量纲分析法求解复摆和扭摆的振动周期
第22卷 第5期
2007年10月
内蒙古民族大学学报(自然科学版)
Journal of Inner Mongolia University for Nationalities
Vol. 22 No. 5
Oct. 2007
量纲分析法求解复摆和扭摆的振动周期
冯立芹1, 王耘涛2
Ξ
(1. 内蒙古民族大学物理与电子信息学院, 内蒙古通辽 028043;2. 内蒙古民族大学机械工程学院, 内蒙古通辽 028043)
〔摘 要〕通过对量纲概念及量纲分析基本理论的分析讨论, 用实例解释了在求解振动周期中的量纲分析应用. 用量纲法分析振动的周期, 只要选择主定参量, 而对物理过程几乎不需再作分析. 〔关键词〕量纲式; 量纲分析; Π定理; 复摆; 扭摆; 周期
〔中图分类号〕O303 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕1671-0185(2007) 05-0495-04
Using Dimensional Analysis to Solve the Period of
Compound Pendulum and Pendulum
FEN G Li -1tao (1. C ollege of Phys ics and E lectronics , M ,T ongliao 028043, China ; 2. College of , for the Nationalities , Tongliao , 028043, China )
on of analysis and the basic theories of dimension , examples for the of dimensional analysis to solving period were given. Using dimensional analy 2sis , we discassed period , choosed major parameters , so the process of physical analysis can be passed over.
K ey w ords :Dimensionalformula ; Dimensional analysis ; Πtheorem ; Compound pendulum ; Tor 2sional pendulum ; Period
量纲分析作为通过研究物理量之间的量纲关系从而揭示数量关系的半定量方法, 不仅成为构建数学
1～4〕
模型的一个有力工具, 而且也是研究物理问题的重要方法之一. 已有许多文献〔介绍了量纲分析法在
流体力学、近代物理和电磁学等方面的应用实例. 本文拟通过几个例子探讨一下简谐振动中的量纲分析法.
1 量纲式
在国际单位制中, 选择以下7个量作为基本量:长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度. 其基本单位为m (米) 、kg (千克, 公斤) 、s (秒) 、A (安培) 、K (开尔文) 、mol (摩尔) 和cd (坎德拉) . 在此基
〔5〕础上通过各种物理定律可得出其他导出量. 导出单位对基本单位的依赖关系称为该导出量的量纲式.
例如, 在力学中常用字母L 、M 和T 分别表示长度、质量和时间三个基本量的量纲, 其他的各物理量的量纲式就可以写为这三个字母幂函数相乘的形式. 例如, 速度的量纲式为L T -1; 力的量纲式为dim F =LM T -2. 一般说来, 在国际制中物理量A 与基本量的关系式dim A =L P M q T r 称为量纲式, 其中p 、q 、r 叫做
该物理量A 的量纲指数, L p M q T r 称作物理量A 的量纲. 求各物理量量纲指数的过程, 以及分析各物理量之间的量纲关系, 都是量纲分析的内容. 1. 1 量纲的特征
Ξ收稿日期:2007-03-21
作者简介:冯立芹(1974-) , 女, 内蒙古赤峰人, 讲师, 硕士, 从事生物物理与物理教学研究.
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(1) 量纲指数可以是正数、负数或零, 也可以是整数或分数. 如果某个量对基本量的量纲指数全部为
零, 则称它为无量纲量, 或称它为量纲1的量. 如圆心角
000
, dim
(2) 量纲独立于单位, 无量纲量可以有单位. 例如, 角度
1. 2 量纲基本法则
(1) 只有量纲相同的量, 才能彼此相等、相加或相减. 用数学语言描述物理规律时, 方程或等式各项
及表达式两边的量纲必须保持完全一致. (2) 指数函数、对数函数和三角函数的宗量应当是量纲1的. 例如,lnx , e x 等表达式中x 的量纲必为1.
