动态杨氏模量的测量

动态法弹性模量测定实验讲义

弹性模量包含扬氏模量（E）和切变模量（G）。连同泊松比（μ）共称弹性系数。这三个系数由方程μ=2G/E-1所联系，故只要测出其中任意二个系数，第三个系数即能推出。弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算，防热和隔热层计算，选用构件材料的主要依据。精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。弹性模量测定方法共有三类：一、静态法（拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样、在大形变及常温下测定。该法载荷大，加载速度慢并伴有弛豫过程、对脆性材料（石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；二是波传播法（含连续波及脉冲波法），该法所用设备虽较复杂，在室温下很好用，但因换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；三、动态法（又称共振法、声频法）：包括：弯曲（横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属（脆性材料）以及测定温度能在180℃~3000℃左右进行而为众多国家采用，美、日、我国均制定了国家标准，美国标准号为：ASTMC623-71，日本标准号为：JISA1127-1976，我国从1979年至今已发布三个国家标准，分别是GB1586-79、GB2105-80和GB/T 2105-91。

本实验就是采用动态弯曲共振法测定弹性模量。

一、实验目的及要求：

1．1：了解用动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；

1．2：掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据； 1．3：掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；

1．4：了解压电体、热电偶的功能、熟悉信号源及示波器和温控器的使用。 1．5：培养综合使用知识和实验仪器的能力。

二、实验原理：

2．1：对一长度l》直径d条件下的细长棒，当其作微小横振动（又叫弯曲振动）时，其振动方程为：

4yx

4



S

EI



2yt

2

0„„„„（1）式中Y为竖直方向位移，长棒的轴线方向为X，E为试

棒的扬氏模量、ρ为材料密度、S为棒横截面、I为其截面的惯性矩、Isy2ds。用分离变量法求方程（1）的解，令yx,t有

1Xd

4

XxTt„„（2）代入（1）

X

4

dx



S

EI



1T



d2Tdt

2

该等式两边分别是变量x和t的函数，这只有都等于一个

4

任意常数时才有可能、设为K，于是有

d4Xdx

4

K

4

X0

；

d2Tdt

2



K4EI

S

T0

设棒中各点均作谐振动，这二个线性常微分方程的通解为：

XxB1chKxB2shKxB3cosKxB4sinKx ； TtAcost

由（2）横振动方程的通解为：yx,t(B1chKxB2shKxB3cosKxB4sinKx)Acos(t)式中

1

4

KEI



2

S

„„„„（3） 该式通称频率公式

推论证明、该式对于任意形状截面，不同边界条件下都是成立的，故我们只要用特定的边界条件下定出常数K，代入特定截面的惯性矩，就可得到具体条件下的计算公式。如将棒悬挂（或支撑）在节点（即处于共振状态时棒上位移恒等于零的位置），此时，边界条件为二端横向作用力及力矩均为零，即：F

d3Xdx

3

x0

Mx

x0

EI

3yx3

0

； 及MEI

xl

2yx2.

0

即：

0，

d3Xdx3

xl

0

，

d2Xdx

2

0，

d2Xdx

2

0

，

将通解代入边界条件得到：cosKlchKl1

可用数值解法求得本征值K和棒长应满足：Knl0，4.730，7.583，10.966，14.137„„ 式中K0l0的根对应于静止状态、故将第二个根作为第一个根记作K1l，一般将K1对应的频率叫基频，此时棒上波形分布如图1的左部，而K2=7.853叫一次谐波。对应的波形分布如图．．．．．．1的右部，由图可见，试棒作基频振动时有二个节点、其位置距端面分别为0.224l和0.776l。而对一次谐波（K2）共有三个节点、其位置分别在0.132l、0.5l和0.868l。实验证明:棒上振动分布确实如此。

1

表1 振动级次—节点位置---频率比 表中L

为杆的长度。

0.224l 0.5l 0.776l 当d=8mm，l=180mm时 f2=2.74 f1（修正值）

我们将第一个本征值K1= 4.730/l代入频率公式（3）可得到自由振动时的固有频率。

1



基频：4.730EI

S

4

2

dl3m2

2

f„„„„„„(3) 因对圆形棒有：IsydsS 整理后E（圆）=1.6067·4d4

ml

同理对b为宽度、h为厚度的矩形棒有： E（矩）=0.94644

f

bh

3

2

2

„„„„„ (4)

也能推出上述试样切变模量与共振频率关系： G圆杆5.093 G矩形4.000

mlbh

mld

2

fG2

„„„„„„„(5)

fG2„„„„„„„ (6)

