不等式证明中的增设条件法
增设条件法
当遇到的不等式是齐次式时,我们可以设变量之和为k (k 为某个常数),这样一来,不仅简化了原不等式,又增加了条件,无疑有助于我们解决问题。 例1 (美国数学奥林匹克试题)
设a , b , c 是正实数,求证:
(2a +b +c ) 2(2b +a +c ) 2(2c +b +a ) 2
+2+2≤8 2222
2a +(b +c ) 2b +(a+c ) 2c +(b +a )
证明:因为不等式左边是齐次式,所以不失一般性,我们设a +b +c =3. 于是等价于证明
(a +3) 2(b+3) 2(c+3) 2
++≤8
2a 2+(3-a ) 22b 2+(3-b ) 22c 2+(3-c ) 2(x +3) 2
, x ∈R 令 f (x ) =22
2x +(3-x )
18x +618x +6f (x ) =(1+2) =(1+)
33x -2x +3(x -1) 2+2
则
18x +61
≤(1+) =(4x +4)
323
所以f (a ) +f (b ) +f (c ) ≤
1
(4a +4+4b +4+4c +4) =8。 3
注:或许有人问为什么可以这样增设条件呢?其实你可以这样想,因为原不等式左边是齐次式,而右边又是常数,所以不等式取等时a , b , c 肯定满足比例(倍数)关系,而跟它们的具体取值无关,所以我们可以来增设条件借此简化式子,其实也可以设abc =1。 2 设a , b , c 为正实数,求证:
++(a +b +c ) 2≥证明一:同样该不等式为齐次式,故不妨设a +b +c =1. 于是原不等式转化为证
+++1≥
即
++
≥
看到这个形式我们就笑眯眯了,一看就是待定系数凑均值的套路,但不必待定系数,那样比较繁,我们考虑取等条件来确定系数。当a =b =c =1/3时,不等式取到等号,
=
==
11
9份的。 99
++
≥
故
1
≥=a +b +c 3
所以原不等式成立!
证明二:不妨设abc =1. 于是,原不等式等价于证
记t =
+(a +b +c ) 2≥
由均值不等式易知t ≥++≥3,
4
故只需证3+t ≥
(t ≥所以原不等式成立!