圆内切专题

圆

1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：圆内接四边形对角互补。 5、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。圆心叫做三角形的内心。

例1：（2006·崇左）等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（

） A ．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍

分析：根据等边三角形的三线合一，可以发现并证明等边三角形的外接圆半径是内切圆半径的2倍．再根据圆的面积公式，得出其外接圆的面积是内切圆面积的4倍．

解答：因为等边三角形的三线合一，所以圆心为其重心，即外接圆的半径是内接圆半径的2倍，所以外接圆面积是内切圆面积的4倍． 故选C．

例2：已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P是△ABC的（ ）

A．外心 B．内心

C．三条高线的交点 D．三条中线的交点

分析：观察图发现，点P是三角形的三条中线的交点．结合选项，得出正确答案 解答：A、三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点，故错误 B、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，故错误

C、三条高线的交点为三角形的垂心，故错误

D、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故正确故选D

例3：（2001·陕西）如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点C． （1）求证：IE=BE；

（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．

分析：（1）连接IB，只需证明∠IBE=∠BIE．根据三角形的外角的性质、三角形的内心是三角形的角平分线的交点以及圆周角定理的推论即可证明；

（2）IE的长，即是BE的长，则可以把要求的线段和已知的线段构造到两个相似三角形中，进行求解． 解答：解：（1）证明：连接IB

∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD 又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE ∴BE=IE

（2）在△BED和△AEB中

∠EBD=∠CAD=∠BAD，∠BED=∠AEB

∴△BED∽△AEB

∴BE ：AE =DE ：BE 即DE=BE2 /AE =2 例4：（2000·杭州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5．⊙O内切Rt△ABC的三边AB，BC，CA于D，E，F，半径r=2．求△ABC的周长．

分析：根据切线的性质定理可以证明四边形OECF是正方形，再根据直角三角形的内切圆的半径求得CE的长；进而由BC的长求得BE的长，最后根据切线长定理和勾股定理求得AD，AF的长，再进一步计算其周长． 解答：根据切线长定理，得BD=BE，CE=CF，AD=AF 连接OE，OF，则OE⊥BC，OF⊥AC ∴四边形OECF是矩形 又∵OE=OF

∴矩形OECF是正方形 ∴CE=CF=r=2 又∵BC=5 ∴BE=BD=3

22

设AF=AD=x，根据勾股定理，得 （x+2）+25=（x+3） 解得x=10． 则AC=12，AB=13． 即△ABC的周长是5+12+13=30．

例：如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为（ B ）

如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA= 2 ．

如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（ C ）

如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ C ）

，D分别为切点，则tan∠OBD=（ C ）

如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，若∠BAC=70°，则∠BOC= 125 度．

如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠BAC=80°，求∠BOC的度数．

如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为

如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（ A ）

如图，已知E是△ABC的内心，∠BAC的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D．

（1）求证：∠DBE=∠DEB；

（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3．求DE的长．

如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆O于点E，连接BE、CE．

（1）若AB=2CE，AD=6，求CD的长；

（2）求证：C、I两个点在以点E为圆心，EB为半径的圆上．

边长为a等边三角形内切圆半径公式：r=

3a;外接圆半径公式：r=a 63

1

一般三角形内切圆半径公式：s=lr(l为三角形周长)

2

例：如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（ A ）

111111形A2B2C2，继续作△A2B2C2的内切圆，…，如此作下去，则正三角形AnBnCn的边长为（ B ） A B C D 不能确定

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，CF，BE交于点P，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，则△CPB的面积为 1.5 cm2．

如图，若等边△ABC的边长为2部分的面积是（ D ）

cm，内切圆O分别切三边于D，E，F，则阴影

阅读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．

∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA

又∵S△OAB=AB•r，S△OBC=BC•r，S△OCA=CA•r

∴S△ABC=AB•r+BC•r+CA•r=l•r（可作为三角形内切圆半径公式）

（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径； （2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式； （3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，

（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；

（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求内切圆半径和AI的长．

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．

（1）求⊙O的半径OD；

（2）求证：AE是⊙O的切线； （3）求图中两部分阴影面积的和．

如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）OC=CP，AB=6，求CD的长．

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，BD交AC于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半径．

如图1，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）求证：BD2=AB•BE．

图1 图2

如图2，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=

，求BC和BF的长．

如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F． （1）求证：BF=CE；

（2）若∠C=30°，

AC的长．

如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，•DC=1，则⊙O的半径等于（） A．

4535

B． C． D． 5446

如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，•如果AF=2，BD=7，

CE=4．

（1）求△ABC的三边长；

（2）如果P为⊙O上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的

周长．

如图，△ABC中，I是内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于E。求证：（1）IE=EC，

2

1、如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）

A．40° B．55° C．65° D．70°

图1 图2 图3

2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）

A．70° B．110° C．120° D．130° 3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（） A．112.5° B．112° C．125° D．55° 4．下列命题正确的是（）

