高中数学:数列求和方法归纳教师版
数列求和方法
一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式:S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 2、等比数列求和公22
(q =1) ⎧na 1
⎪n
式:S n =⎨a 1(1-q ) a 1-a n q
=(q ≠1)
⎪1-q ⎩1-q [例1] 已知log 3x =
-1
,求x +x 2+x 3+⋅⋅⋅+x n +⋅⋅⋅的前n 项和. log 23
解:由log 3x =
-11
⇒log 3x =-log 32⇒x = log 232
由等比数列求和公式得:S n =x +x 2+x 3+⋅⋅⋅+x n
11
(1-n )
x (1-x ) =1-1 = =12n 1-x
1-2
n
[例2] 设S n =1+2+3+…+n,n ∈N *, 求f (n ) =解:由等差数列求和公式得 S n = ∴ f (n ) =
S n
的最大值.
(n +32) S n +1
11
n (n +1) , S n =(n +1)(n +2) 22
11n S n 1
≤=2==
64850(n +32) S n +1n +34n +64n +34+
(n -) 2+50n n
18
,即n =8时,f (n ) max =
50 ∴ 当 n -
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an · b n }的前n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:S n =1+3x +5x 2+7x 3+⋅⋅⋅+(2n -1) x n -1………………………①
解:由题可知,{(2n -1) x n -1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数 {x n -1}的通项之积:设xS n =1x +3x 2+5x 3+7x 4+⋅⋅⋅+(2n -1) x n …②(设制错位)
①-②得 (1-x ) S n =1+2x +2x 2+2x 3+2x 4+⋅⋅⋅+2x n -1-(2n -1) x n
(错位相减)再利用等比数列的求和公式得:
1-x n -1
(1-x ) S n =1+2x ⋅-(2n -1) x n 。∴
1-x
(2n -1) x n +1-(2n +1) x n +(1+x )
S n =2
(1-x )
2462n 2n
[例4] 求数列, 2, 3, ⋅⋅⋅, n , ⋅⋅⋅前n 项的和. 解:由题可知,{n }的通项是等差
22222
1
数列{2n}的通项与等比数列{n }的通项之积
2
2462n
设S n =+2+3+⋅⋅⋅+n …………………………………①
2222
12462n
S n =2+3+4+⋅⋅⋅+n +1…………② 22222①-②得
12n 1222222n
(1-) S n =+2+3+4+⋅⋅⋅+n -n +1 =2-n -1-n +1
222222222
n +2
∴ S n =4-n -1
2
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排
列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个(a 1+a n ) . [例5] sin 21 +sin 22 +sin 23 +⋅⋅⋅+sin 288 +sin 289 的值
解:设S =sin 21 +sin 22 +sin 23 +⋅⋅⋅+sin 288 +sin 289 …………. ①
将①式右边反序得:S =sin 289 +sin 288 +⋅⋅⋅+sin 23 +sin 22 +sin 21 ……② 又因为 sin x =cos(90 -x ), sin 2x +cos 2x =1,
①+②得 : 2S =(sin21 +cos 21 ) +(sin22 +cos 22 ) +⋅⋅⋅+(sin289 +cos 289 ) =89 ∴ S =44.5
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
111
[例6] 求数列的前n 项和:1+1, +4, 2+7, ⋅⋅⋅, n -1+3n -2,…
a a a 111
解:设S n =(1+1) +(+4) +(2+7) +⋅⋅⋅+(n -1+3n -2)
a a a
将其每一项拆开再重新组合得
111
+2+⋅⋅⋅+n -1) +(1+4+7+⋅⋅⋅+3n -2) (分组) a a a
(3n -1) n (3n +1) n
当a =1时,S n =n +=(分组求和)
2211-a -a 1-n (3n -1) n (3n -1) n + 当a ≠1时,S n == +
1a -1221-a
[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
S n =(1+
解:设a k =k (k +1)(2k +1) =2k 3+3k 2+k ∴ S n =∑k (k +1)(2k +1) =∑(2k 3+3k 2+k )
k =1
k =1
n
n
将其每一项拆开再重新组合得:
S n =2∑k +3∑k +∑k =2(13+23+⋅⋅⋅+n 3) +3(12+22+⋅⋅⋅+n 2) +(1+2+⋅⋅⋅+n )
3
2
k =1
k =1
k =1
n
n
n
n 2(n +1) 2n (n +1)(2n +1) n (n +1) n (n +1) 2(n +2)
++ = =
2222
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1)a n =f (n +1) -f (n )
sin 1
(2) =tan(n +1) -tan n
cos n cos(n +1) (3)a n =
111
=-
n (n +1) n n +1
(2n ) 2111
(4) (4)a n ==1+(-)
(2n -1)(2n +1) 22n -12n +1(5)a n =
1111
=[-]
n (n -1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
a n =
n +212(n +1) -n 1111
⋅n =⋅n =-, 则S =1- n n -1n n
n (n +1) 2n (n +1) 2n ⋅2(n +1) 2(n +1) 2
[例8] 求数列
11+2
,
12+1
, ⋅⋅⋅,
1n +n +1
, ⋅⋅⋅的前n 项和.
