柯西不等式的变形及其应用
柯西不等式的变形及其应用
周学员
作者单位:湖北省安陆市第一高级中学
邮政编码:432600
高中新课程标准实施后与以前的课本比较新增了一些内容,这些新增内容在拓宽学生知识面的同时也增加了新的难点,例如新增的柯西不等式就是其中的难点之一,下面谈一谈柯西不等式的两种变形及其应用,希望对读者理解与应用柯西不等式有所帮助。
一.柯西不等式
如果ai、bi∈R(i=1,2,……,n),那么
nnnab2
i
i1i12i(aibi)2,当且仅当bi=0(i=1,2,……,n)或存在一个常数k,使得i1
ai=kbi(i=1,2,……,n)时,等号成立。
二.两个推论
推论1.如果ai∈R,bi>0,(i=1,2,……,n),那么
n
abi1in2i(ai)2i1nb
n1,当且仅当bi=kai (i=1,2,……,n)(i=1,2,……,n)时,等号成立。 i
证明:由柯西不等式得
nai2naib(ibii1bii1i1nbi)2(ai) i1n2
ai2∴i1bin(ai)2nnb
n1,当且仅当bi=kai (i=1,2,……,n)(i=1,2,……,n)时,等号成立。 i
推论2.如果aibi>0(i=1,2,……,n),那么
nbi1aii(ai)2nab
n1i1n,当且仅当b1=b2=…=bn时,等号成立。 ii
证明:由柯西不等式得
nnainai2aibi(aibi)(ai) bbi1ii1i1i1in2
∴aii1bin(ai)2nab
n1i1n,当且仅当b1=b2=…=bn时,等号成立。 ii
三。应用提高
例1.已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证:
证明:∵a,b,c∈R+,a+b+c=1
由推论1得 1119 abc
111(111)2
9 abcabc
∴1119 abc
2229 abbccaabc例2.已知a,b,c∈R+,求证:
证明:∵a,b,c∈R+,
由推论1得 222(32)29∴ abbcca2(abc)abc
2229 abbccaabc
abc3 例3.已知a,b,c∈R+,求证:a2bcab2c2abc4即
证明:∵a,b,c∈R+,
由推论2得
abc(abc)2
= a2bcab2c2abca(a2bc)b(ab2c)c(2abc)
(abc)2(abc)2(abc)2
2222abc3(abbcca)(abc)(abbcca)(abc)2(abc)2
3
=3 4
abc3 a2bcab2c2abc4∴
例4.已知n∈N*且 n≥2,求证:
证明:由推论1得 41112 7n1n22n2
111n22n224() n1n22n(n1)(n2)2nn(n12n)37
n
又由推论2得
111111()2111 222(n1)(n2)(2n)n1n22nn
∴(111111)2n[] n1n22n(n1)2(n2)2(2n)2
n[111111]n() n(n1)(n1)(n2)(2n1)2nn2n2
∴1112 n1n22n2
故原不等式成立
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