幂函数图像与性质(有的有,有的没有)
幂函数的性质与图像
1、幂函数的定义
一般地,形如y =x α(x ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 如y =x , y =x , y =x 等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 2、函数的图像
(1)y =x (2)y =x (3)y =x 2 (4)y =x -1 (5)y =x 3
用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出幂函数的性质。
3.幂函数性质
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0, +∞]上,是增函数
(3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. (4)在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.
3. 幂函数y =x α的图象,在第一象限内,直线x =1的右侧,图象由下至上,指数 . y 轴和直线x =1之间,图象由上至下,指数α .: 4. 规律总结
1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论;
2.对于幂函数y =x α,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即α<0,0<α<1和α>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意α=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:
“正抛负双,大竖小
1
2
2
13
-
14
横”,即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型;α>1时图象是竖直抛物线型;0<α<1时图象是横卧抛物线型. 在[0,+∞]上,y =x 、y =x 、y =x 、y =x 是增函数, 在(0,+∞)上, y =x -1是减函数。
例1.已知函数f (x )=(m 2-m -1)x -5m -3,当 m 为何值时,f (x ):
(1)是幂函数;(2)是幂函数,且是(0, +∞)上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)m =2或m =-1(2)m =-1(3)m =-变式训练:
已知函数f (x )=(m 2+m )x m 是上升曲线。
2
⎧⎪m +m >0
简解:⎨2 解得:m ∈(-∞, -1)
⎪⎩m -2m -3>0
2
23
1
2
42
(4)m =-(5)m =-1 55
-2m -3
,当 m 为何值时,f (x )在第一象限内它的图像
(3, +∞)
小结与拓展:要牢记幂函数的定义,列出等式或不等式求解。
例2.比较大小:
(1)(2)(-1.2) 3,(-1.25) 3(3)(4)0.53,30.5,log 30.5 1.5,1.7 5.25-1,5.26-1,5.26-2解:(1)∵y =x 在[0,+∞) 上是增函数,1.5
(2)∵y =x 3在R 上是增函数,-1.2>-1.25,∴(-1.2) 3>(-1.25) 3 (3)∵y =x -1在(0,+∞) 上是减函数,5.255.26-1; ∵y =5.26x 是增函数,-1>-2,∴5.26-1>5.26-2; 综上,5.25-1>5.26-1>5.26-2
(4)∵01,log 30.5
12
12
12
1212
例3.已知幂函数y =x m -2m -3(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值.
解:∵幂函数y =x m -2m -3(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴m 2-2m -3≤0,∴-1≤m ≤3;
∵m ∈Z ,∴(m 2-2m -3) ∈Z ,又函数图象关于原点对称, ∴m 2-2m -3是奇数,∴m =0或m =2.
例4、求函数y =x +2x +4(x ≥-32)值域.
解析:设t =x ,∵x ≥-32,∴t ≥-2,则y =t 2+2t +4=(t +1)2+3. 当t =-1时,y min =3.
∴函数y =x +2x +4(x ≥-32)的值域为[3,+∞). 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法.
25
15
15
2
2
2515
幂函数练习试题(含答案)
1. 下列函数中不是幂函数的是( )
A.y = B.y =x 3 C.y =2x D.y =x -1 答案:C
2. 下列函数在(-∞,0)上为减函数的是( )
A.y =x B.y =x 2 C.y =x 3 D.y =x -2 答案:B
3. 下列幂函数中定义域为{x x >0}的是( )
A.y =x B.y =x C.y =x D.y =x 答案:D
4.函数y =(x -2x )
2
13
2332
-
23
-
32
-
12
的定义域是( )
A .{x |x ≠0或x ≠2} B .(-∞,0) (2,+∞) C.(-∞,0)] [2,+∞] D .(0,2)
解析:函数可化为根式形式,即可得定义域 答案:B 5.函数y =(1-x )的值域是( )
A .[0,+∞] B .(0,1) C.(0,1) D.[0,1] 解析:这是复合函数求值域问题,利用换元法,令t =1-x 2,则y =t . ∵-1≤x ≤1,∴0≤t ≤1,∴0≤y ≤1. 答案:D 6.函数y =x 的单调递减区间为( )
A .(-∞,1) B .(-∞,0) C.[0,+∞] D .(-∞,+∞) 解析:函数y =x 是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,由对称性选B . 7.若a <a
1
2
-12
25
25
2
12
,则a 的取值范围是( )
A .a ≥1 B .a >0 C.1>a >0 D.1≥a ≥0 解析:运用指数函数的性质,选C .
