第6章圆轴扭转(3)
动脑又动笔
【例7】画出以下结构的扭矩图(单位:kNm)。
3 Mx (kN•m)
5
2
6
x 3
6
8
动脑又动笔
从轴的扭转强度考虑,哪一种布置最合理?(单位:kNm)
3
5
2
6
5
6
2
3
2
5
6
3
2
3
5
6
动脑又动笔
【例8】如图所示。M1=1kNm,M2=3kNm,轴的许用切应力 [τ]=60MPa,校核强度。若将实心圆轴改为内外径之比为0.7的空心圆
轴,在强度相等的条件下,求空心圆轴外径,并求两者的重量比。
解:(1)求扭矩及扭矩图
D = 60 A
M1
B
M2
C
由静力平衡方程有
M
x
(F ) 0
D1
A
M1
B
M2
C
解得 M xAB 1kN m M xBC 2kN m
M max M xBC 2kN m
(2)校核轴的强度 由强度条件 ,有 x
max
M max WP M max 47.2 MPa [ ] 1 d3 16
Mx (kN•m)
2
故轴是安全的。
1
动脑又动笔
(3)当实心轴的强度与空心轴的强度相等时,两种轴 Wp 相等。 实心轴 空心轴
WP WP 1 1 d 3 42400mm 3 16 1 D13 1 4 W P 16
D1
3
1
16W P
4
65.74mm
取 D1 为 66 mm 。
两者重量比
1 D12 1 2 D12 1 2 G1 l 4 0.61 2 1 G l D D2 4
§6–5 圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转的强度计算步骤:
(1)计算外力偶矩 (2)计算扭矩,画扭矩图 (3)判断危险截面,计算抗扭截面系数和τmax
(4)根据强度条件,校核强度,设计截面尺寸或确定许可荷 载
§6–5 圆轴扭转时的强度与刚度计算
对于轴类构件,不仅要满足强度条件,还要满足刚度条件, 即工作时不能断裂,还要不能产生过大的扭转变形。
如机床主轴若产生过大的扭转变形,将引起剧烈的扭转振动,影
响工件的加工精度和表面粗糙度。
精度要求较高的轴,就必须同时满足强度和刚度要求。
如何计算圆轴扭转变形的大小?
如何建立圆轴扭转的刚度条件? 如何计算有关刚度的三类问题?
§6–5 圆轴扭转时的强度与刚度计算
三、圆轴扭转刚度计算
1.圆轴扭转变形
相距dx的两截面间 的相对扭转角 相距 l 两截面的 相对扭转角
Mx d dx GI P Mx dx l GI P M x i li 阶梯轴: GI Pi Mxl GI P
扭矩、切变模量为常数的等直圆轴 相距l 的两截面的相对扭转角
注意:分清楚哪个截面对于哪个截面的扭转角,或者是圆轴中哪一段的 扭转角。
§6–5 圆轴扭转时的强度与刚度计算
Mxl GI P 力学含义:
圆轴扭转角的大小与横截面上的扭矩成正比;
与圆轴的长度成正比; 与圆轴的极惯性矩和材料的剪切模量成反比
适用范围:只能在扭矩相同、半径相等,材料一样的一段圆轴
内使用,且要服从小变形假设——胡克定律。
§6–5 圆轴扭转时的强度与刚度计算
扭转角的转向与扭矩的转向相同,正负号由扭矩的正负决定。
M x N m lm G N / m I P m
2
4
M xl GI P
注意:计算出来的扭转角
单位是弧度!
用扭转角描述圆轴变形大小的局限性:扭转角的大小还包含有长 度l 的因素。
在同样大小的扭矩作用下,一根2m长的钢制圆轴的扭转角,很可
能比一根粗细相同的0.2m长的铝制圆轴的扭转角大,但能否因此断言 说钢轴的刚度比铝轴小呢? 不能!
描述刚度大小的参数是单位长度扭转角!!
