概率论与数理统计的一些应用

概率论与数理统计的一些应用

xxx 指导老师：xxx

(xxxx数学与应用数学专业xxxx 级x 班xx 号, 甘肃张掖 xxxxxxx）

摘 要 本文通过实例讨论概率论与数理统计在最大期望收益值决策法, 商品流通, 环境污染, 密码学, 优化选择及选购方案等几个问题中的应用.

关键词 概率论; 数理统计; 经济领域; 生活; 应用. 中图分类号 O211.9

1 引言

21世纪是信息时代，信息已成为社会发展的重要战略资源. 在信息化社会中，概率统

计是一门相当有趣的数学分支学科. 随着科学技术的发展和计算机的普及, 概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累．今日的概率论被广泛应用于各个领域, 已成为一棵参天大树, 枝多叶茂, 硕果累累. 正如钟开莱1974年所说:“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的, 孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响, 内容宽广而深入的学科. 它最近几十年在最大期望收益值决策法, 商品流通, 环境污染, 密码学, 优化选择及选购方案中都得到了越来越广泛的应用”. 实践证明, 概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具, 为经济预测和决策提供了新的手段. 同时概率统计是解决实际生活问题, 从而获得社会生活经验的主要途径.

2 预备知识

2.1 三个定义

定义1 设P 是F 上的一个概率, B ∈F , 且P(B)>0,A ∈F 令

P (A |B ) =

P (AB )

P (B )

则称P (A |B ) 为在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.

定义2 若离散型随机变量X 的可能取值为x i (i =1,2, ) , 其概率分布为

P {X =x i }=p i i =1,2,

则当

∑|x |p

i

i =1

∞

i

时，称X 的数学期望存在，并将其数学期望记为E(X),定义为

E (X ) =∑x i p i

i =1∞

定义3 设X 为一个随机变量, 其数学期望E(X)存在，则称X-E(X)为X 的离差, 进一

2

步, 如果E {[X -E (X )]}也存在, 则称E {[X -E (X )]2}为随机变量X 的方差, 记作D(X),并

X 的标准差.

D (X ) =E (X 2) -E 2(X )

3 主要结论

定理 设A,B 是任意两个事件， 则

P (A ⋃B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )

4 初步应用

4.1 在最大期望收益值决策法中的应用

期望就是达到目标满足需求的程度，所谓最大收益值法就是从期望收益中选择最大的作为最优方案. 举例如下

某市一家报社, 长期以来, 每天印刷报纸15万份供发行, 除少量为订户用报外, 大部分通过各零售站发售. 过去报社一直未注意经济核算. 因为亏损一律由国家补贴, 所以对于是否盈利无所谓. 但近来各行业实行经济承包责任制, 报社领导认为自己单位只要加强经营管理, 是可以增加盈利的. 他们查阅了近100天来的报纸销售情况, 发现只有12天是属于15万份报纸全销售掉的, 有20天销售约14万份,30天月13万份,25天约12万份,13天约11万份. 报纸每天售价为5分, 成本费为4分. 所有该报社领导认为改善经营的关键在于改变过去每天固定印刷15万份的惯例. 应当根据市场销售情况确定一个最恰当的印刷数目使所获利润为最大值. 为此，他们利用决策分析方法帮助自己解决这个问题. 这是一个风险性决策问题. 这里，备选方案共有五个 设A1—印刷发行11万份 设A2—印刷发行12万份 设A3—印刷发行13万份 设A4—印刷发行14万份 设A5—印刷发行15万份 自然状态共有五种

销售11万份，概率为：P1=0.13（13÷100=0.13） 销售12万份，概率为：P1=0.25（25÷100=0.25） 销售13万份，概率为：P1=0.30（30÷100=0.30）

销售14万份，概率为：P1=0.20（20÷100=0.20） 销售15万份，概率为：P1=0.12（12÷100=0.12）

条件结果即各方案可能的利用值共有25种, 求获得利润最大的生产计划.

