1-9函数与方程.函数模型及其应用

1.(2011·湘潭调研) 下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )

[答案] C

[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f (a )·f (b )

2．若函数f (x ) 在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f (x ) 在(－2,2) 内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值( )

A ．大于0 C ．等于0 [答案] D

[解析] 若函数f (x ) 在(－2,2) 内有且仅有一个零点，且是变号零点，才有f (－2)·f (2)

3．(文)(2010·天津市南开区模考) 已知函数f (x ) ＝a x －x －a (a >0，a ≠1) ，那么函数f (x ) 的零点个数是( )

A ．0个 C ．2个 [答案] D

B ．1个 D ．至少1个 B ．小于0 D ．不能确定

[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象，a >1时，如图(1)，0

D.

[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法．

⎛1⎫x (理)(2010·吉林市质检) 函数f (x ) ＝ 2－sin x 在区间[0,2π]上的零

⎝⎭

点个数为( )

A ．1个 C ．3个 [答案] B

⎛1⎫

[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝ 2x 与y ＝sin x 的图象，易

⎝⎭

B ．2个 D ．4个

知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．

4．(2011·深圳一检) 已知函数f (x ) ＝x ＋2x ，g (x ) ＝x ＋ln x ，h (x ) ＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )

A ．x 1

[解析] 令f (x ) ＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋

B ．x 2

2x ＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x ) ＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x 1，即x 3>1，从而可知x 1

5．(2010·山东滨州) 偶函数f (x ) 在区间[0，a ](a >0)上是单调函数，且f (0)·f (a )

A ．3 C ．1 [答案] B

[解析] ∵f (0)·f (a )

∴f (－x ) ＝f (x ) ，∴f (x ) 在[－a, 0) 中也只有一个零点，故f (x ) 在[－a ，a ]内有两个零点，即方程f (x ) ＝0在区间[－a ，a ]内根的个数为2个．故选B.

6．(文)(2010·北京西城区抽检) 某航空公司经营A 、B 、C 、D 这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A —B 为2000元；A —C 为1600元；A —D 为2500元；B —C 为1200元；C —D 为900元．若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B —D 的机票价格为( )

(注：计算时视A 、B 、C 、D 四城市位于同一平面内) A ．1000元 C ．1400元 [答案] D

[解析] 注意观察各地价格可以发现：A 、C 、D 三点共线，A 、

B ．1200元 D ．1500元 B ．2 D ．0

C 、B 构成以C 为顶点的直角三角形，如图可知BD ＝5×300＝

1500.

[点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力，要在学习过程中加强培养．

(理)(2010·济南一中) 如图，A 、B 、C 、D 是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量之比为6 ：2 ：3 ：4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P 、Q 、R 、S 中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选(

)

A ．P 点 C ．R 点 [答案] B

[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量分别为6a, 2a, 3a, 4a (a >0)，设s i (i ＝1,2,3,4) 表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i (i ＝1,2,3,4) 的大小．如果选在P 点，s 1＝6a ＋2a ×2＋3a ×3＋4a ×4＝35a ，如果选在Q 点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×4＋

B ．Q 点 D ．S 点

2a ×3＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．

7．定义在R 上的偶函数y ＝f (x ) ，当x ≥0时，y ＝f (x ) 是单调递增的，f (1)·f (2)

[答案] 2

[解析] 由已知可知，在(0，＋∞) 上存在惟一x 0∈(1,2)，使f (x 0) ＝0，又函数f (x ) 为偶函数，所以存在x ′0∈(－2，－1) ，使f (x ′0) ＝0，且x ′0＝－x 0. 故函数的图象与x 轴有2个交点．

8．(2010·浙江金华十校联考) 有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示) ，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计) ．

[答案] 2500m 2

200－x

[解析] 设所围场地的长为x ，其中0

4200－x 1⎛x ＋200－x ⎫2

⎪＝2500m 2，等号当且仅当x 场地的面积为x ×

44⎝2⎭＝100时成立

.

1. 设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x ) ＝x 3＋ax －b 在区间

[1,2]上有零点的概率为( )

1

A. 211

C. 16[答案] C

[解析] 因为f (x ) ＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x ) ＝3x 2＋a . 因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x ) 在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则

⎧⎪f (1)＝1＋a －b ≤0⎨，解得a ＋1≤b ≤8＋2a . 因此能使函数在区⎪f (2)＝8＋2a －b ≥0⎩

5

B. 83D. 4

间[1,2]上有零点的有：a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8. a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12. a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12. a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12. 根据古典概型可得有零点的概11率为.

