工科大学高等数学试题与答案

大学 试 卷

学期： 2006 至 2007 学年度 第 2 学期 课程： 高等数学(II)竞赛 专业： 姓名： 完整学号：

填空题。（每小题4分，总计16分）

1．设函数f (x ) 在x =0点处具有二阶连续导数，且f (0)=0，f '(0)=1，f ''(0)=-2，

f (x ) -x 则lim ＝ 。 x →0x 2

2．求y =x sin x 的导数y '。 3．区域D ：x ≤1,0≤y ≤2，积分D

＝ .

∞

4．设∑n (u n -u n -1) =s ，且lim nu n =A ，则∑u n ＝ .

n =1

n →∞

∞

n =0

单项选择题，答案填入下表。（每小题4分，总计24分） ⎧e 2x -1

, x >0⎪

5．设f (x ) =⎨kx 在x ＝0处连续，k ＝( )

⎪1-x , x ≤0⎩

（A ）－1 （B ）1 （C ）－2 （D ）2

1+x

6．如果函数f (x ) =，则f (n ) (x ) ＝( )

1-x

2⋅n ! 2⋅n ! (-1) n ⋅2⋅n ! 2⋅(-1) n ⋅n !

（A ） （B ） （C ） （D ） n +1n +1n

(1-x ) n (1-x ) (1-x ) (1-x ) 7．如果⎰f (x ) dx =c ，则f (x ) ＝( ) （A ） （B （C （D ∂

f (x , y ) ＝( ) ∂x

（A ）－1 （B ）2y (C) 2(x ＋y ) (D) 2x

8．若f (xy , x +y ) =x 2+y 2-xy ，则

9．设D

是由曲线y y ＝x 围成，则⎰⎰e dxdy ＝( )

D

x y

e e e

（A ）-1 （B ） （C ）+1 （D ） 1

222

10．下列级数中，绝对收敛的是( )

∞∞∞∞

(-1) n -1n n -11n π

（A

） （B

） （C ） ∑2cos （D ）∑

n 32n -1n =1n =1n =1n =1

解答题（每小题10分，总计60分）

11．求二元函数z =f (x , y ) =x 2y (4-x -y ) 在由直线x +y =6，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值、最大值与最小值。

12．过曲线y =x 2（x ≥0）上某点A 作一条切线，使之与曲线及x 轴围成的图形的

1

面积为，求：(1) 切点A 的坐标；(2) 过切点A 的切线方程；

12

(3) 由上述图形绕x 轴旋转成的旋转体体积V 。

⎡⎤⎢⎥1

13 求极限lim ⎢-x ⎥

x →+∞1⎢ln ⎛1+⎫⎥

⎪⎢⎥⎣⎝x ⎭⎦

∞∞

(-1) n n 2n -1(-1) n n

14．求∑的和函数，并计算∑的和数。 x

(2n +1)! (2n +1)! n =1n =1

15. 设y =f (x , t ) ，而t =t (x , y ) 是由方程F (x , y , t ) =0所确定的函数，其中f ，F 都具有一阶连续偏导数，求