式中：长度l、直径d、宽b、厚h等几何尺寸均以m为单位，质量m以Kg为单位，频率f以Hz为单位，计算出弹性模量单位Nm2。 2．2：悬挂方式：

（图2）

图2是常用机械耦合法中的悬丝耦合方式，无论采用图中哪一种悬挂方法都能满足一次悬吊试样后可相继测出弯曲共振和扭转共振频率的需要，对圆杆，管状试样采用b方式更好， 如只测试样的杨氏模量，建议使二根悬丝与试样中轴线处于同一截面内。 可以推出，对一般金属材料几何尺寸为Ф5×150毫米或Ф6×180毫米

fG10fE

对2.5×150毫米的矩形杆fG8fE 注：共振频率f和固有频率f0是相关的二个不同概念，其关系为：f固有=f共振

14Q2

式中Q值远大于30,由上式可知以f共振代替f固有所导致的偏差不会大于0.03%， 故我们通常忽略两者差别。 需要指出：

（1）：上述几个公式都是对“长杆”即l》d的情况下导出，当此条件不能满足时，上述公式需

修正，即：E弹=E测·T1；修正系数T1与径长比及材料的泊松比有关，当≈0.30, d=8m/m ,

l=180m/m时，T1≈1.008。对切变模量G切G测R，R与形状有关，详见GB2105-91。

2

（2）：当l》d时，对圆杆各次谐波频率的比值为：（f基∶f1∶f2=1∶2.756∶5.404∶8.933）。 当l》d不能满足时（例如对d=8m/m，l=180m/m）上述频率比应作修正。 即：fO/f1=1∶2.74．以上修正详见国家标准GB2105-91。 三：实验装置：全套实验装置及连线如图3下所示：

3’

’接

B

图2 图3

（图3）

装置各部分叙述如下

3-1：功率函数信号发生器，可产生5-550KHz、功率（5W）的信号，有粗调及二级精密（0.1Hz） 微调，石英稳频，有方波、正弦波及三角波三种波形输出，本实验使用正弦波，其输出强

度可用分段或连续调节，输出频率数值由6位LED直接显示，本信号发生器还可当外测频

率计（5-100KHz）使用。本机装有过载保护，一旦超载，仪器自动切断输出，这应迅速切

断仪器电源并排除故障，约10余秒后重新启动，仪器又能正常工作。6-I和6-Ⅱ分别为

激发一接收放大器（其放大倍率分别为10-100倍）专门订购，只在感到自备信号源功率

不足或感到接收信号微弱时才使用，一般情况下采用我厂的信号源及换能器时无需使用放

大器。

3-2：2和5为激发和接收换能器，2将电信号变为机械振动信号输入试样，5为接收换能器用

以检测试样振动情况。我厂二种换能器均采用压电换能器。

3-3：4是试样（圆柱、圆管、矩形均可），对管状或矩形试样计算公式详见GB/T2105-91。但直

径必须一致、质量分布必须均匀、试样内部不能有夹渣、气孔及偏析，否则会现多个共振

频率。通常采用φ6-8mm，l160-180(200)mm圆柱试样。

3-4：7为示波器，其灵敏度最好为5mV/div以上，但10mV/div的亦勉为可用。 3-5：8为加热炉，温度可达1000℃；推荐在800℃以下工作可延长加热炉的使用寿命。 3-6：9是4位数显比例式温度控制器。当温控器调节旋扭由1-6档时、其输出电压可在90V-220V

之间连续调节。建议低温时采用低档（1-3）、高温时采用高档（4-6）档调节。注意只有

当试样内外温度一致时、测定的数据才是该温度时的真实数据，测定前先确定“设定”温

度，然后拨至“测量”档，这时显示出实际炉温。注意，当屏上出现1500-1800℃大数时，

说明热电偶热点已开焊需重新焊好或换用热电偶。对精确测定，热电偶的冷点应放入0℃ 冰-水混合液中。

3-7：10是热电偶，本设备采用K型（镍铬-镍硅）热电偶，理论上测定温度可达1200℃，实际

上≤1000℃才能长期使用，精确测定时热电偶应作校准。

3-8：图3-B为支撑式支架（我厂特有）激发和接收换能器2-5均可沿横杆AB水平调动位置。 试样放上，只要二个支持点不正好都在节点，试样无需捆绑就能完成测定。实验发现采用

支撑式支架，还能较为方便的测定出一次谐波共振频率。

四、实验步骤：

4．1：将各设备按图3联接好（注意各设备要接共地线），启动信号发生器，频率置于2.5K档、

连续调节输出频率、此时激发换能器应发出相应声响。轻敲桌面，示波器Y轴信号大小

立即变动并与敲击强度有关，这说明整套装置已处于工作状态。

4．2：先将二端有刻度的试样放在支撑支架上（注意不要置于二个节点上），由低到高调节输出

频率，直至在某一频率使显示屏上的利萨如图形出现最大值并在Y轴左右摆动，记下这

个频率，然后用听诊器（不要碰试样）或细金属物（例如尖咀镊子）沿轴向移动，看声

强及振动强度是否按图1发生变化。可以发现：当金属物触及二个节点时、示波器波形

变化不大，而触及腹点时，示波器示值很快减少。

4．3：若示波器显示信号太大或太小时可适当调节信号源的输出或示波器的放大倍率使波形大

小合适，继续升高频率大约在2.74倍处看是否能测出一次谐波共振频率。 4．4：变动支撑点，作f-位置曲线，用外推法推出节点的共振频率。

4．5：换用其它三种试样、验证直径-长度和共振频率的关系是否符合（3）-（6）式。

3

4．6：将耐热试样用高温悬丝捆好，室温∽500℃以下采用φ0.1左右铜℃丝,500∽1000℃采用

Ni-Gr℃挂在悬挂支架上测出基频。建议采用在接近二端激发-接收方式以取得最好效果。

测出基频并确认无误后再将试样放入炉内，将试样二端调整在炉腔中心，再用保温棉堵

住（除悬丝附近留二个小孔外）所有部位（包括二端），一定要保证二根悬丝和试棒不与

任何物体相碰，否则将影响实验进行，有关温控器及加热炉具体操作、详见说明书。 4．7：测f-T℃曲线：画出E-T℃曲线，自室温开始每50-100℃测一次共振频率，最好采用端