16

⎧⎪ln x ＋2x －6 (x >0)

2．(文)(2011·舟山月考) 函数f (x ) ＝⎨的零点个

⎪－x (x ＋1)(x ≤0)⎩

数是( )

A ．0 C ．2 [答案] D

[解析] 令－x (x ＋1) ＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x ) ＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－40，

∴f (x ) 在(0，＋∞) 上有且仅有一个零点，

B ．1 D ．3

故f (x ) 共有3个零点．

(理)(2010·瑞安中学) 函数f (x ) 在[－2,2]内的图象如图所示，若函数f (x ) 的导函数f ′(x ) 的图象也是连续不间断的，则导函数f ′(x ) 在(－2,2) 内有零点(

)

A ．0个 C ．2个 [答案] D

[解析] f ′(x ) 的零点，即f (x ) 的极值点，由图可知f (x ) 在(－2,2) 内，有一个极大值和两个极小值，故f (x ) 在(－2，2) 内有三个零点，故选D.

3．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )

B ．1个 D ．至少3个

A ．f (x ) ＝tan x C ．f (x ) ＝x [答案] C

[解析] 根据程序框图知，输出的函数f (x ) 为偶函数，且此函数111

存在零点．f (x ) ＝tan x 为奇函数；f (x ) ＝(若2－122－1111

＋0，则x ，∴2x －1＝－2，∴2x ＝－1与2x >0矛盾) ；f (x ) 222－1πππ

＝lgsin x 不具有奇偶性(∵x ＝f ) ＝0，x ＝－时，f (x ) 无意义) ；

222f (x ) ＝x 是偶函数，且f (0)＝0，故选C.

1x －2

4．(文) 设函数y ＝x 与y ＝() 的图象的交点为(x 0，y 0) ，则x 0

2

3

23

23

11

B ．f (x ) ＝2－12D ．f (x ) ＝lgsin x

所在的区间是( )

A ．(0,1) C ．(2,3)

B ．(1,2) D ．(3,4)

[答案] B

[解析] 令g (x ) ＝x 3－22－x ，可求得g (0)0，g (3)>0，g (4)>0.易知函数g (x ) 的零点所在区间为(1,2)．

x

⎧⎪2－1 (x ≤0)

(理)(2010·安徽合肥质检) 已知函数f (x ) ＝⎨，

⎪⎩f (x －1)＋1 (x >0)

把函数g (x ) ＝f (x ) －x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )

n (n －1)

A ．a n ＝n ∈N *)

2B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案] C

[解析] 当x ≤0时，f (x ) ＝2x －1；当0

当1

＋1；„

∴当x ≤0时，g (x ) 的零点为x ＝0；当0

当1

故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，„，a n ＝n －1.

5．(文)(2010·揭阳市模拟) 某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d

产成本－运输成本) ，则n 的值为________.

[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，

⎧⎪y ≥y 由⎨y ≥y ⎪⎩d

33

24

y 3≥y 1

⇒50≤d

(理) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x －4) ＝－f (x ) ，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x ) ＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.

[答案] －8

[解析] 解法1：由已知，定义在R 上的奇函数f (x ) 图象一定过原点，又f (x ) 在区间[0,2]上为增函数，所以方程f (x ) ＝m (m >0)在区间[0,2]上有且只有一个根，不妨设为x 1；

∵f (x 1) ＝－f (－x 1) ＝－[－f (－x 1＋4)]＝f (－x 1＋4) ，∴－x 1＋4∈[2,4]也是一个根，记为x 2，

∴x 1＋x 2＝4.

又∵f (x －4) ＝－f (x ) ，∴f (x －8) ＝f (x ) ，∴f (x ) 是周期为8的周期

函数，

∴f (x 1－8) ＝f (x 1) ＝m ，不妨将此根记为x 3，

且x 3＝x 1－8∈[－8，－6]；同理可知x 4＝x 2－8∈[－6，－4]， ∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝x 1＋x 2＋x 1－8＋x 2－8＝－8.

解法2：∵f (x ) 为奇函数，且f (x －4) ＝－f (x ) ，

∴f (x －4) ＝f (－x ) ，以2－x 代入x 得：

f (－2－x ) ＝f (－2＋x )

∴f (x ) 的图象关于直线x ＝－2对称，

又f (x ) 为奇函数，∴f (x ) 的图象关于直线x ＝2也对称．

又f (x －8) ＝f ((x －4) －4) ＝－f (x －4) ＝f (x ) ，

∴f (x ) 的周期为8.

又在R 上的奇函数f (x ) 有f (0)＝0，f (x ) 在[0,2]上为增函数，方程f (x ) ＝m ，在[－8,8]上有四个不同的根x 1、x 2、x 3、x 4.