2 量纲分析的基本原理
〔6〕量纲分析的基本原理主要是量纲齐次原则和“∏定理”, 它是Backingham 在1914年提出的, 此后已有很多方面的应用. 2. 1 量纲齐次原则
用数学公式表述一个物理规律时, 等号两端必须保持完全相同的量纲, 其各项的量纲必须是一致的, 或者说是齐次的, 这称为量纲齐次原则, 是量纲分析方法的理论基础. 2. 2 ∏定理
设x 1, x 2, …, x m , 是所选单位制中的m 个基本量, P a 1a 2a
(1) dim P =x 1x 2…x m 我们将(1) :
(2) ) =+2+…a m ln x m
由(2) m 维“矢量空间”的“矢量”. ln x 1,ln x 2, …,ln x m 可以看作m 空间的“正变基矢”, 则, a 2, …, a m 就是量纲矢量ln (dim P ) 在基矢上的投影量, 由矢量空间的性质知道:几个物理量的量纲彼此独立, 则无法用它们幂次的乘积组成无量纲量, 用矢量的语言就是代表他们量纲的矢量彼此线性无关. 在m 维空间内最多有m 个彼此无关的矢量. m 个矢量(a 1i , a 2i , …, a m i ) (i =1, 2, …, m )
线性无关的条件是由它们组成的行列式不等于零, 即
a 11 a 12 … a 1m
a 21 a 22 … a 2m
… … … …a m 1 a m 2 … a m m
≠0(3)
这样, ∏定理可以表述为:
若某物理问题内涉及n 个物理量, P 1, P 2, …, P n , 而选定的单位制中有m 个基本量(n >m ) , 则可以组成n -m 个无量纲的量
, , …, ∏, 在物理量∏1∏2n
P 1, P 2, …, P n 之间, 存在以下关系式
f (P 1, P 2, …, P n ) =0
) =0, , …, ∏∏1∏2n-m
) 或从上式把∏解出来: ∏=Φ(∏, , …, ∏112∏3n-m
(4) (5) (6)
可表达为相应的无量纲形式 F (
7〕
2. 3 量纲解系定理〔
设某物理量P 可由物理量P 1, P 2, …, P n 决定, 即 P =f (P 1, P 2, …, P n )
构造矩阵A =[dim P ,dim P 1,dim P 2, …,dim P n ], 即
a 1 a 11 a 21 a n 1
A =
a 2 a 12 a 22 a n 2
(7)
…
a m a 1m a 2m a
(8)
第5期冯立芹等:量纲分析法求解复摆和扭摆的振动周期
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称A 为量纲矩阵. 针对如下的量纲矩阵方程 A Y =0其解矩阵为
Y =(y 1, y 2, …, y n ) 其中
y j =[y j 1, y j 2, …, y jn ], j =1, 2, …, s
(11) (9)
(10)
并称y j 为量纲矩阵方程式(9) 的基础解系. 设rank (A ) =r , 则对矩阵方程式(9)
(1) 当r =n 时, 只有零解; (2) 当r
n
对任意的非零解基础解系y j (j =1, 2, …, n ) , 都可以构造一无量纲量
n
k =1
∏P
y jk k
, 即有
dim
k =1
∏P
y jk
k
=1(12)
上述定理及推导中有关参数的意义为:s =n -r ; j =1, 2, …, s ; i =1, , , ; k =1
, 2, …, n.
3 量纲分析法的应用
3. 1 求复摆周期
1示. 平衡时, 摆的重心C 在轴的正下方。摆动时, . 设刚体质量为m ,OC =h , 刚体对轴转动惯量为J , 在
〔8〕
任一时刻t , θ.