解:设a n =
n +n +11
+
=n +1-n ,则
1n +n +1
S n =
12+1+2
+⋅⋅⋅+
=(2-) +(-2) +⋅⋅⋅+(n +1-n ) =n +1-1 [例9] 在数列{an }中,a n =的前n 项的和.
12n n ++⋅⋅⋅+= n +1n +1n +12211
∴ b n ==8(-)
n n +1n n +1⋅22
∴数列{bn }的前n 项和:
1111111
)] S n =8[(1-) +(-) +(-) +⋅⋅⋅+(-
22334n n +118n ) = =8(1-
n +1n +1
12n 2++⋅⋅⋅+,又b n =,求数列{bn }n +1n +1n +1a n ⋅a n +1
解: ∵ a n =
111cos 1 ++⋅⋅⋅+= [例10] 求证:
cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 sin 21
解:设S =
111
++⋅⋅⋅+
cos 0cos 1cos 1cos 2cos 88cos 89
sin 1
∵=tan(n +1) -tan n
cos n cos(n +1)
111
++⋅⋅⋅+
cos 0cos 1cos 1cos 2cos 88cos 89
=1
{(tan1 -tan 0 ) +(tan2 -tan 1 ) +(tan3 -tan 2 ) +[tan89 -tan 88 ]}
sin 1
S =
11cos 1
(tan89-tan 0) =⋅cot 1=2 =
sin 1 sin 1 sin 1
∴ 原等式成立
六、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .
[例11] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解:设S n = cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ cos n =-cos(180 -n ) (找特殊性质项)
∴S n = (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+···+
(cos89°+ cos91°)+ cos90°= 0 (合并求和)
[例12] 数列{an }:a 1=1, a 2=3, a 3=2, a n +2=a n +1-a n ,求S 2002.
解:设S 2002=a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 2002, 由a 1=1, a 2=3, a 3=2, a n +2=a n +1-a n 可得
a 4=-1, a 5=-3, a 6=-2,
a 7=1, a 8=3, a 9=2, a 10=-1, a 11=-3, a 12=-2, ……
∴a 6k +1=1, a 6k +2=3, a 6k +3=2, a 6k +4=-1, a 6k +5=-3, a 6k +6=-2
∵ a 6k +1+a 6k +2+a 6k +3+a 6k +4+a 6k +5+a 6k +6=0
∴ S 2002=a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 2002=
(a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅a 6) +(a 7+a 8+⋅⋅⋅a 12) +⋅⋅⋅+(a 6k +1+a 6k +2+⋅⋅⋅+a 6k +6) +⋅⋅⋅+(a 1993+a 1994+⋅⋅⋅+a 1998) +a 1999+a 2000+a 2001+a 2002 =a 1999+a 2000+a 2001+a 2002=a 6k +1+a 6k +2+a 6k +3+a 6k +4=5 [例13] 在各项均为正数的等比数列中,若
a 5a 6=9, 求log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a 10的值。
解:设S n =log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a 10
由等比数列的性质 m +n =p +q ⇒a m a n =a p a q 和对数的运算性质 l o a g M +l o a g N =l o a g M ⋅N 得:
S n =(log3a 1+log 3a 10) +(log3a 2+log 3a 9) +⋅⋅⋅+(log3a 5+log 3a 6)
=(log3a 1⋅a 10) +(log3a 2⋅a 9) +⋅⋅⋅+(log3a 5⋅a 6) =log 39+log 39+⋅⋅⋅+log 39=10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法. [例14] 求1+11+111+⋅⋅⋅+111⋅ ⋅⋅1之和.