∴必在[－2,2]上有一实根，不妨设为x 1，∵m >0，∴0≤x 1≤2，∴四根中一对关于直线x ＝2对称一对关于直线x ＝－6对称，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2×2＋2×(－6) ＝－8.

6．(文) 某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管) ．

(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1(元) 关于x 的函数关系式；

(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y (元) 最少，并求出这个最小值．

[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需

要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，„，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天) 用掉最后的400公斤原材料需保管x －1天．

∴每次购买的原材料在x 天内的保管费用为

y 1＝400×0.03[1＋2＋3＋„＋(x －1)]＝6x 2－6x .

(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x 2－6x ＋600＋

1.5×400x ＝6x 2＋594x ＋600(元) ，

∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为

600y ＝x ＋6x ＋594＝26006x ＋594＝714. x ·

600当且仅当x ＝6x ，即x ＝10时，取得等号．

∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．

(理) 当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009的哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12千米；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16千米；③一辆出租车日平均行程为200千米．

(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱) ；

(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．

[解析] (1)设出租车行驶的时间为t 天，所耗费的汽油费为W 元，耗费的液化气费为P 元，

由题意可知，W ＝200t 140t 2.8(t ≥0且t ∈N) 123

200t 200t ×3≤P ≤×3 (t ≥0且t ∈N) ， 1615

即37.5t ≤P ≤40t .

又140t >40t ，即W >P ，所以使用液化气比使用汽油省钱． 3

140t (2)①令37.5t ＋5000＝，解得t ≈545.5， 3

又t ≥0，t ∈N ，∴t ＝546.

140t ②令40t ＋5000＝t ＝750. 3

所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t ∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱．

7．(文) 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x (元) 与年产量t (吨) 满足函数关系：x ＝t . 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格) ．

(1)将乙方的年利润w (元) 表示为年产量t (吨) 的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

(2)在乙方年产量为t 吨时，甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元) ，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？

[解析] (1)因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为：

w ＝2000－st (t ≥0)

1000210002因为w ＝t －st ＝－s t －s ＋s ，

⎛1000⎫所以当t ＝ s ⎪2时，w 取得最大值． ⎝⎭

⎛1000⎫所以乙方取得最大利润的年产量t ＝ s 2吨 ⎝⎭

(2)设甲方净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2，

⎛1000⎫将t ＝ s ⎪2代入上式，得到甲方纯收入v 与赔付价格s 之间的⎝⎭

函数关系式：

100022×1000v ＝s ， s 323100028×10001000(8000－s )又v ′＝－＋ s s s 3

令v ′＝0得s ＝20.

当s 0；

当s >20时，v ′

所以s ＝20时，v 取得最大值．

因此甲方向乙方要求赔付价格s ＝20(元/吨) 时，获最大纯收入． (理)(2010·济南一中)2009年，浙江吉利与褔特就收购福特旗下的沃尔沃达成初步协议，吉利计划投资20亿美元来发展该品牌．据专家预测，从2009年起，沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆(2009年销售量为20000辆) ，销售利润每辆每年比上一年减少10%(2009年销售利润为2万美元/辆) ．

(1)第n 年的销售利润为多少？

(2)求到2013年年底，浙江吉利能否实现盈利(即销售利润超过总投资，0.95≈0.59) ．

[解析] (1)∵沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆， ∴沃尔沃汽车的销售量构成了首项为20000，公差为10000的等差数列{a n }．

∴a n ＝10000＋10000n .

∵沃尔沃汽车的销售利润按照每辆每年比上一年减少10%，因此每辆汽车的销售利润构成了首项为2，公比为1－10%的等比数列{b n }．∴b n ＝2×0.9n －1.

第n 年的销售利润记为c n ，则c n ＝a n ·b n ＝(10000＋10000n ) ×2×0.9n －1.

(2)设到2013年年底，浙江吉利盈利为S ，则

S ＝20000×2＋30000×2×0.9＋40000×2×0.92＋50000×2×0.93＋60000×2×0.94①

0．9S ＝20000×2×0.9＋30000×2×0.92＋40000×2×0.93＋50000×2×0.94＋60000×2×0.95②

①－②得，0.1S ＝20000×2＋20000×(0.9＋0.92＋0.93＋0.94) －60000×2×0.95，

解得S ＝10×(220000－320000×0.95) ≈31.2×104>(20＋

1.5) ×104.