在物理学中, 我们知道, 复摆作角谐振动, 周期为T , 现用量纲解系定理求出T. 解本题涉及六个量: m , h , J , g , t , θ
其中θ是无量纲量, 剩下的m , g , J , h , t 五个量可以组成两个无量纲量. 设 t =f (m , h , g , J )
上式可写为 t m a 1h a 2g a 3J a 4=λ其中,
dim t =L 0M 0T 1,dim m =L 0M 1T 0,dim h =L 1M 0T 0dim g =L 1M 0T -2,dim J =L 2M 1T 0由此构造量纲矩阵为
0 0 1 1 2
A =[dim t ,dim m ,dim h ,dim g ,dim J ]=
y 1
(13) (14)
0 1 0 0 11 0 0 -2
0 0 1 1 2
y 2
y 3=y 4y 0
根据A Y =0 有0
1 0 0
1
1 0 0 -2 上述方程有唯一非零解
y 1 y 2 y 3 y 4 y =2 1 1 1 -根据式(13) 有 t 2m 1h 1g 1J -1=λ即 t =λ
m gh
(15)
图1 复摆
Figure 1 Compound pendulum
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其中λ为使上式满足等式关系的待定的无量纲常数, 可由实验确定或由更深入的理论导出. 3. 2 求扭摆周期
如图2示, 金属丝上端固定, 下端连接水平均质圆盘的中心. 建立坐标系O -xyz , z 轴与金属丝轴线
重合. 当金属丝未发生扭转形变而圆盘处于平衡位置时, 盘上半径OB 重合于x 轴. 令圆盘绕z 轴转过不大角度释放, 设φ表示半径OB 相对于平衡位置的角位移,c 为扭转系数, J 为圆盘对其质心轴即z 轴的转
〔5〕
动惯量. 如不计空气阻力, 圆盘将反复扭转不止. 由金属丝和圆盘组成的系统称为扭摆.
解本题涉及四个量:c , J , t , φ, 它们的量纲分别为:ML2T -2, L 2M , T ,1. 其中φ是无量纲量, c =π4
, 式中N 为剪切模量, R 和l 分别表示金属丝的半径和长度. 现用量纲分析法确定f 的形式. 设2l
t =f (c , J )
上式可设为
a a
(16) t =λc 1J 2
其中λ为无量纲的比例系数, a 1, a 2为待定常数. 则(16) 式的量纲关系为
dim t =T =(ML 2T -2) a 1(ML 2) a 2=M a 1+a 2L 2a 1+2a 2T -2a 1
由量纲齐次原则, 有-2a 1=1
a 1+a 2=0
即a -
2a 1+2a 2=, a 2=22
图2 扭摆
Figure 2 Torsional pendulum
将(17() , t =λ
c
(18)
4 结束语
综上所述, 量纲分析的优点主要是不需要很专门的物理知识和高深的数学方法, 就可以半性地表示出物理量与基本量之间的关系, 可有效地应用它进行单位换算, 检查物理公式、方程的正确与否. 但由于量纲分析的结果仍是半定量化的, 其中含有一些未定的无量纲函数或常数, 这些无量纲函数或常数只能由其他方法进一步确定. 从这个意义上讲, 量纲分析是有局限的、不彻底的方法. 但从量纲分析得出的变量之间必须遵守的关系式, 可以减少问题的不确定因素, 在此基础上, 应用相似理论, 通过模型试验, 确定关系式的一般函数形式, 有很大的实际意义.
参 考 文 献
〔1〕胡云. 基于量纲分析的建模研究〔J 〕. 大学物理,2006,25(12) :18-21.
〔2〕刘爱萍, 宋伟. 量纲分析的进一步细化〔J 〕. 山东工业大学学报,2001,31(6) :544-548. 〔3〕孙建美. 量纲分析及其应用〔J 〕. 湖北汽车工业学院学报,2001,15(1) :60-62. 〔4〕郭亮. 电磁理论中的量纲分析法研究〔J 〕. 喀什师范学院学报,2006,27(6) :48-50. 〔5〕漆安慎, 杜婵英. 力学〔M 〕. 北京:高等教育出版社,2002. 14-15,258-259. 〔6〕赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程〔M 〕. 北京:高等教育出版社, 1995. 59-63. 〔7〕徐婕, 詹士昌. 量纲分析的基础及其应用研究〔J 〕. 科技通报,2004,20(1) :52-53. 〔8〕程守洙, 江之永. 普通物理(第3册) 〔M 〕. 北京:高等教育出版社, 2004. 15.
〔责任编辑 郑 瑛〕