16. 设p ，q 是大于1的常数，且

1111

+=1，证明：对于任意x ＞0，有x p +≥x 。

p q p q

dy 。 dx

大学 试 卷 答卷

一、填空题（每小题4分，总计16分） 1．－1 2．x sin x (cosx ⋅ln x +

sin x 5π

) 3．+ 4．A －s x 32

二、单项选择题，答案填入下表。（每小题4分，总计24分）

三、解答题（每小题10分，总计60分） 11．

(1) f x '(x , y ) =2xy (4-x -y ) -x 2y ，f y '(x , y ) =x 2(4-x -y ) -x 2y

⎧f x '(x , y ) =0

解联立方程组⎨得驻点（4，0），（2，1）

'f (x , y ) =0⎩y

及所有横坐标x ＝0，纵坐标满足0≤y ≤6的点。 易知这些驻点中，只有点（2，1）在D 的内部，

''(2,1)＝－6，B ＝f xy ''(2,1)＝－4，C ＝f yy ''(2,1)＝－8＜0 且A ＝f xx

∵ B 2－AC ＝－32＜0 ∴ （2，1）为极大值点，极大值为f (2,1)＝4 (2) 再求z 在D 的边界上的值

① 在边界x ＝0，0≤y ≤6上，z ＝0

② 在边界y ＝0，0≤x ≤6上，z ＝0

③ 在边界x ＋y ＝6上，将y ＝6－x 代入f (x , y ) 中，有

f (x , y ) =2x 3-12x 2(0≤x ≤6)

令f '=6x 2-24x =0得驻点x ＝0及x ＝4，相应的函数值为f 在区间[0，6]端点处有f

x =6

x =0

=0，f

x =4

=-64

=0，比较这些函数值可得

函数在闭区域D 上的最大值为f (2,1)＝4，最小值为f (4,2) ＝－64 12．

2

(1) 如图，设切点坐标A (x 0, x 0) ，而y '(x 0) =2x 0，所以切线方程为

2

y -x 0=2x 0(x -x 0)

令y ＝0，得切线与x 轴交点为（

x 0

x 0

，0），于是 2

1112

= S=⎰x 2dx -(x 0-x 0) x 0

02212

解得 x 0=1，故A 的坐标为（1，1）。

2

(2) 将x 0=1代入y -x 0=2x 0(x -x 0) 得切线方程为

y -1=2(x -1) ，即y =2x -1

(3) 所求旋转体的体积为

111πV ＝⎰π(x 2) 2dx -π⋅12⋅=

03230

13

⎡⎤

⎢⎥⎡1t -ln (1+t )1⎤1

-＝ lim ⎢-x ⎥＝lim lim ⎢⎥t →0+

1x →+∞+1ln 1+t t t ln 1+t ⎦⎢ln ⎛1+⎫⎥令t =x →0⎣ ⎪⎢⎥⎣⎝x ⎭⎦

1-

＝lim +

t →0

ln (1+t )+

1+t

1＝lim +

t →0

t

1+t ln 1+t +t

＝lim +

t →0

11

＝

ln 1+t +1+12

14

(-1) n x 2n +1

∵ sin x =∑ x ∈(-∞, +∞)

n =0(2n +1)!

∞

∴ 当x ≠0时，

n ∞∞x ⎛∞(-1) n (-1) n n x 2n -1(-1) n n x 2n 2n -1⎫ t ⋅dt ＝∑t ⎪⋅dt ＝∑∑⎰⎰0 0(2n +1)! (2n +1)! 2n n =1n =1⎝n =1(2n +1)! ⎭

⎫111⎛∞(-1) n x 2n +1

＝ ∑-x ⎪＝sin x -

22x ⎝n =0(2n +1)! ⎭2x ⎧x cos x -sin x

, x ≠0⎪

∴ S (x ) =⎨ 2x 2

⎪x =0⎩0,

∞

1(-1) n n

当x ＝1时，得∑＝-(sin1-cos1)

2n =1(2n +1)! 15

用全微分法来求解。

由dF (x , y , t ) =0，即F x dx +F y dy +Fdt =0解出dt =-t 于是 dy =df (x , t ) =f x dx +f t dt =f x dx -

1

(F x dx +F y dy ) F t

f t

(F x dx +F y dy ) ， F t

dy f x F t -f t F x

得(F t +f t F y ) dy =(f x F t -f t F x ) dx ，故 =

dx F t +f t F y

16 令 f (x ) =

1p 1

x +-x ，则f '(x ) =x p -1-1，f ''(x ) =(p -1) x p -2 p q

令f '(x ) =0，得驻点x ＝1 又f ''(1)=p -1>0，所以f (1)=

11

+-1=0是f (x ) 在（0，＋∞）内唯一的极值 p q

1p 1

x +≥x 它也是f (x ) 的最小值。因此，当x ＞0时，f (x ) ≥f (1)=0，即

p q