所以到2013年年底，浙江吉利能实现盈利．

1．(2010·江苏南通九校) 若a >1，设函数f (x ) ＝a x ＋x －4的零点

11为m ，g (x ) ＝log a x ＋x －4的零点为n ，则m ＋n 的取值范围是( )

A ．(3.5，＋∞)

C ．(4，＋∞) B ．(1，＋∞) D ．(4.5，＋∞)

[答案] B

11[分析] 欲求m n 的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是

需探讨m 、n 之间的关系，观察f (x ) 与g (x ) 的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 与直线y ＝－x ＋4的交点的横坐标，因为指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 互为反函数，故其图象关于直线y ＝x 对称，又因直线y ＝－x ＋4垂直于直线y ＝x ，指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 与直线y ＝－x ＋4的交点的横坐标之和是直线y ＝x 与y ＝－x ＋4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m ，n 的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可．

[解析] 令a x ＋x －4＝0得a x ＝－x ＋4，令log a x ＋x －4＝0得log a x ＝－x ＋4，

在同一坐标系中画出函数y ＝a x ，y ＝log a x ，y ＝－x ＋4的图象，结合图形可知，n ＋m 为直线y ＝x 与y ＝－x ＋4的交点的横坐标的2

⎧⎪y ＝x 倍，由⎨，解得x ＝2，所以n ＋m ＝4， ⎪⎩y ＝－x ＋4

⎛11⎫m n 因为(n ＋m ) n ＋m ＝1＋1＋n ＋m ≥4，又n ≠m ，故(n ＋⎝⎭

⎛11⎫11m ) n m ⎪>4n m >1. ⎝⎭

2．(2011·温州十校模拟) 已知函数f (x ) ＝2mx 2－2(4－m ) x ＋1，g (x ) ＝mx ，若对于任一实数x ，f (x ) 与g (x ) 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )

A ．(0,2)

C ．(2,8)

[答案] B B ．(0,8) D ．(－∞，0)

[解析] 当m ≤0时，显然不合题意；当m >0时，f (0)＝1>0，①

4－m 若对称轴≥0即0

4－m ②若对称轴4，只要Δ＝4(4－m ) 2－8m ＝4(m －2m

8)(m －2)

综上0

3．定义域为D 的函数f (x ) 同时满足条件：①常数a ，b 满足a

A ．1对

C ．3对

[答案] C

[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知，f (x ) ＝x 3的定义区间为

[a ，b ]时，值域为[a ，b ]，可考虑应用f (x ) 的单调性解决．

[解析] ∵f (x ) ＝x 3在[a ，b ]上单调递增，

∴f (x ) 的值域为[a 3，b 3]．

又∵f (x ) ＝x 3在[a ，b ]上为“1级矩形”函数，

3⎧⎧⎧⎧⎪a ＝a ⎪a ＝－1⎪a ＝0⎪a ＝－1∴⎨3，解得⎨或⎨或⎨， ⎪⎪⎪⎪b ＝b b ＝0b ＝1b ＝1⎩⎩⎩⎩B ．2对 D ．4对

故满足条件的常数对共有3对．

[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．

4．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a ) 经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分) ，若函数y ＝f (t ) 的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是(

)

[答案] C

[解析] A 、B 、D 的面积都是随着t 的增大而增长的速度越来越

a a 快，到t ＝时，增长的速度又减慢，而C 图则从t ＝22

与f (t ) 不符．

5．(2010·天津文，4) 函数f (x ) ＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )

A ．(－2，－1)

C ．(0,1) B ．(－1,0) D ．(1,2)

[答案] C

[解析] ∵f (0)＝－10，

即f (0)f (1)

∴由零点定理知，该函数在区间(0,1)内存在零点．

2⎧⎪x ＋2x －3，x ≤0，6．(2010·福建理，4) 函数f (x ) ＝⎨的零点个⎪－2＋ln x ，x >0⎩

数为( )

A ．0

C ．2

[答案] C

[解析] 令x 2＋2x －3＝0得，x ＝－3或1

∵x ≤0，∴x ＝－3，令－2＋ln x ＝0得，ln x ＝2

∴x ＝e 2>0，故函数f (x ) 有两个零点．

7．已知y ＝x (x －1)(x ＋1) 的图象如图所示，今考虑f (x ) ＝x (x －

1)(x ＋1) ＋0.01，则方程f (x ) ＝

0. B ．1 D ．3

①有三个实根

②当x

③当－1

④当0

⑤当x >1时，恰有一实根

正确的有________．

[答案] ①②

[解析] ∵f (－2) ＝－5.990，

即f (－2)·f (－1)

∴在(－2，－1) 内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1) 上恰有一个实根．所以②正确．

又∵f (0)＝0.01>0，结合图象知f (x ) ＝0在(－1,0) 上没有实数根，所以③不正确．

又∵f (0.5)＝0.5×(－0.5) ×1.5＋0.01＝－0.3650.所以f (x ) ＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5) 上也有一个实根．∴f (x ) ＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．

由f (1)>0结合图象知，f (x ) ＝0在(1，＋∞) 上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．