8.函数y =(15+2x -x 2) 3的定义域是 。
解析:由(15+2x -x 2)3≥0.∴15+2x -x <20.∴-3≤x ≤5. 答案:A 9.函数y =
1x
2-m -m 2
在第二象限内单调递增,则m 的最大负整数是________.
解析:m 的取值应该使函数为偶函数.故m =-1.
10、讨论函数y =x 的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图. 思路:函数y =x 是幂函数.
(1)要使y =x =x 2有意义,x 可以取任意实数,故函数定义域为R . (2)∵x ∈R ,∴x 2≥0.∴y ≥0.
(3)f (-x )=(-x ) 2=x 2=f (x ), ∴函数y =x 是偶函数;
2
(4)∵n =>0,
5
∴幂函数y =x 在[0,+∞]上单调递增. 由于幂函数y =x 是偶函数,
∴幂函数y =x 在(-∞,0)上单调递减. (5)其图象如下图所示. 11、比较下列各组中两个数的大小:
(1)1. 5,1. 7; (2)0.7,0.6; (3)(-1. 2)
3
5
25
252525
252525
3535
1.51.5
23
,(-1. 25)
2
3
.
解析:(1)考查幂函数y =x 的单调性,在第一象限内函数单调递增, ∵1.5<1.7,∴1. 5<1. 7,
(2)考查幂函数y =x 的单调性,同理0.71.5>0.61.5. (3)先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数 ∵(-1. 2) ∴(-1. 2)
2
323
32
3535
=1. 2
-
23
,(-1. 25)
23
-
23
=1. 25
-
23
,又1. 2
-
23
>1. 25
-
23
,
>1. 25
-
.
点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是:
(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;
(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.
12.已知函数y =-2x -x 2. (1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间.
解析:这是复合函数问题,利用换元法令t =15-2x -x 2,则y =t , (1)由15-2x -x 2≥0得函数的定义域为[-5,3], ∴t =16-(x -1)2∈[0,16].∴函数的值域为[0,2].
(2)∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
(3)∵函数的定义域为[-5,3],对称轴为x =1,
∴x ∈[-5,1]时,t 随x 的增大增大;x ∈(1,3)时,t 随x 增大减小. 又∵函数y =在t ∈[0,16]时,y 随t 的增大而增大,
∴函数y =,单调减区间为(1,3]. -2x -x 2的单调增区间为[-5,1] 答案:(1)定义域为[-5,3],值域为[0,2];
(2)函数即不是奇函数,也不是偶函数; (3)(1,3].
幂函数练习试题二(不含答案)
例1比较下列各组数的大小:
(1)1.5,1.7,1; (2)
(-
-2
3
25
35
13
13
2
)
-
23
,(-
107
),1.1
2
3
-
43
;
(3)3.8,3.9,(-1.8); (4)31.4,51.5.
例2已知幂函数y =x m -6(m ∈Z ) 与y =x 2-m (m ∈Z ) 的图象都与x 、y 轴都没有公共
点,且
y =x m -2(m ∈Z ) 的图象关于y 轴对称,求m 的值. 例3幂函数f (x ) =(t 3-t +1) x 式.
7+3t -2t 2
5
是偶函数,且在(0,+∞) 上为增函数,求函数解析
练习1、
1如果幂函数f (x ) =
x α的图象经过点2.函数y =(x -2x )
25
2
,则f (4)的值等于 -
12
的定义域是
3.函数y =x 的单调递减区间为4.函数y =
x 1
2-m -m
2
在第二象限内单调递增,则m 的最大负整数是_______ _.
练习2、
1.幂函数y =f (x ) 的图象过点(4,) ,则f (8)的值为 .
2.比较下列各组数的大小: (a +2) a ; (5+a ) 5; 0.40.50.50.4.
2
32
12
32
-
23
-
23
3.幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是 .