为了明显起见, 首先编制决策收益表, 即根据每天可能销售的数量，编制和计算不同生

元.

当决策方案为11万份, 市场销售状态为11万份, 获利100⨯11=1100（元）市场销售状态为12万份,13万份,14万份,15万份时, 由于只印刷11万份, 所以均获利1100元.

当决策方案为12万份, 市场销售状态为11万份, 获利100⨯11-400⨯1=700（元）, 没有销售出去的1万份亏损值为400⨯1=400（元）. 期望收益值的计算如下

11万份方案：1100⨯0.13+1100⨯0.25+1100⨯0.30+1100⨯0.20+1100⨯0.12=1100（元） 12万份方案：700⨯0.13+1200⨯0.25+1200⨯0.30+1200⨯0.20+1200⨯0.12=1135（元） 13万份方案：300⨯0.13+800⨯0.25+1300⨯0.30+1300⨯0.20+1300⨯0.12=1045（元） 14万份方案：-100⨯0.13+400⨯0.25+900⨯0.30+1400⨯0.20+1400⨯0.12=805（元） 15万份方案：-500⨯0.13+0⨯0.25+500⨯0.30+1000⨯0.20+1500⨯0.12=465（元）

4.2 商品流通——获利问题的应用

例如 商场中的食品摊位有三种蛋糕出售, 由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量. 它取1（元）,1.2（元）,1.5（元）各个值的概率分别为0.3,0.2,0.5. 若售出300只蛋糕. （1）求收入至少400元的概率.

（2）求售出价格为1.2（元）的蛋糕多于60只的概率.

解 (1)设ξ i为售出第i 只蛋糕的价格，i=1,2,„,300. 则{ξi}是独立且同分布的随机变 E(ξi ) =1⨯0.3+1.2⨯0.2+1.5⨯0.5

=1.29

D (ξi ) =12⨯0.3+1.22⨯0.2+1.52⨯0.5

=1.731

设Y 为全天蛋糕的收入. 则Y =ξ1+ξ2+ +ξ300

N （0，1）. 从而

P (Y ≥400) =1-P (Y

≈1-L

=0. 2383 5

（2）设X i 为“收储价格为1.2（元）的蛋糕的个数” i =1,2, ,300. 则{X i }是独立且同分布的随机变量序列. X i 的分布律为

E (X i ) =0⨯0.8+1⨯0.2=

0.2

D (X i ) =02⨯0.8+12⨯0.2=0.2

设Z 为当天售出价格为1.2（元）的蛋糕数，则Z =X 1+X 2+ +X 300. 由中心极限定理近似服从N （0，1），从而

P (Z >60) =1-P (Z ≤60)

=1-L (

6-300⨯0.2

)

300⨯0.2

=0.5

概率论在商品流通中的应用是很广泛的, 以上例子只说明了其在三个方面的应用. 一般地, 如果一个随机变量能够分解为相互独立且同分布的随机变量序列之和的问题, 则可直接利用中心极限定理进行分析; 此外, 在大样本情况下, 求未知非正态分布的置信区间也同样可用中心极限定理解决. 总之, 在正确理解中心极限定理的含义的同时, 恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着其重要的意义.

4.3 在环境污染中的应用

两条小河被工厂废水污染, 第一条河被污染的概率为2/5,第二条河被污染的概率为3/4.已知每一天中至少有一条河被污染的概率为4/5,求在第一条河被污染的条件下第二条河也被污染的概率和在第二条河被污染的条件下第一条河也被污染的概率.

