正态分布的概率密度.分布函数.数学期望与方差
13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
一、设随机变量X服从正态分布N(1,22),求(1)P(1.6X5.8);(2)P(X4.56).
X1
2.4) 2
Φ 0,1(2.4)Φ0,1(1.3)Φ0,1(2.4)[1Φ0,1(1.3)]0.991810.90320.8950
解:(1) P(1.6X5.8)P(2.6X14.8)P(1.3
X1
1.78) 2
1[Φ)Φ)]1Φ)1Φ)] 0,1(1.780,1(2.780,1(1.780,1(2.78 20.96250.99730.0402.
(2) P(X4.56)1P(X4.56)1P(2.78
二、已知某种机械零件的直径X(mm)服从正态分布N(100,0.62).规定直径在1001.2(mm)
之间为合格品,求这种机械零件的不合格品率. 解:设p表示这种机械零件的不合格品率,则pP(X1.2)1P(X1.2).
1.2X1001.2X100
)P(22) 0.60.60.60.6
(2)(2)(2)[1(2)]2(2)1 20.977210.9544 故p10.95440.0456.
而P(X1001.2)P(
三、测量到某一目标的距离时发生的误差X(m)具有概率密度
f(x)
1402e
(x20)23200
求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率. 解:三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为
D{30}{30}{30}
因为ξ~N(20,40),所以由事件的相互独立性,有
2
P(D)(P30})3(P{ξ30ξ30})3[Φ)1Φ)]3 0,1(1.250,1(0.25
(20.59870.8944 )0.50690.13025 于是有
P{三次测量中至少有一次绝对值30米}1P(D)10.130250.86975.
X2
四、设随机变量X~N(,),求随机变量函数Ye的概率密度(所得的概率分布称为对
数正态分布).
解:由题设,知X的概率密度为
3
3
fX(x)
12
e
(x)22(x)
从而可得随机变量Y的分布函数为
FY(y)P(Yy)P(eXy).
当y0时,有FY(y)0;此时亦有FY(y)0.
当y0时,有
FY(y)P(Xlny)
此时亦有FY(y)
2
1
lny
e
(x)222
dx.
12y
e
(lny)2
2.
从而可得随机变量Y的概率密度为
0,
(lny)2
fY(y)122e,2y
y0;y0.
22
五、设随机变量X与Y独立,X~N(1,1),Y~N(2,2),求: (1) 随机变量函数Z1aXbY的数学期望与方差,其中a及b为常数; (2) 随机变量函数Z2XY的数学期望与方差.
2解:由题设,有E(X)1,D(X)12;E(Y)2,D(Y)2.从而有
(1)E(Z1)E(aXbY)E(aX)E(bY)aE(X)bE(Y)a1b2;
22
D(Z1)D(aXbY)D(aX)D(bY)a2D(X)b2D(Y)a21. b22
(2)E(Z2)E(XY)E(X)E(Y)12;
D(Z2)D(XY)E(XY)E(XY)E(X)E(Y)E(X)E(Y) [D(X)E(X)][D(Y)E(Y)]E(X)E(Y) D(X)D(Y)D(X)E(Y)D(Y)E(X)
121221.
N(0,1)
则Y=X^2~卡方分布X^2(1) 所以EX^2=1
E(X^4)=DY+(EY)^2=2+1=3
E(X^5)=0.pdf概率密度函数关于y对称.
用定义求解而不是性质,X4次方当成一个g(x)函数,根据定义,E(X4次方)=积分符号g(x)f(x)dx,其中f(x)是标准正态分布的概率密度.用分部积分法求解,不过运算很麻烦.还有另一种解这种复杂积分的方法,用一个叫F(符号我打不出来)函数的性质解,前提你熟悉这个F函数,在浙大教材P79有提过这个函数
因为 X的均值为N,方差为D,
所以有 E(X^2)= D(X) +[E(X)]^2= D +N^2
令 Y = (X-N)/(D^0.5),则Y服从标准正态,即均值为0,方差为1。 则 E(Y^3) = 0 又
X = Y * D^0.5 +N
X^3 = [(Y*D^0.5) + N]^3 = Y^3 * D^1.5 + 3* Y^2 *D*N + 3*Y*N^2*D^0.5 + N^3 所以
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2222222
E(X^3) = 3 *D*N E(Y^2) + N^3 = 3 DN + N^3