§6–5 圆轴扭转时的强度与刚度计算
2. 圆轴扭转刚度条件
许可单位扭转角
M x max d ( )max dx GI P
(rad/m)
单位长度的 相对扭转角
max
max
M x max 180 GI P
(˚/m)
GIp:反映了截面抵抗扭转变形的能力,称为截面的抗扭刚度。 刚度校核
根据扭转刚度条件可进行三类刚度问题计算: 截面设计
许可载荷确定
动脑又动笔
【例9】图示圆截面轴AC,承受扭力偶矩MA、MB、MC作用。已知 MA = 180N· m,MB = 320N· m,MC = 140N· m ,IP = 3.0×105mm4,l = 2m,G = 80GPa,[θ] = 0.5o/m。试计算该轴的总扭转角φAC ,并校核
轴的刚度。
动脑又动笔
解:⑴ 计算轴的总扭转角
M AB 180N m M BC 140N m M AB l 180 2 2 AB 1.50 10 rad 9 5 12 GI P 80 10 3.0 10 10
BC
M BC l ( 140) 2 2 1.17 10 rad 9 5 12 GI P 80 10 3.0 10 10
AC AB BC 1.50 102 ( 1.17 102 ) 0.33 102 rad
⑵ 校核轴的刚度 M max M AB 180 180 o max 0.43 /m 9 5 12 GI P GI P 80 10 3.0 10 10 所以轴的刚度满足要求。
动脑又动笔
【例10】传动轴转速n = 300r/min,主动轮A输入的功率PA = 36.7kW。从动轮B、C、D输出功率分别为PB=14.7kW,PC = PD = 11kW。轴的材料为5号钢,G = 80GPa, [τ] = 40MPa , [θ] = 2o/m 。试选择BD的直径。
解:⑴ 计算外力偶矩 P 36.7 M A 9549 A 9549 1168N m n 300 PB 14.7 M B 9549 9549 468N m n 300 P 11 M C M D 9549 D 9549 350N m n 300
动脑又动笔
⑵ 作扭矩图确定最大扭矩
M BA 468 N m M AC 700N m M CD 350N m M max 700N m
Mx/N· m
⑶ 计算BD的直径 按强度条件设计轴的直径
M max 16 M max 3 WP d
max
动脑又动笔
按强度条件设计轴的直径
max
M max 16 M max 3 WP d
3
d
16 M max
3
16 700 2 4.47 10 m 6 40 10
按刚度条件设计轴的直径 M max 32 M max max
4 GI P G d
d
4
32 M max G
4
32 700 180 2 4.00 10 m 9 80 10 2
所以BD的直径 d 4.47 102 m
动脑又动笔
【例11】传动轴及其所受外力偶如图所示。承受扭力偶矩MA、MB 、MC作用。已知MA = 1200N· m,MB = 1200N· m,MC = 800N· m。轴 材料的切变模量G =80GPa ,直径d=40mm。试计算该轴的总扭转角 ФAC。
0.8m
1m
动脑又动笔
解:⑴ 截面法求扭矩
M AB 1200N m
⑵ 求极惯性矩
M BC 800N m
0.8m
1m
IP
(3) 求扭转角
1 4 0.04 m 4 0.25 106 m 4 32
AB
M AB l 1200 N m 0.8m 0.048rad 9 6 4 GI P 80 10 Pa 0.25 10 m
BC
M BC l 800 N m 1m 0.04rad 9 6 4 GI P 80 10 Pa 0.25 10 m
AC AB BC 0.048rad 0.04rad 0.008rad
动脑又动笔
【例12】直径d =25 mm的钢圆杆,受轴向拉力60 kN作用时,在标距为200 mm的长度内伸长了0.113 mm;当它受一对矩为0.2 kN· m的外力偶作用而 扭转时,相距200 mm的两个横截面相对转动了0.732º 的角度。试求此圆杆 所用钢材的弹性常数E、G和ν。
解:圆杆面积为 A d 2 0.0252 m 2 4.906 104 m 2 极惯性矩 伸长量
Fl l EA
Ml GI P
1 4
1 4
IP
1 4 0.025 m 4 3.83 108 m 4 32
Fl 60 103 N 0.2m 11 E 2.16 10 Pa 216GPa 3 4 2 lA 0.113 10 m 4.906 10 m
相对转动角
G E 2 1
Ml 0.2 103 N m 0.2m G 8.17 1010 Pa 81.7GPa I P 0.732 3.83 108 m 4 180 E 216 1 1 0.322 2G 2 81.7
§6–5 圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转的刚度计算步骤:
(1)计算外力偶矩 (2)计算扭矩,画扭矩图 (3)分析危险截面,判断其位置,计算θmax
(4)根据刚度条件,校核强度,设计截面尺寸或确定许可荷 载
§6–5 圆轴扭转时的强度与刚度计算
注意: (1)在进行刚度计算时,不要弄错单位。
又要根据轴的直径,判断其刚度最小的截面,当有几个可能的危险 截面时,应同时进行校核,加以比较。 (3)当圆轴既满足强度条件,又要满足刚度条件时,必须对两 者同时进行计算。对于强度和刚度校核问题,只要有一个不符合要
(2)刚度校核跟强度校核一样,既要依据扭矩图找出最大扭矩,
求,此轴就不能用;对于截面尺寸计算问题,应视两者谁对截面尺
寸要求大,取大者作为截面的合力设计尺寸;对于载荷计算问题, 应视两者谁承受的载荷小,取小者作为圆轴允许的最大载荷(此处 为扭矩)。