解 设A 表示“第一条河被污染”，B 表示“第二条河被污染”. 由条件至少有一条河被污染的概率为

4

P (A B ) =

5

且

23

P (A ) =, P (B ) =

54

而

P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )

故得

423

=+-P (AB ) 554

7

. 所以在第一条河被污染的条件下第二条河也被污染的概率为20

7

P (AB ) 7

P (B |A ) ==20=,

2P (A ) 85

在第二条河被污染的条件下第一条河也被污染的概率为

7

P (AB ) 7

P (B |A ) ==20=

3P (A ) 154

4.4 在密码学中——跟随测试（又称序列测试或双比特测试）的应用

该测试的目的是判定序列S 的子序列00,01,10,11所出现的次数是否近似相等, 这也是一

由此可知P (AB ) =

个随机序列所应具备的特性. 令n 0和n 1分别表示S 中0和1的个数, 且n 00, n 01, n 10, n 11分别表示S 中子序列00,01,10,11出现的次数, 注意n 00+n 01+n 10+n 11=(n -1) ，因为这些子序列允许相交，所使用的统计量为

X 2=

42

(n 02+n 02+n 02+n 12) -(n 02+n 12) +1 n -1n

若n 不小于21, 则该统计量近似地服从自由度为2的χ2分布.

4.5 在优化选择中的应用

小明拿着一个罐子来找小花做游戏, 罐子里有四个一样大小的玻璃球, 两个黑色, 两个白色, 小明说“使劲摇晃罐子, 使罐子中的小球位置打乱, 等小球落定后, 如果是黑白相间地排列（如图所示）, 就算甲方赢, 否则就算乙方赢. ”他问小花要当甲方还是乙方, 请你帮小花出注意, 并说明理由.

分析 设A 表示第一个黑球，A 表示第二个黑球，B 表示第一个白球， B 表示第二个白球，可能出现的结果，利用树状图表示小球排列的位置为

A 1 A

B 1 B 2

B 1

A

2

2

A B 1B 2

1

B 2 B 1 2 A 2 A

B1

2

B 2 B 1 A 1 A1 B 1 2

B

解 小花当乙方, 理由:设A 表示第一个黑球,A 表示第二个黑球,B 1表示第一个白球,B

1

表示第二个白球, 有24中可能出现的结果（可以利用树状图表示）, 黑白相间排列的有8

812

种. 因此甲方赢的概率为=, 乙方赢的概率为, 故小花当乙方.

2433

4.6 概率在选购方案中的应用

例 设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命（单位：h ）X 和Y 的分布律分别为

X P k

[1**********]0.1

0.8

0.1

Y P k

9500. 3

10000. 410 0. 3

试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？

解 根据题意 对于甲

E (X ) =900⨯0.1+1000⨯0.8+1100⨯0.1

=1000

E (X 2) =1002000 D (X ) =E (X 2) -E 2(X )

=1002000-1000000 =2000

对于乙

E (Y ) =950⨯0.3+1000⨯0.4+1050⨯0.3

=1000

E (Y 2) =1001500 D (Y ) =E (Y 2) -E 2(Y )

=100150-0

=1500

100 00

因此可得

E (X ) =E (Y ) =1000

即甲、乙两厂生产的灯泡质量的平均水平相当; 而D (X ) >D (Y ) 即甲厂生产的灯泡寿命稳定性比乙厂好; 故甲厂生产的灯泡质量较好.

致谢 衷心感谢张老师, 从接受我这个学生, 到现在, 张老师一直把选择权交给我, 他说只要我喜欢

哪一方面就写哪一方面的论文, 然后他在给我加以指导, 在这个过程中我学会了独立查阅文献和相关知识. 与此同时, 张老师也教会了我, 既然我们一个小集体聚在了一起, 那就是我们的缘分, 我们要相互帮助彼此照顾. 语言已经不足以表达我的感激之情, 只有寄希望于我的学业有成来回报老师的恩情.

参 考 文 献

[1]普通高等教育“十五”国家级规划教材. 北京：科学出版社 [2]李世取, 黄晓英，刘文芳，张卫明，刘凤梅. 密码学中的有关概率模型[M].电子工业出版社.2005：370—395

[3]刘应辉. 经济数学基础教程[M].北京:经济科学出版社,2001. 399-411. [4]徐传胜. 运用实际问题改进概率统计教学［J ］. 数学教育学报,2000,11(4)