向量和向量范数
3.4 向量和矩阵范数
3.4.1 内积与向量范数
为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性,需对向量种度量,就要定义范数,它是向量" 长度" 概念的直接推广,通常用复向量空间.
及矩阵
的" 大小" 引进一
表示n 维
表示n 维实向量空间,
定义4.1
设(或) ,,,实数或
复数 非负实数
定理4.1 设
(1)
设(或
) 则内积有以下性质:
,称为向量x 与y 的数量积也称内积.
,称为向量x 的欧氏范数或2-范数.
,当且仅当x=0时等号成立;
(2)
(3)
(4)
, 或
, 或
; ;
;
(5)
称为Cauch-Schwarz 不等式.
(6)
定义4.2 向量
(3.4.1)
,称为三角不等式.
的某个实值函数N(x),记作,若满足下列条件:
(1) ‖x ‖≥0,当且仅当x=0时等号成立(正定性) ;
(2)
(3)
(齐次性) ; (三角不等式) ;
则称是上的一个向量范数.
对于
有以下几种常用的向量范数.
,由内积性质可知它满足定义4.2的三个条件,故它是一种向量范数. 此外还
(称为∞-范数)
容易验证
及
(称为1-范数)
均满足定义4.2的三个条件. 更一般的还可定义
但只有p=1,2,∞时的三种范数是常用的向量范数. 例如给定
定理4.2 设数.
定理4.3 设
不等式称为向量范数等价性.
以上两定理证明可见[2],[3]. 讲解:
与
是
上任意两种向量范数,则存在常数
(3.4.2)
,使
是
上任一种向量范数,则N(x)是向量x 的分量
的连续函
, 则可求出
在向量得内积(x,y )的性质中,定理4.1的(5)为Cauch-Schwarz 不等式(3.4.1)是经常
,考察
使用的,下面给出证明,显然当x =0或y =0时(3.4.1)成立,现设
若取
则上式为
于是
两边开方则得(3.4.1)
利用(3.4.1)直接可证三角不等式,从而可证明向量2一范数
,满足定义中的三个条件。
及是三种最常用的范数。
实际上可以给出很多不同的向量范数,只要证明它们满足定义4.2中的三个条件,定理4.3表明任意的两种向量范数己证明。
及
,它们都是等价的,对于
的等价性在习题10中给出,可自