A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形的内心不一定在三角形的内部

C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（） A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5 6．如图，△ABC中，∠A=m°．

（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数； （2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；

（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．

《三角形的内切圆》专题练习

一、选择题

1．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（ ）

A．130° B．60° C．70° D．80°

2．下列图形中一定有内切圆的四边形是（ ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形

3．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，•连结OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（ ）

A．45° B．55° C．65° D．70°

二、填空题

1．一个直角三角形的两条直角边长分别为6、8，则它的内切圆半径为。

2．一个等边三角形的边长为4，则它的内切圆半径为。

3．在△ABC中， AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，则它的内切圆半径为。

4．顶角为120°的等腰三角形的腰长为4cm，则它的内切圆半径为。

三、解答下列各题

1．如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝7，

AC＝5，BC＝6，求AD、BE、CF的长。

2．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AB、AC分别相切于点D、E、F，

⑴探求∠EDF与∠A的度数关系。

⑵连结EF，△EDF按角分类属于什么三角形。

⑶I是△EDF的内心还是外心？

（4）圆M的半径rM。

11

4．如图，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，两个外切的等圆⊙O1，⊙O2各与AB，AC，BC相切于F，H，

E，G，求两圆的半径。

5．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。

（Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；

（Ⅱ）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，

求r2；

（Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1

与AC、BC相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On-1均与AB边相切，求rn。

《三角形的内切圆》专题练习答案

一、选择题

1．D； 2．B；3．B。

二、填空题

1．2； 2．423； 3．； 4．(4-6)cm。 33

三、解答下列各题

1．AD＝3、BE＝4、CF＝2。

2．⑴∠EDF＝90°－1∠A；⑵△EDF是锐角三角形；⑶I是△EDF的外心。 2

3

=2。

12

（4）∵圆M与圆O、线段AC、线段BC都相切，过点M作MH⊥OD，如图3，

∴MH∥CD，

∴∠

OMH＝∠DCO。

4．

解：设圆的半径是r，将两圆圆心与已知的点连接。

∴根据勾股定理求得AB＝5，

∴斜边上的高是：3×4÷5＝2.4。

32.4-r2r+51r+2r+⨯2r+⨯r=⨯3⨯4 2222

5∴r=。 7∴

5．解：（I）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8

∴AB=AC2+BC2=10

如图，设圆O1与Rt△ABC的边AB、BC、CA分别切于点D、E、F

连接O1D、O1E、O1F、AO1、BO1、CO1

于是，

O1D⊥AB，O1E⊥BC，O1F

⊥AC

13

S∆AO1C=

S∆BO1C=

S∆AO1B=

S∆ABC=11AC⋅O1F=AC⋅r1=3r1 2211BC⋅O1E=BC⋅r1=3r1 2211AB⋅O1D=AB⋅r1=5r1 221AC⋅BC=24 2

又 S∆ABC=S∆AO1C+S∆BO1C+S∆AO1B

∴24=3r1+4r1+5r1

∴r1=2

（II）如图，连接AO1、BO2、CO1、CO2、O1O2，则 S∆AO1C=

S∆BO2C1AC⋅r2=3r22 1=BC⋅r2=4r22

∵等圆圆O1、圆O2外切

∴O1O2=2r2，且O1O2//AB

过点C作CM⊥AB于点M，交O1O2于点N，则

AC⋅BC24=AB5 24CN=CM-r2=-r25CM=∴S∆CO1O2=1⎛24⎫O1O2⋅CN= -r2⎪r2 2⎝5⎭

1(2r2+10)r2=(r2+5)r2 2

∴S梯形AO1O2B=

14

S∆ABC=S∆AO1C+S∆BO2C+S∆CO1O2+S梯形AO1O2B ⎛24⎫∴24=3r2+4r2+ -r2⎪r2+(r2+5)r2 ⎝5⎭

解得r2= 10 7

（III）如图，连接AO1、BOn、CO1、COn、O1On，则 S∆AO1C=

S∆BOnc=1AC⋅rn=3rn 21BC⋅rn=4rn 2

∵等圆圆O1、圆O2、…、圆On依次外切，且均与AB边相切。 ∴O1、O2、 、On均在直线O1On上，且O1On//AB ∴O1On=(n-2)2rn+2rn=2(n-1)rn 过点C作CH⊥AB于点H，交O1On于点K 则CH= 2424，CK=-rn 55

∴S∆CO1On=1⎛24⎫O1On⋅CK=(n-1) -rn⎪rn 2⎝5⎭

1S梯形AO1OnB=[2(n-1)rn+10]rn=[(n-1)rn+5]rn 2

S∆ABC=S∆AO1C+S∆BOnC+S∆CO1On+S梯形AO1OnB

⎛24⎫∴24=3rn+4rn+(n-1) -rn⎪rn+[(n-1)rn+5]rn ⎝5⎭

解得rn=

10

2n+

3

15