+5xy=8(x+y)+5xy=8×1511+5×(-10)=124-51=73。25
点拨:所给的已知条件无法求出x 与y 的值,所以考虑将代数式变形整体代入求值。
20、16;分析:长方形的面积=长×宽,所以,宽=面积÷长。点拨:除法要写成分数的形式。 a
三、解答题
21、 解:(1)-2+x +0x 2-x 3
(2)-5+0x -x 2+0x 3+x 4
(3)-1+0x +0x 2+x 3
(4)1+0x +0x 2+0x 3-x 4
点拨:补缺项,要先确定现在有哪些项,再观察缺哪些项。因为不能改变多项式的值,所以只能让补入的项系数为0,例如(1)x 3+x -2是三次多项式,按x 的升幂排列,把(1)-x 3+x -2中的各项填入相应的位置,观察发现缺二次项,于是把0x 2填入二次项的位置。
常数项 一次项 二次项 三次项
-2 +x 0x 2 -x 3
同样道理(2)x 4-5-x 2是4次多项式,应有5项,把x 4-5-x 2中各项填入相应的位置,观察发现缺一次项和三次项,于是把0x 和0x 3填入相应的位置。
常数项 一次项 二次项 三次项 四次项
-5 0x -x 2 0x 3 x 4
同样方法可知(3)缺一次项和二次项,(4)缺一次项,二次项,三次项。
有时按升幂排列,也有时需要按降幂排列,方法是类似的。重新排列时注意各项要连同它前面的符号
第 18 页 共 20 页
一起移动。
22、 解:(1) (x 2-2x -15)-(x 2-2x -8)
=x 2-2x -15-x 2+2x +8
=-7
∴x 2-2x -15
(2) 解一(分析比较法):当b >0时,b >-b ,∴a +b >a -b ;
当b =0时,b =-b ,∴a +b =a -b ;
当b 解二(求差比较法): (a +b )-(a -b )=2b
∴当b >0时,a +b >a -b ;
当b =0时,a +b =a -b ;
当b 点拨:比较代数式的大小,常用的方法是求差比较法,有时也用分析法。如果求差以后的结果含有字母,那么需要分类讨论。如(2)的解法一:在a +b 和a -b 中,完全相同的部分是a ,b 与-b 是不同的,所以只要讨论b 与-b 的大小关系就可以了。解法二求差得2b ,所以要对b 进行讨论。
23、解: A +B =(2x -5x +3) +(x +2x -1)
=2x -5x +3+x +2x -1
=(2+1) x +(-5+2) x +3-1
=3x -3x +2
3B -A =3(x +2x -1) -(2x -5x +3)
=3x +6x -3-2x +5x -3
=(3-2) x +(6+5) x -3-3
=x +11x -6
点拨:整式的加减运算,要把每个整式看成一个整体,加括号以后再进行运算。
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24. 解:阴影部分的面积=长方形面积-半圆的面积,
所以,阴影部分的面积=4×2-1⨯π⨯22=8-2π, 2
2所以阴影部分的面积为(8-2π) cm 。
点拨:观察图形可知阴影部分的面积=长方形面积-半圆的面积,这是列代数式的根据。
25、解:(x 2+ax -2y +7)-(bx 2-2x +9y -1)=x 2+ax -2y +7-bx 2+2x -9y +1=(1-b ) x 2+(a +2) x +7y +1,因为代数式的值与x 无关,所以1-b=0,b=1;a+2=0,a=-2。
点拨:代数式的值与x 无关,即合并同类项后不含x 项,也就是含x 项的系数为0。
26、. 解:原式=2a +3b -2ab -a -4b -ab -3ab -2b +2a
=(2-1+2) a +(3-4-2) b +(-2-1-3) ab
=3a -3b -6ab
=3(a -b ) -6ab
把a -b =5,ab =-1代入得
原式=3⨯5-6⨯(-1)
=15+6
=21
点拨:由于已知条件中很难求出a 和b 的值,所以考虑能否用整体代入法。整理化简代数式,发现可以表示成(a-b )和ab 的形式,所以可以把把a -b =5,ab =-1整体代入求值。
27、解: (1)“全球通”客户支付的费用为:(50+0.6x )元
“快捷通”客户支付的费用为:0.8x 元
(2)把x =200分别代入上面两个代数式,得
50+0. 6x =50+0. 6⨯200=50+120=170(元)
. x =08. ⨯200=160(元) 08
因为170>160
所以选择“快捷通”业务较省钱。
点拨:“全球通”客户支付的费用=先交的月租50元+0.6×通话分钟数;“快捷通”,用户支付的费用=0.8×通话分钟数。
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