n 个1
解:由于111⋅⋅⋅1=
k 个1
11k
⨯999⋅⋅⋅9= 9(10-1) 9 k 个1
n 个1
∴ 1+11+111+⋅⋅⋅+111⋅ ⋅⋅1=
11111
(10-1) +(102-1) +(103-1) +⋅⋅⋅+(10n -1) 9999
11
=(101+102+103+⋅⋅⋅+10n ) -(1+ 1 +1+ ⋅⋅⋅+1) 99n 个1
1110(10n -1) n
-=(10n +1-10-9n ) =⋅
910-1981
∞
8
[例15] 已知数列{an }:a n =, 求∑(n +1)(a n -a n +1) 的值.
(n +1)(n +3) n =1
解:∵ (n +1)(a n -a n +1) =8(n +1)[
11
-]
(n +1)(n +3) (n +2)(n +4)
=8⋅[
11
+]
(n +2)(n +4) (n +3)(n +4)
1111
-) +8(-) n +2n +4n +3n +4
∞
=4⋅(
∞
∞
1111
∑(n +1)(a n -a n +1) =4∑(-) +8∑(-)
n +4n +4n =1n =1n +2n =1n +3
11113
=4⋅(+) +8⋅ =
3344
专题训练
1、数列{a n }的通项a n =( )
2n 2n n +2n
B . C . D .
n +12n +1n +12n +1
1111
2、数列1, 2, 3, 4, 的前n 项和可能为 ( )
248161111A .(n 2+n +2) -n B .(n 2+n ) +1-n -1
2222
1111
C .(n 2-n +2) -n D .(n 2+n ) +2(1-n )
2222
1
,则数列{a n }的前
1+2+3+ +n
n 项和为
A .
22
3、已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 12+a 2等于( ) + a n
11
A .(2n -1) 2 B .(2n -1) C .4n -1 D .(4n -1)
33
4、数列{a n }的通项公式a n =
1n +n +1
(n ∈N *) , 若前n 项和为10,则项数n 为
( )
A .11 B .99 C .120 D .121
5、在数列{a n }中,a 1=1, a 2=2且a n +2-a n =1+(-1) n (n ∈N *) ,则S 100=. 6、已知S n =1-5+9-13+17-21+ +(-1) n -1(4n -3) ,则S 15+S 22=. 7、已知等差数列
{a n }
的前
n 项和为S n ,若
2
m >1, m ∈N , a m -1+a m +1-a m =0, S 2m -1=38,则m =.
12
8、已知数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,其前n 项和S n 满足S n =a n (S n -) 。
2
(1)求S n 的表达式; (2)设b n =
S n
,求{b n }的前n 项和T n . 2n +1
9、等比数列{a n }同时满足下列条件:①a 1+a 6=33,②a 3a 4=32,③三个数(1)求数列{a n }的通项公式; (2)记b n =4a 2, 2a 3, a 4依次成等差数列.数列{b n }的前n 项和T n .
10、等差数列{a n }各项均为正整数,a 1=3,前n 项和为S n ,在等比数列{b n }中,
b 1=1且b 2S 2=64,公比为8。
n
,求a n
(1)求a n 和b n ;(2)证明:
1113
++ +