点悬挂接收方式以保证较好的激发一接收效果，每一个测点保温时间约10分钟以使试样

内外均温，对非严格测定、保温时间可减少，对精确测定尚需考虑试样膨胀的影响。 ETE室温

ft 式中f室温1T

2

为膨胀系数、T为温差。

五、注意事项：

5．1：因换能器为厚度约为0.1-0.3mm的压电晶体、用胶粘接在0.1mm左右的黄铜片上构成、 故极其脆弱。测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。焊接只能用15W左右 烙铁迅速焊接（不要超过3秒）否则极易损坏。

5．2:二根悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面，测定时应使试样不摆动。 5．3:信号源-换能器-（放大器）-示波器均应共“地”。

5．4:加热炉当炉温升到500℃以上时，炉壳温度较高应注意避免烫伤。 ．．．．．．．．

5．5:悬挂或支撑点如在节点时极难进行测定，全放在端点，测定虽很方便但易引入系统误差，

作f-T℃曲线时推荐采用二端悬挂方式以取得较好效果。

5．6:实验时发现用悬挂方式很难测出一次谐波频率，用支撑法测却很易测定，同时发现悬挂和

支撑的位置和基频关系密切，但用支撑法测出的一次谐波频率和支撑位置联系不大，你能

分析出其中原因吗？

5．7:用本装置可测切变模量和声频内耗详见参考资料4。

六、共振频率的判断：

测定中，激发-接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率、都可能以其本身的基频

或高次谐波频率发生共振。因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号成为关键，可用下述判据作判断。

6．1:测试前根据试样的材质、尺寸、质量通过（3）或（4）式估算出共振频率的数值，然后放

在支撑支架上，在上述频率附近进行寻找、再上悬挂支架入炉升温。

6．2:换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷（例如用力夹紧），可使此共振信号

变化或消失。

6．3:发生共振时，迅速切断信号源，除试样共振会逐渐衰减外，其余假共振会很快消失。 6．4:试样发生共振需要一孕育过程，切断信号源后信号亦会逐渐衰减，它的共振峰宽度较窄， 信号亦较强。试样共振时，可用一细金属丝沿纵向轻碰试样，这时会按表1的规律可发现

波腹、波节。对扁平试样用细硅胶粉撤在试样上可在波节处发生明显聚集。也可用听诊器

沿试样纵向移动，能明显听出波腹处声大，波节处声小并符合图1的规律。对一些细长杆

状（或片状）试样，有时能直接看到波腹和波节。

6．5:用打火机（火柴）烧悬丝或试样处，属于悬丝共振能很快消失，属于试样的共振频率会发

生减少。

6．6:用频率比法进行判别。对长为160-180mm,直径6-8mm的金属圆杆试样

f12.74f

6．7:如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，只能通过更换合格试样解决。 6．8:尽可能采用较小的信号激发，这时发生虚假信号少且弱，采用端点激发一接收方式可极大

的提高实验效果。

6．9:接收信号在共振点附近相位会发生突变，示波器上椭圆主轴会在Y轴左右偏移，高温时因

试样机械品质因素下降，因试样在炉内采用其他判别方法均困难，此成为主要判据。 6．10:当输入某个频率在显示屏发现共振时，即使托起试样，示波器显示的波形仍然很少变化，

说明这个共振频率不属于试样。

6．11:悬丝共振时可明显看见悬丝上形成驻波。

4

七、据处理与分析：

表一

表二 测fT℃曲线 试样d l 材质

根据所得值代入公式（3-4）计算出试样扬氏模量再利用误差传递公式计算：

（5）

Er

mm

2ll

2ff

4

dd

写出结果表达式：EE

表三

铜试样d= l

思考题：

1、你在实验中是否发现假共振峰。是何原因，如何消除？是否有新的判据？

2、悬挂时捆绑的松紧，悬丝的长短、粗细、材质、钢性都对实验结果有影响，是何原因，可否消除？

3、如何用外推法算出试棒节点真正的共振频率？

4、试样的固有频率和共振频率有何不同，有何关系？可否不测量质量而引入材料密度ρ，这

时公式（3）应作何变动？

参考资料：

1、金属材料扬氏模量、切变横量及泊松比测量方法（动力学法），国家标准GB/T 2105-80（或91）。

2、梁昆淼：数数物理方法， 人民教育出版社1979。 3、高温弹性模量（室温-2500℃）测定 黄亦明 1963全国高温测试会议论

文。

4、金属材料物理性能手册① 冶金工业出版社1987。

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