4
1
4.设x ∈(0, 1),幂函数y =x a 的图象在y =x 的上方,则a 的取值范围是 .
5.函数y =x 4在区间上 是减函数.
6.一个幂函数y =f (x ) 的图象过点(3, 27), 另一个幂函数y =g (x ) 的图象过
-3
点(-8, -2),
(1)求这两个幂函数的解析式; (2)判断这两个函数的奇偶性; (3)作出这两个函数的图象,观察得f (x )
练习3、
1.用“”连结下列各式:0.320.60.320.50.340.5, 0.8 0.6.
-0.4
-0.4
2.函数y =(x -1) +(4-x ) 3.y =x a 4.已知
2
1
2
--
32
的定义域是-4a -9
是偶函数,且在(0, +∞) 是减函数,则整数a 的值是,x 的取值范围为2x 3
>
5x 3
5.若幂函数y =x a 的图象在0
6.若幂函数f (x ) 与函数g(x)的图像关于直线y=x对称,且函数g(x)
的图象经过
, 则f (x ) 的表达式为 x +2
的对称中心是 ,在区间 是 x +3
函数(填“增、减”)
8.比较下列各组中两个值的大小
7. 函数f (x ) =
(1)1.5与1.6(2)0.61.3与0.71.3(3)3.5与5.3(4)0.18-0.3与0.15-0.3 9.若(a +2)
-13
3535
-
23
-
23
-
13
,求a 的取值范围。
10.已知函数y =-2x -x 2.
(1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间.
幂函数习题精选(三)
一、选择题:
1220
, y =3x , y =x -x , y =x 中,幂函数的个数为 ( ) 3x
A .0 B .1 C .2 D .3
1.在函数y =
2、幂函数的图象都经过点( )
A .(1,1) B .(0,1) C .(0,0)D .(1,0) 3、幂函数y =x
-5
2
的定义域为( )
A .(0,+∞) B.[0,+∞) C.R D.(-∞,0)U (0,+∞)
4.若幂函数f (x )=x a 在(0, +∞)上是增函数,则 ( )
A .a >0
12
-12
B .a
5.若a =1.1, b =0.9,那么下列不等式成立的是 ( )
A .a
D .16.若幂函数f (x )=x m -1在(0,+∞)上是减函数,则 ( )
A .m >1 B .m
C .m =l
D .不能确定
7.若点A (a , b )在幂函数y =x n (n ∈Q )的图象上,那么下列结论中不能成立的是
⎧a >0⎧a >0
A .⎨ B .⎨
⎩b >0⎩b
⎩b 0
8、使x 2>x 3成立的x 的取值范围是 A 、x <1且x ≠0 B 、0<x <1 C 、x >1 D 、x <1
9、若四个幂函数y =x a ,
y =x b ,y =x c ,y =x
d 在同一
坐标系中的图象如右图,则a 、b 、c 、d 的大小关系是
A 、d >c >b >a B 、a >b >c >d C 、d >c >a >b D 、a >b >d >c 10、当x ∈(1,+∞)时,函数)y =x a 的图象恒在直线y =x 的下方,则a 的取值范围是
A 、a <1 B 、0<a <1 C 、a >0 D 、a <0
二、填空题: 12、若(a +1)
-1232
<(3a -2)
1-2
,则a 的取值范围是____;
13. 函数y =x
-
的定义域为___________.
14. 设f (x )=(m -2)x m +1,如果f (x )是正比例函数,则m=____ , 如果f (x )是反比例函数,则m=______,如果f(x)是幂函数,则m=____.
15.若幂函数y =(m 2-m -1) x m -2m -1在(0, +∞) 上是增函数, m =___________.。
x +2
16、函数f (x ) =的对称中心是_______,在区间上是___函数(填“增”或
x +3
“减”). 三、解答题:
18. 已知函数f (x ) =(m 2+2m ) x m
22
+m -1
f (x ) 是,(1)正比例函数 (2)m 为何值时,
反比例函数 (3)二次函数 (4)幂函数 19、已知幂函数f (x )=x
13
-p 2+p +22
(p ∈Z )在(0,+∞)上是增函数,且在其
定义域内是偶函数,求p 的值,并写出相应的函数f (x )